第十五章 数学活动知识点梳理讲义（暑假预习）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章数学活动知识点梳理讲义（暑假预习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

暑期自主预习专用·适用对象：八年级学生·预计学习时间：60分钟一、本节预习导航【与本章前面知识的联系】本章前两节我们系统学习了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定，并由此推出“成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分”。这些结论虽然正确，但还停留在“看得见、想得到，却不一定动手做”的层面。本章的“数学活动”正是要把理论搬到纸面：通过剪纸、折纸、画图、设计图案等活动，把轴对称、垂直平分线、等边三角形这三块内容从课本定理变成动手技能，让同学们在“做中学、做中悟”。【本节核心内容】①折叠与剪纸：把一张矩形纸对折，沿折痕剪角（或剪弧），展开后即为轴对称图形；②折等边三角形：用长方形纸对折后再翻折一角，构造等边三角形；③折垂直平分线：把一条线段的两端点折到同一点，所得折痕即为线段的垂直平分线；④设计轴对称图案：选取对称轴、在对称轴一侧设计图案，另一侧由对应点确定；⑤数学表达与交流：在黑板上或作业本上用规范的语言描述活动过程、说明所用定理、归纳操作要点。【所需图形类型】剪纸对折示意图1个（矩形对折、剪掉一角、展开后左右对称）；折等边三角形示意图1个（折痕、∠ABA’=60°、中线）；折垂直平分线示意图1个（A、B折到同一点、折痕为中垂线）；轴对称图案设计示例1个（左右两朵花关于中线对称）；活动流程图1个。【初高衔接与术语】“对称轴”“垂直平分线”“对应点连线”这些术语在高中“解析几何”“向量”“几何变换”中会反复出现。提前在动手中理解“对应点连线被对称轴垂直平分”，能直接为高中学习坐标系中的轴对称变换服务。【数学思想渗透】动手—发现—语言的“三步式”学习方式（先做、再悟、最后用符号语言描述）；对称思想（轴对称是平面几何的核心变换之一）；转化思想（把几何问题转化为“折叠—验证—证明”三步）；合作学习（小组共同完成活动，互评互改）；审美与数学的融合（在设计中体会数学的秩序与美感）。二、各小节知识清单（一）活动1：剪纸中的对称🎯第一步：预习目标✔能用对折后剪纸的方式作出轴对称图形。✔能说出“对称轴是对应点连线的垂直平分线”。✔能从剪好的图形上找出对应点与对称轴。✔能用规范的数学语言描述剪纸活动。📌第二步：知识清单📌知识点1：活动准备。准备工具：白纸、剪刀、铅笔、直尺、量角器。纸张以8开或16开为佳，太大不便操作，太小剪出的图形不够“看得清”。彩色纸比白纸更直观，作品的视觉效果也好。📌知识点2：操作步骤（剪出对称图形）。步骤1：把矩形纸沿一条直线对折，使两条长边完全重合，折痕用指甲压实，让两边纸面不至于滑动；步骤2：在折叠状态下，把对折边附近的某个角剪掉（剪去一个三角形、圆弧、波浪形等形状），注意只剪对折那一半；步骤3：小心地把纸展开，立刻得到一个左右（或上下）完全对称的图形。整个过程的核心是“只剪对折的一半”和“折痕就是对称轴”。📌知识点3：剪纸背后的数学。为什么剪出的图形是对称的？因为折叠后两半纸完全重合，剪刀在重合的纸面上剪一次，相当于在两半纸上同时剪相同的形状。展开后，折叠边原封不动，折痕仍在原处，而两侧剪去的部分以折痕为对称。所以剪纸把“是轴对称图形”的判定从“靠观察”变成“靠操作”。📌知识点4：对应点连线与对称轴的关系。在剪出的图形上找几个成对的对应点P和P’，量一下PP’到折痕的距离，会发现这两段距离相等；再量一下PP’与折痕的夹角，会发现是90°。这正是“成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分”的体现。📌知识点5：拓展创作。在折好的对折纸上剪多个不同形状的小块（圆弧、矩形、心形），展开后能拼出更复杂的对称图案；也可以尝试多折（先把矩形对折，再把对折后的直角部分对折），展开后得到四次对称的图案。💡方法点拨剪纸活动的总诀是“对折是关键，剪开不剪头”：对折一定要让边缘完全重合，剪时不要剪到折痕这一侧太深，否则展开后会出现“缺口”破坏对称。展开后用手指或者铅笔描出折痕，对应点连线的中点就落在折痕上。图1矩形沿中线对折，剪掉左下角AEF；展开后左右两边关于对称轴（折痕）对称。⚠第三步：特别提醒⚠剪刀要稳，不要在纸上“来回拉”，否则切口不平滑。⚠折痕要压实，否则两半纸在剪的时候容易错位，导致图形不对称。⚠剪的形状不要太复杂，初学者先从三角形、半圆、矩形等基本图形入手。🔍第四步：易错点剖析❌错例：剪出的图形左右明显的“不对称”。错因：很可能对折时两半纸没有完全重合，或是剪刀在剪的时候偏移了折痕。✅规避：重新对折，让两边完全重合后再剪；切的方向要垂直于纸面，不要一边高一边低。❌错例：展开后对应点连线与折痕不垂直。错因：可能是剪刀的轨迹线在折叠状态下不平行于折痕。✅规避：建议用铅笔先在折叠纸上画出要剪的形状，再沿线剪，确保两侧的轨迹完全一致。✏️第五步：典型例题【例题1】（基础·★☆☆）把一张正方形纸对折后剪去一个直角三角形，展开后得到的图形一定是______。【解】因为只剪对折边的相邻角，展开后两侧会各出现一个直角三角形，整体图形左右关于折痕对称。【答案】轴对称图形（对称轴是折痕）。旁批：剪纸操作直接体现“对称轴是对应点连线的垂直平分线”。【例题2】（中档·★★☆）把一张长方形纸连续对折两次（第一次上下对折，第二次左右对折），再剪去一个小三角，展开后能得到几条对称轴？【解】两次对折后，原纸的四分之一折叠在一起，沿任何切口都会被复制4次。【答案】展开后得到4条对称轴（上下、左右、两条对角线方向）。旁批：折的次数越多，对称轴越多。📝第六步：随堂小测1.剪纸活动时，______就是对称轴。2.成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴______。3.剪纸活动时，剪刀一次剪切相当于在两半纸上同时剪了______次。4.把矩形纸对折后剪去一个半圆，展开后得到的是______图形。5.剪纸活动后，纸张上对应点连线与折痕的夹角是______。（二）活动2：折等边三角形🎯第一步：预习目标✔能用长方形纸通过两次折叠得到等边三角形。✔能说出折叠背后的数学原理（折叠产生全等+角平分线性质）。✔能在折出的等边三角形上指出三条对称轴、三线合一。✔能动手做一遍并写出操作步骤。📌第二步：知识清单📌知识点6：活动准备。工具：长方形纸（建议3cm×9cm左右，太宽不便折，太窄看不出等边）、剪刀、铅笔。📌知识点7：操作步骤（折出60°角）。步骤1：把长方形纸沿上下中线对折，折痕为竖直线。步骤2：把左下角顶点A沿着过右下角顶点B的折痕翻折，使A落在中线上的A’处。步骤3：此时∠ABA’=60°，把A部分折去，多余的纸就是一个等边三角形。也可以直接连A、B、A’围成△ABA’，验证AB=BA’=AA’。📌知识点8：数学原理。为什么∠ABA’=60°？设A关于折痕的镜像为A’，则BA=BA’（折叠保持距离不变）。由于A’在中线（BC边中线）上，所以A’与B的水平距离恰好等于AB的一半（具体计算：若AB=2a，则A=(0,0)、B=(2a,0)，A’=(a,√3·a)，则向量BA=(−2a,0)，BA’=(−a,√3·a)，两向量的点积=2a²−0=2a²；|BA|=|BA’|=2a；cosθ=2a²/(4a²)=1/2，所以θ=60°）。这个60°角正是一半的120°（∠ABC=180°），所以∠ABA’=60°。📌知识点9：折出的等边三角形的性质。由BA=BA’=AB得△ABA’是等边三角形，所以三边相等、三个内角都是60°、三条对称轴。每条边都满足三线合一。在作品上用刻度标记BA、BA’、AA’三边相等的刻度，并在三边各画一个60°角弧。📌知识点10：拓展。用同样的方法可以从任意多边形上折出等边三角形；把不同颜色的纸叠在一起折，可以拼出复杂图案；在长方形纸上连续折三次可以得到含30°角的直角三角形。💡方法点拨折等边三角形的要点是“找准B点，让A落在中线”。一旦A落到中线上，折叠形成的三角形的两边自然相等（折叠保证），而对边AB又等于BA’，三条边等⇒等边。图2长方形纸沿中线对折后，把A沿过B的折痕翻折到A’，得到∠ABA’=60°，故△ABA’是等边三角形。⚠第三步：特别提醒⚠折痕一定要对齐纸的边，A落点不能偏，否则等边变形。⚠中间算60°时不要把√3误算成2，否则三角变形。⚠最后的“折去A部分”是指把A角及多余三角剪掉，留下的△ABA’才是成品。🔍第四步：易错点剖析❌错例：折出的“三角形”三边不等。错因：可能A没有正好落在中线上。✅规避：重新折叠，让A的镜像点A’严格落在中线（即矩形的中点上下方向的任意位置都可以）。❌错例：折出的三角形不是等边而是等腰。错因：A落点偏移、矩形不规整、折痕滑动等原因都可能导致。✅规避：建议用尺子和铅笔先在纸上标出中线，再做精细折叠。✏️第五步：典型例题【例题3】（中档·★★☆）在折出的等边三角形△ABA’中，连接AA’与中线段的交点D，求BD与AB的关系。【解】因为△ABA’是等边三角形，D是AA’与中线MM’的交点，也是重心、垂心、∠B平分线的交点（三线合一）。在矩形中，BA与BA’分别是矩形的两条腰，长度相等；当A落在中线上时AA’与BB平行于底边，所以BD=AB/2。【答案】BD=AB/2，且BD是AB方向的中线。旁批：折出的几何关系正好对应等边三角形的三线合一。【例题4】（拓展·★★★）把长方形纸按上述方法折出60°角后，再把另一端的对称角也折成60°，可以得到一个等边三角形条带。求等边三角形块的边长。【解】若矩形长为L、宽为W，则第一次折出的等边三角形底边=L，二次折出的等边三角形底边=L-2×?(取决于具体折法)；多次实验后可以堆出连续等边三角形。【答案】由连续等边三角形组成的条带每个小段边长=L（外侧两块）和L-2×(W/√3)（中间块）。📝第六步：随堂小测1.折等边三角形时，第二次折叠的折痕过______点。2.折出的△ABA’中，∠ABA’=______。3.折出的等边三角形有______条对称轴。4.折纸背后的数学原理是______产生全等（填“折叠”或“画图”）。5.折等边三角形时，把A折到中线上后，BA=______（填“BA’”或“AB”）。（三）活动3：折垂直平分线🎯第一步：预习目标✔能用折纸的方法折出线段的垂直平分线。✔能说出“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”。✔能在折出的垂直平分线上任选一点P，验证PA=PB。✔能写出“折垂直平分线”活动的规范报告。📌第二步：知识清单📌知识点11：活动准备。工具：长方形纸条、剪刀、铅笔、直尺。注意纸条的两端要能重合（即纸条足够长）。📌知识点12：操作步骤。步骤1：把纸条水平放在桌上，记下左端A、右端B。步骤2：把纸条的一个端点A翻转过来，让A落在纸条中间的某点M附近，调节位置使A正好与B端点的“像”重合（这个像就是B折过去的对应点）。步骤3：把折痕压实，这条折痕就是线段AB的垂直平分线。📌知识点13：数学原理。为什么折痕就是垂直平分线？因为折叠前后A的位置与B的像完全重合，折痕是“保持A与B等距的所有点的集合”。由对称性可知：①折痕垂直于AB（因为A与B的像重合，所以纸的折痕使A与B的连线被对称地翻转）；②折痕过AB的中点（因为A与B等距，翻转后B与A重合说明中点是唯一解）。于是折痕就是AB的垂直平分线。📌知识点14：垂直平分线的性质。在折出的垂直平分线上任取一点P，把纸条沿折痕对折，会发现PA与PB完全重合（因为A与B关于折痕对称）。这与课本上的“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”完全一致。把活动与课本定理对接，动手验证能让结论记得更牢。📌知识点15：判定与作图。反过来，可以用垂直平分线找到线段的中点：把线段两端折到同一点，折痕过中点；这条折痕与AB的交点就是AB中点。若已知平面上两个点的位置，可以用上述方法作两点的对称轴，或作两点连线的中垂线。💡方法点拨折垂直平分线的关键是“两端点对折到同一点”。动手时一定要把A端的“像”压在B端之上（而不是压在B端的旁边），否则折痕不垂直也不平分。图3把线段AB两端折到同一点M，折痕即为AB的垂直平分线；其上P满足PA=PB。⚠第三步：特别提醒⚠折痕一定要尖锐，可以用圆珠笔或者指甲压实。⚠若纸条太长，可以先把纸条中段折过来，再做两端对折。⚠折好的垂直平分线不一定要画出来，只要记住折痕，就是真实的垂直平分线。🔍第四步：易错点剖析❌错例：折出的“垂直平分线”斜着穿过AB。错因：可能A与B并没有完全重合。✅规避：重新折叠，直到A的折后像正好与B端重合。❌错例：折完发现PA≠PB。错因：可能没有用同一条折痕检验，或者测量误差。✅规避：用不同位置P多次检验；PA与PB相等时折痕确实就是垂直平分线。✏️第五步：典型例题【例题5】（中档·★★☆）在折出的垂直平分线上任取三点P1、P2、P3，量出P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B，会发现什么规律？【解】会发现PAi=PBi（i=1,2,3）都成立，且PAi=PBi之间各不相同。【答案】PAi=PBi（i=1,2,3）都成立。旁批：这就是垂直平分线上的点到线段两端距离相等。【例题6】（拓展·★★★）已知不规则四边形一组对角A、B，作出AB的垂直平分线。【解】用纸条代替边AB，按上述方法折出垂直平分线；划出折痕，这条折痕的延长线就是AB的垂直平分线。【答案】AB的垂直平分线即折痕。📝第六步：随堂小测1.折垂直平分线时，要让A、B两点折到______。2.折出的折痕垂直于AB且过AB的______。3.折纸所得的垂直平分线上任取一点P，则PA______PB。4.折纸所得的垂直平分线在折痕上的每个点，与A、B两端距离都______。5.折垂直平分线的本质是使用______对称。（四）活动4：设计轴对称图案🎯第一步：预习目标✔能自行设计一个轴对称图案。✔能在图案上指出对称轴、对应点、对应线段。✔能用规范的几何语言描述设计过程。✔能在小组中互评作品并提出改进建议。📌第二步：知识清单📌知识点16：设计流程。步骤1：选一张大纸，画出对称轴。步骤2：在对称轴的一侧用铅笔轻轻描出图案的一半（不必太细，先定轮廓）。步骤3：用粉笔或铅笔在镜像一侧描出对应点，再连线。步骤4：把左右两半图样的“对应点”用直尺、圆规核对，确保对应点连线被对称轴垂直平分。步骤5：涂色、剪贴或装裱。📌知识点17：常见图案类型。花鸟（左右对称的花朵、蝴蝶、鱼）、图形（正方形、菱形、圆组合）、文字（汉字“田”“丰”“奋”）、字母（“A”“H”“M”）、对称图标（红十字、爱心、双喜）。选自己感兴趣的图案，再用数学的眼光检验对称性。📌知识点18：对称性的数学检验。在完成的图案上任选5−10组对应点P与P’，量一下P与P’的水平距离与垂直距离，验证P与P’关于对称轴对称（即对称轴是PP’的垂直平分线）。如果出现偏差，就要回到第4步重新描线。📌知识点19：评价与交流。主题：①图案是否真正轴对称？②对应点连线是否被对称轴垂直平分？③设计是否美观、有创意？④描述是否清晰、数学术语运用是否正确？同学互评后，提出改进建议。📌知识点20：图案中的几何元素。在设计的图案中，可以刻意加入等腰三角形、垂直平分线、对称轴等几何元素，让作品既是艺术作品又是数学作品。例如，设计一个“塔吊”图案（左右对称的双臂）和“花篮”（左右对称的花瓣），每根吊绳都是等腰三角形的腰。💡方法点拨设计轴对称图案的“三步法”：①定对称轴（用铅笔轻描虚线）；②画一半（用直尺、圆规、量角器辅助）；③镜像另一半（对称轴是垂直平分线，对应点等距）。完成后用尺子复核对称性的“距离相等、连线垂直”这两条铁律。图4一组对称的花朵图案：左右两朵花关于中线对称，对应点连线被中线垂直平分。⚠第三步：特别提醒⚠设计时一定要先定对称轴，再画一半，最后镜像；不要一上来就画整个图案。⚠对称轴可以是横线、竖线、斜线，不要被习惯限制。⚠细节太多的图案会破坏对称性，建议用轮廓分明的几何元素。🔍第四步：易错点剖析❌错例：画到一半发现图案明显不对称。错因：可能没有用直尺、量角器等工具精确控制对应点。✅规避：重新画对称轴，用圆规在对称轴两侧按对称距离画点。❌错例：镜像出来的图案略显“僵硬”。错因：可能镜像的子图形太规则，缺乏变化。✅规避：在镜像一侧加入少许变化（如不同颜色），但要保持对称关系。✏️第五步：典型例题【例题7】（中档·★★☆）设计一个由两个等边三角形拼成的对称图案。【解】把两个等边三角形沿公共边对齐，得到一个菱形；菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线。这种“等边三角形组合”图案简洁、对称，适合做装饰标志。【答案】两个等边三角形共边拼成菱形，对称轴有两条（两条对角线）。旁批：等边三角形是基本“积木”。【例题8】（拓展·★★★）设计一个由4个相同等腰三角形拼成的图案。【解】把4个等腰三角形绕中心点旋转90°排列，构成一个对称图形，对称轴4条。【答案】4个等腰三角形+中心对称+4条对称轴。旁批：组合对称图形的关键是“旋转对称+轴对称”。📝第六步：随堂小测1.设计轴对称图案的第一步是确定______。2.在镜像出来的图案上，对应点连线被对称轴______。3.由等边三角形拼成的菱形有______条对称轴。4.对称图案的检验方法是：对应点连线与对称轴之间的夹角是______。5.在轴对称图案中，对称点到对称轴的距离______。三、本节思维导图（中心：第十五章数学活动）┌─活动1：剪纸中的对称（折痕=对称轴）├─活动2：折等边三角形（用两次折叠得到60°）├─活动3：折垂直平分线（A、B折到同一点）├─活动4：设计轴对称图案（定轴→半边→镜像）├─核心定理：对称轴是对应点连线的垂直平分线├─核心定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等├─核心定理：折叠产生全等（角相等、边相等、距离相等）└─数学表达：动手→观察→写规范报告图5数学活动六步流程：从准备工具到交流评价，循序渐进。四、本节核心概念速查卡🔑剪纸活动：对折后剪掉一角，展开后得到的图形以折痕为对称轴。🔑折痕=对称轴：折叠后两半纸完全重合，折痕是使每对对应点连线的垂直平分线。🔑折等边三角形：把长方形纸对折中线后，把A翻折到中线，所得∠ABA’=60°，△ABA’为等边三角形。🔑等边性质：三边相等、三角都是60°、三条对称轴、每条边都三线合一。🔑折垂直平分线：把线段两端A、B折到同一点M，所得折痕就是AB的垂直平分线。🔑垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等。🔑设计图案：先定对称轴，再画一半，再镜像；最后用尺子复核。🔑检验方法：对应点连线被对称轴垂直平分；对称点到对称轴距离相等。🔑数学表达：动手→观察→用规范语言描述所用定理与操作→总结归纳。🔑思想方法：在动手中体会轴对称、垂直平分线、三线合一等几何原理。记忆口诀：剪纸对折关键在于折痕；折等边先把A翻折60°；折垂直平分须两端同点；设计图案先定对称轴后镜像。五、本节易错点汇总1.【对折不齐】对折时两半纸没有完全重合，导致剪出的图形不严格对称。2.【偏移中心】折等边三角形时A落点不在中线上，等边变等腰。3.【两端不重合】折垂直平分线时A与B没有精确重合，折痕不正。4.【镜像错位】设计图案时只描出轮廓，没有用对应点+垂直平分线核对。5.【描述不规范】活动报告用“看”“像”代替“折叠产生全等”“垂直平分”等术语。六、本节分层自测卷（共10题）A层·基础巩固（5题）1.剪纸活动时，______就是对称轴。2.成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴______。3.折等边三角形时，A落在______上。4.折垂直平分线时，A与B折到______。5.在折出的垂直平分线上任取一点P，则PA______PB。B层·能力提升（4题）6.叙述剪纸得到轴对称图形的操作步骤。7.折等边三角形时，为什么∠ABA’=60°？8.叙述折垂直平分线的操作步骤，并说明为什么折痕就是垂直平分线。9.设计一个轴对称图案，要求由2个等边三角形组成。C层·拓展挑战（2题）10.用长方形纸折出等边三角形后，把它放到坐标系中，若矩形长6cm、宽3cm，建立适当的坐标系并写出三个顶点的坐标。11.在折垂直平分线的活动中，若A=(0,0)、B=(8,0)，求垂直平分线方程，并计算A1=(4,3)到A、B的距离。七、参考答案与解析【随堂小测（一）】1.折痕；2.垂直平分；3.2（折叠一次相当于剪两半）；4.轴对称；5.90°。【随堂小测（二）】1.B；2.60°；3.3；4.折叠；5.BA’。【随堂小测（三）】1.同一点；2.中点；3.=；4.相等；5.折痕（轴对称）。【随堂小测（四）】1.对称轴；2.垂直平分；3.2；4.90°；5.相等。【分层自测A】1.折痕；2.垂直平分；3.中线；4.同一点；5.=。【分层自测B】6.①把矩形纸沿一条直线对折；②在折叠状态下剪掉一角（注意只剪对折边附件）；③展开后即得轴对称图形。7.设AB=BA’=2a（折叠保证），A=(0,0)、B=(2a,0)，A’=(a,√3·a)。∠ABA’的余弦=(AB·BA’)/(|AB|·|BA’|)=(2a²)/(2a·2a)=1/2，故θ=60°。8.①把纸条水平放在桌上，记A、B；②