15.3.1 等腰三角形知识点梳理讲义（暑假预习）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.1等腰三角形知识点梳理讲义（暑假预习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

暑期自主预习专用·适用对象：八年级学生·预计学习时间：60分钟一、本节预习导航【与已学知识的联系】第十三章我们知道了“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”，那时只停留在“按边分类”的层面；第十四章学习了全等三角形的判定与性质，学会了用“证全等”得到边相等、角相等；本章前两节又建立了轴对称、线段垂直平分线的知识。把这三块工具合在一起，就能真正证明并使用等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一。可以说，等腰三角形是全等与轴对称两大工具的第一块“试金石”。【本节核心内容】①等腰三角形的定义与各部分名称（腰、底边、顶角、底角）；②等腰三角形的轴对称性与对称轴；③性质1“等边对等角”；④性质2“三线合一”；⑤判定“等角对等边”；⑥等腰三角形中的分类讨论（已知一个角、已知两条边）与常见计算；⑦等腰三角形性质与判定在折叠、平行线、实际问题中的综合运用。【所需图形类型】等腰三角形标注图1个（标出AB=AC的相等记号、两个底角的等角弧、对称轴）；三线合一示意图1个（顶角平分线、底边中线、底边上的高重合为同一条线段AD）；解题流程图1个；本节知识网络树1个。画图时相等的边一定要打上相同的刻度记号，相等的角要画相同的角弧，这是几何作图的规范。【初高衔接与术语】“腰”与“底边”是相对的：AB=AC时，AB、AC叫腰，BC叫底边；反过来若BA=BC，则腰变成BA、BC，底边变成AC。因此读题时必须先看清哪两条边相等，再决定谁是顶角、谁是底角。另外要区分“等腰三角形是轴对称图形”与“两个三角形成轴对称”：前者说的是一个图形自身的性质，后者说的是两个图形之间的位置关系。【数学思想渗透】转化思想（把线段相等问题转化为角相等问题，或反过来）、分类讨论思想（已知一个角不明确它是顶角还是底角、已知一条边不明确它是腰还是底边时必须分情况）、数形结合思想（用对称轴直观理解三线合一）、方程思想（设顶角或底角为未知数，利用内角和180°列方程求解）、由特殊到一般的推理思想（从折纸的直观发现，上升为用全等三角形完成的严格证明）。二、各小节知识清单（一）等腰三角形的概念与轴对称性🎯第一步：预习目标✔能准确说出等腰三角形的定义，并指认腰、底边、顶角、底角。✔知道等腰三角形是轴对称图形，能正确说出它的对称轴是哪一条直线。✔理解“等腰三角形只有一条对称轴，而等边三角形有三条”的区别。✔会用折纸的方法直观发现两个底角相等、三线合一两条性质。✔能把折纸得到的直观结论，改写成“已知、求证、证明”的规范推理格式。📌第二步：知识清单📌知识点1：等腰三角形的定义。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。注意“两条边相等”是本质特征，与三角形的摆放位置、看起来是否“尖”没有关系；一个三角形只要有两边相等，无论它是锐角、直角还是钝角三角形，都是等腰三角形。等边三角形三边都相等，自然满足“有两边相等”，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。📌知识点2：各部分名称是相对的。在△ABC中，若AB=AC，则AB、AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B与∠C是底角；若题目改成BA=BC，则BA、BC变成腰，AC变成底边，顶角变成∠B，底角变成∠A与∠C。因此做题第一步永远是“先找出相等的那两条边”，再据此确定顶角与底角，绝不能一看到∠A就认为它是顶角。📌知识点3：等腰三角形的轴对称性。等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线，也就是顶角平分线所在的直线。把等腰三角形沿这条直线对折，两腰完全重合、两个底角完全重合，这正是“等边对等角”与“三线合一”的直观来源。特别提醒：对称轴是一条直线，不能说“对称轴是顶角平分线AD”这条线段，规范说法是“对称轴是AD所在的直线”。等腰三角形一般只有一条对称轴，只有当它同时是等边三角形时才有三条对称轴。📌知识点4：性质1（等边对等角）。等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。用符号语言表述：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。证明方法：作顶角平分线AD，由AB=AC、∠BAD=∠CAD、AD=AD可得△ABD≌△ACD（SAS），于是∠B=∠C。这条性质把“边相等”转化为“角相等”，是本章证明角相等最常用的工具之一。📌知识点5：性质2（三线合一）。等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。仍以AB=AC为例，由△ABD≌△ACD立即可得BD=CD（AD是底边上的中线）、∠ADB=∠ADC=90°（AD是底边上的高）。使用时的口诀是“知一得二”：只要在等腰三角形中知道AD是顶角平分线、底边中线、底边上的高三者之一，就可以直接断定它同时是另外两条，而不必再证一次全等。💡方法点拨把“等边对等角”和“三线合一”看成一台双向的翻译机：题目给边相等，就翻译成角相等；题目给中点或垂直，就翻译成角平分或另一半相等。凡是出现“等腰三角形+底边中点”“等腰三角形+顶角平分线”“等腰三角形+底边上的高”这三个关键词中的任意一个，都要立刻在草稿上写下另外两条结论，往往解题的突破口就藏在里面。图1等腰三角形AB=AC：两腰打相同刻度记号，两个底角用相同角弧表示相等，虚线是对称轴。⚠第三步：特别提醒⚠“等边对等角”只在同一个三角形内部成立，不能拿两个不同三角形的边和角去比较。⚠“三线合一”必须同时满足两个条件：图形是等腰三角形，且这条线段与底边有关（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）。腰上的中线、腰上的高不具备这个性质。⚠对称轴是直线而不是线段，答题时写“AD所在的直线”或“底边BC的垂直平分线”才规范。⚠等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角一定是锐角，两个底角之和小于180°。🔍第四步：易错点剖析❌错例：在△ABC中已知AB=AC，就直接写∠A=∠B。错因：混淆了“等边对等角”中边与角的对应关系。AB=AC的对角分别是∠C与∠B，所以相等的是∠B与∠C，而不是∠A。✅规避：牢记“边的对角才相等”，AB对着∠C、AC对着∠B，先在图上把边和它的对角连起来看，再下结论。❌错例：在等腰三角形中，把腰上的中线也当成“三线合一”，直接说它垂直于腰。错因：三线合一只对与底边有关的三条线段成立，腰上的中线一般既不平分顶角也不垂直于腰。✅规避：使用前先自问两句：图形是等腰三角形吗？这条线段是不是“顶角平分线/底边中线/底边上的高”之一？两句都答“是”才能用。✏️第五步：典型例题【例题1】（基础·★☆☆）在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，求∠B和∠C的度数。【解】因为AB=AC，由等边对等角得∠B=∠C。设∠B=∠C=x，由三角形内角和定理得50°+x+x=180°，解得x=65°。【答案】∠B=∠C=65°。旁批：顶角α已知时，底角=(180°−α)÷2，这是最常用的一步计算。【例题2】（中档·★★☆）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，已知BC=8，AD=3，求△ABC的周长。【解】因为AB=AC且AD是底边BC上的高，由三线合一知AD也是底边上的中线，所以BD=CD=BC÷2=4。在直角三角形ABD中，两条直角边为AD=3、BD=4，可得AB=5（因为3、4、5是常见的直角三角形三边），从而AC=AB=5。故周长=AB+AC+BC=5+5+8=18。【答案】△ABC的周长为18。旁批：见“等腰+底边上的高”，立刻把底边平分成两段，问题就化归为直角三角形。📝第六步：随堂小测1.等腰三角形中相等的两条边叫做______，另一条边叫做______。2.在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=______。3.等腰三角形的顶角为90°，则它的两个底角各为______。4.等腰三角形的对称轴是______（填“底边的垂直平分线”或“底边上的中线”这条线段）。5.在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，若BC=10，则BD=______。6.“三线合一”中的三线是指顶角平分线、底边上的中线和______。（二）等腰三角形的判定：等角对等边🎯第一步：预习目标✔能叙述并用符号语言写出“等角对等边”的判定方法。✔会用“两边相等”和“两角相等”两条途径判定一个三角形是等腰三角形。✔能在含平行线、角平分线、折叠的图形中识别出隐藏的等腰三角形。✔会用等腰三角形的判定证明线段相等。📌第二步：知识清单📌知识点6：判定方法（等角对等边）。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。符号语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。证明思路：作∠A的平分线AD，则∠BAD=∠CAD，又∠B=∠C、AD=AD，由AAS得△ABD≌△ACD，所以AB=AC。这条判定是性质“等边对等角”的逆定理，两者互为逆命题且都成立。📌知识点7：判定等腰三角形的两条途径。途径一是直接用定义，证明两条边相等；途径二是用判定定理，证明两个角相等。在实际解题中，若图中已有平行线、角平分线，往往先用“内错角、同位角相等”或“角平分线分角相等”凑出两个相等的角，再用等角对等边得到边相等。这也是几何证明中“边角互推”思想的典型体现。📌知识点8：常见的“隐藏等腰”模型。模型一：平行线+角平分线必出等腰三角形。若DE∥BC且BE平分∠ABC，则∠DEB=∠EBC=∠DBE，于是DB=DE。模型二：折叠必出等腰。折叠前后的对应角相等，若再配上平行线的内错角，就能得到两角相等，从而得到等腰三角形。模型三：角平分线+垂线，或两条角平分线相交，也常常构造出等腰三角形。记住这三个模型，能大幅提高看图速度。📌知识点9：性质与判定的区别与联系。性质是“已知等腰，得到角相等或三线合一”，条件在边、结论在角；判定是“已知两角相等，得到等腰”，条件在角、结论在边。两者方向相反，千万不要混用：证明角相等时用性质，证明边相等时用判定。在同一道题里，常常先用判定说明某个三角形是等腰三角形，再用性质得到三线合一，从而完成后续推理。📌知识点10：判定的推论（为下一节作铺垫）。如果一个三角形的三个角都相等，那么这三个角所对的边也都相等，这个三角形就是等边三角形；如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它是等边三角形。这两条推论将在15.3.2等边三角形中系统学习，这里先建立联系：等边三角形是“三个方向都成立”的等腰三角形。💡方法点拨证明线段相等有三条常用路线：证全等、用等角对等边、用垂直平分线的性质。当两条待证相等的线段恰好在同一个三角形中，并且它们的对角容易求出或容易证明相等时，优先选择“等角对等边”，它比证全等更快。看到平行线就找内错角，看到角平分线就找相等角，二者相遇处往往就是等腰三角形。图2三线合一：等腰三角形AB=AC中，AM既是顶角∠BAC的平分线，又是底边中线（BM=MC），还是底边上的高（AM⊥BC）。⚠第三步：特别提醒⚠“等角对等边”得到的是这两个角所对的边相等，而不是与角相邻的边相等，写结论前先找准对边。⚠由∠B=∠C只能得到AB=AC，不能得到AB=BC，更不能直接断定三角形是等边三角形。⚠使用折叠模型时，一定要写清“由折叠得对应角相等（或对应边相等）”这一步依据，不能凭图形直观省略。🔍第四步：易错点剖析❌错例：已知∠B=∠C，写出结论BC=AC。错因：找错了对边。∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，所以正确结论是AC=AB，与BC无关。✅规避：在图上从角的顶点出发，指向它“看不到”的那条边，就是这个角的对边；养成先标对边再写结论的习惯。❌错例：在“平行线+角平分线”的图中，直接写DB=DE而不说明理由。错因：缺少推理链条：应先由平行得到∠DEB=∠EBC，再由角平分得到∠DBE=∠EBC，两式联立得∠DEB=∠DBE，最后才用等角对等边。✅规避：把三步依据完整写出：平行→内错角相等；角平分→两角相等；等量代换→两角相等，再用等角对等边得边相等。✏️第五步：典型例题【例题3】（基础·★☆☆）在△ABC中，∠B=∠C=72°，AB=6，求AC的长与∠A的度数。【解】因为∠B=∠C，由等角对等边得AC=AB=6（∠B的对边是AC，∠C的对边是AB）。再由内角和定理得∠A=180°−72°−72°=36°。【答案】AC=6，∠A=36°。旁批：这个36°−72°−72°的等腰三角形就是著名的“黄金三角形”。【例题4】（中档·★★☆）把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，A′B与CD相交于点E。求证：△BDE是等腰三角形。【解】因为四边形ABCD是长方形，所以AB∥CD，于是∠ABD=∠BDE（两直线平行，内错角相等）。由折叠可知∠ABD=∠A′BD，即∠ABD=∠EBD。所以∠BDE=∠EBD，由等角对等边得EB=ED，所以△BDE是等腰三角形。【答案】△BDE是等腰三角形（EB=ED）。旁批：折叠题的通用起手式就是“折叠前后对应角相等、对应边相等”。📝第六步：随堂小测1.在△ABC中，若∠B=∠C，则______=______（填两条边）。2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC是______三角形。3.判定一个三角形是等腰三角形的两条途径分别是：______和______。4.在△ABC中，∠B=∠C，BC=6，AB=5，则△ABC的周长是______。5.“等边对等角”与“等角对等边”互为______（填“逆命题”或“对顶命题”）。（三）等腰三角形中的分类讨论与计算🎯第一步：预习目标✔已知等腰三角形的一个内角，会分“顶角”“底角”两种情况求另外两个角。✔已知等腰三角形的两条边，会分“腰”“底边”两种情况并用三边关系检验取舍。✔会用方程思想解决与等腰三角形周长有关的问题。✔知道顶角与底角的取值范围，能判断某个角是否可能是顶角或底角。📌第二步：知识清单📌知识点11：已知一个角求另外两个角。设顶角为α、底角为β，则α+2β=180°，于是β=(180°−α)÷2，α=180°−2β。由于三角形内角必须为正，顶角满足0°<α<180°，底角满足0°<β<90°。因此：若已知角大于或等于90°，它只能是顶角，另外两个角相等且各为(180°−α)÷2；若已知角小于90°，则它既可能是顶角也可能是底角，必须分两种情况分别计算，得到两组答案。📌知识点12：已知两条边求周长。已知等腰三角形的两条边长p与q（p≠q），第三条边只能等于p或q，也就是分“p为腰”和“q为腰”两种情况。每一种都必须用三角形三边关系“两边之和大于第三边”检验：只有满足“两腰之和大于底边”的情况才成立，不成立的必须舍去。常见陷阱题如“两边为3和7”，其中3、3、7因3+3<7被舍去，只剩7、7、3，周长为17。📌知识点13：与周长有关的方程问题。已知周长C与一条边a，可设腰长为x列方程。若a是底边，则2x+a=C，x=(C−a)÷2；若a是腰，则第三边为C−2a。两种情况都要回过头检验三边关系，尤其要检验“两腰之和大于底边”。这类题的答案常常是两组，也可能因检验而只剩一组，切不可只算一种就收笔。📌知识点14：等腰三角形中的常见结论。①等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线把它分成两个全等的直角三角形；②等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线也相等，两底角的平分线相等；③顶角为90°的等腰三角形叫等腰直角三角形，它的两个底角都是45°；④等腰三角形的顶角越大，底角越小，两者此消彼长。📌知识点15：实际应用中的等腰三角形。房屋的人字梁屋架是等腰三角形，屋脊到两侧屋檐的距离相等，中柱正好是三线合一得到的对称轴，既支撑又保证左右受力均衡；桥梁的斜拉索、衣架、圆规张开的两脚、体操运动员的对称造型都能抽象成等腰三角形。用等腰三角形的性质，可以在测量不便时通过“测一半再加倍”的办法求出跨度。💡方法点拨分类讨论的两句口诀：见角不明分顶底，见边不明分腰底。分完之后必须做两件事——用内角和检验角是否都为正，用三边关系检验边能否构成三角形；凡是通不过检验的情况一律舍去，答题时写清“舍去”二字，才能拿到完整分数。图3等腰三角形解题五步流程：先判形，再分清腰与底，然后角边分开处理，遇中点或垂直即用三线合一。⚠第三步：特别提醒⚠分类之后一定要检验，不检验就写“两个答案”是本节最常见的失分点。⚠顶角可以是钝角，底角一定是锐角；出现两个钝角或两个直角的“等腰三角形”是不存在的。⚠求周长时不要漏掉“底边”这条边，也不要把腰算成一次。⚠题目若给出图形且能看出哪两条边相等，就不需要再分类；只有在纯文字、无图的条件下才需要分类讨论。🔍第四步：易错点剖析❌错例：等腰三角形的一个内角为100°，答“底角为100°，顶角为−20°”。错因：没有意识到底角必须小于90°。若100°为底角，两个底角之和已达200°，超过了内角和180°，不可能。✅规避：先用范围判断：已知角不小于90°时它只能是顶角，直接算(180°−100°)÷2=40°，得到40°、40°，无需分类。❌错例：等腰三角形的两边为3和7，答“周长为13或17”。错因：漏掉了三边关系的检验。若腰为3，三边是3、3、7，而3+3=6<7，不能组成三角形，周长13必须舍去。✅规避：分类后逐一代入“两腰之和大于底边”检验，把不成立的情况明确写上“不能组成三角形，舍去”。✏️第五步：典型例题【例题5】（中档·★★☆）等腰三角形的一个内角为40°，求它另外两个内角的度数。【解】情况一：40°是顶角，则两个底角相等，各为(180°−40°)÷2=70°，另外两个角是70°、70°；情况二：40°是底角，则另一个底角也是40°，顶角为180°−40°−40°=100°，另外两个角是40°、100°。两种情况都满足“底角为锐角”，都成立。【答案】另外两个角为70°、70°或40°、100°。旁批：已知角小于90°时必须分两种情况。【例题6】（中档·★★☆）等腰三角形的两边长分别为3和7，求它的周长。【解】情况一：腰为3，三边为3、3、7，因为3+3=6<7，不能组成三角形，舍去；情况二：腰为7，三边为7、7、3，因为7+3>7成立，能组成三角形，周长为7+7+3=17。【答案】周长为17。旁批：等腰三角形的边长题，第一件事就是检验能否成三角形。【例题7】（拓展·★★★）等腰三角形的周长为20，其中一条边长为4，求另外两条边的长。【解】情况一：4是腰，则另一腰也是4，底边为20−4−4=12，检验4+4=8<12，不能组成三角形，舍去；情况二：4是底边，设腰长为x，则2x+4=20，解得x=8，三边为8、8、4，检验8+4>8成立。【答案】另外两条边都是8。旁批：设未知数列方程，是处理“周长+一边”这类问题的通法。📝第六步：随堂小测1.等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角为______。2.等腰三角形的两边长为4和9，则它的周长为______。3.等腰三角形的顶角为α，则底角的度数为______（用含α的式子表示）。4.等腰三角形底角β的取值范围是______。5.等腰直角三角形的两个底角各为______。6.等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的腰长为______。（四）解题模板速记🎯第一步：预习目标✔能默写“求角三步、求边三步、证明三招”的解题模板。✔遇到本节习题能迅速判断应当调用哪一条性质或判定。📌第二步：知识清单📌知识点16：本节通用解题模板。求角三步：①判断已知角是顶角还是底角（不小于90°只能是顶角）；②用α+2β=180°计算；③检验底角是否为锐角。求边三步：①分“已知边为腰”和“已知边为底边”两种情况；②分别写出三条边；③用两边之和大于第三边检验并取舍。证明三招：证角相等用“等边对等角”，证边相等用“等角对等边”，证垂直或平分用“三线合一”。把这三组模板背熟，本节九成以上的题目都能对号入座。📌知识点17：辅助线的常见作法。在等腰三角形中作辅助线，首选“作顶角平分线”“作底边上的中线”或“作底边上的高”，三者本质是同一条线，但书写时只能说出其中一个身份，再由三线合一推出另外两个身份，绝不能同时写“作AD既平分∠A又垂直BC”，那样等于把结论当条件用了。若图中只有角相等的条件，则常先用等角对等边找出等腰三角形，再作这条“万能辅助线”。💡方法点拨写辅助线的规范说法是：作AD平分∠BAC，交BC于点D（然后由三线合一得AD⊥BC、BD=DC）。切记一条辅助线只能规定一个身份，其余身份必须由定理推出，这是几何证明的基本规矩。✏️第五步：典型例题【例题8】（中档·★★☆）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，求∠BAD的度数与∠ADB的度数。【解】因为AB=AC且AD是底边BC上的中线，由三线合一知AD同时是顶角∠BAC的平分线和底边上的高。所以∠BAD=∠BAC÷2=100°÷2=50°，∠ADB=90°。【答案】∠BAD=50°，∠ADB=90°。旁批：知一得二，这是三线合一最常见的用法。📝第六步：随堂小测1.在等腰三角形中，作辅助线时通常连接顶点与______的中点。2.在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，∠BAC=70°，则∠BAD=______。三、本节思维导图（中心：15.3.1等腰三角形）┌─定义：有两条边相等的三角形（腰、底边、顶角、底角）├─对称性：轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线├─性质1：等边对等角（AB=AC⇒∠B=∠C）├─性质2：三线合一（顶角平分线、底边中线、底边上的高重合）├─判定：等角对等边（∠B=∠C⇒AB=AC）├─计算：顶角α与底角β满足α+2β=180°，0°<β<90°└─应用：分类讨论求角求边、折叠与平行线中的隐藏等腰、人字梁屋架图415.3.1等腰三角形知识网络：定义、性质、判定、应用四条主线一目了然。四、本节核心概念速查卡🔑定义：有两条边相等的三角形；相等两边为腰，第三边为底边。🔑顶角与底角：两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。🔑对称性：轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线所在直线。🔑性质1：等边对等角：AB=AC⇒∠B=∠C。🔑性质2：三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线重合，知一得二。🔑判定：等角对等边：∠B=∠C⇒AB=AC。🔑角的关系：顶角α与底角β满足α+2β=180°，底角必为锐角。🔑分类讨论：已知角不明分顶底，已知边不明分腰底，分完必检验。🔑隐藏模型：平行线+角平分线出等腰；折叠出等腰；两角相等出等腰。🔑常见题型：求角度、求周长、证边等、证垂直、折叠问题、实际测量。记忆口诀：两腰相等成等腰，等边对等角要记牢；三线合一知一二，等角对等边反着套；分类讨论顶与底，检验三边不可少。五、本节易错点汇总1.【对应出错】由AB=AC误写成∠A=∠B，没有找准边所对的角。2.【滥用三线】把腰上的中线、腰上的高也当作三线合一使用。3.【漏分类】已知一个小于90°的角或已知两条边时，只算一种情况就作答。4.【漏检验】分类之后不用三边关系检验，把不能构成三角形的情况也写进答案。5.【说法不规范】把对称轴说成线段，或作辅助线时同时规定两个身份。六、本节分层自测卷（共10题）A层·基础巩固（5题）1.等腰三角形的两个______相等，简称“等边对等角”。2.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，则∠B=______。3.等腰三角形的顶角为120°，则它的底角为______。4.“三线合一”中的三条线分别是______、______和______。5.在△ABC中，∠B=∠C=50°，则∠A=______，且______=______（填两条边）。B层·能力提升（3题）6.等腰三角形的一个内角为30°，求它另外两个内角的度数。7.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为______。8.在△ABC中，AB=AC=10，AD是BC边上的中线，BC=12，求AD的长。C层·拓展挑战（2题）9.已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，求另外两边的长。10.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE。求证：BE=CD。七、参考答案与解析【随堂小测（一）】1.腰，底边；2.40°（∠B=∠C=70°，∠A=180°−140°=40°）；3.45°；4.底边的垂直平分线；5.5；6.底边上的高。【随堂小测（二）】1.AB=AC；2.等腰（∠C=180°−40°−70°=70°=∠B，故AB=AC）；3.定义（两边相等）、等角对等边；4.16（由∠B=∠C得AC=AB=5，周长=5+5+6=16）；5.逆命题。【随堂小测（三）】1.50°、50°或80°、20°；2.22（腰只能为9，因4+4<9舍去，三边为9、9、4）；3.(180°−α)÷2；4.0°<β<90°；5.45°；6.7（4为腰时4、4、10不成立舍去，故4为底边，腰=(18−4)÷2=7）。【随堂小测（四）】1.底边；2.35°（AD⊥BC且为等腰三角形底边上的高，由三线合一AD平分∠BAC）。【分层自测卷A层】1.底角；2.72°；3.30°；4.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高；5.80°，AB=AC。【分层自测卷B层】6.若30°为顶角，底角各为75°，另两角是75°、75°；若30°为