2023年中考数学知识点总结

中考救考总象可壹料

代裁拆台

第一率:实薇

基础知识点:

一、实数的分类:

［正整数、

整数零

有理数［负整数有限小数或无限循环/J数

实数八蚪/正分数

分数4

负分数

b.J

TF干理和’

无理数心m无限不循环小数

负无理数

II/

1、有理数：任何一种有理数总可以写成"的形式，其中p、q是互质的整

Q

数，这是有理数的直要特性。

2、无理数：初中碰到日勺无理数有三种：开不尽的方根，如行、V4；特

定构造时不限环无限小数，如1.001……；特定意义日勺数，如冗、sin45°

等。

3、判断一种实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要通过整顿化简后才

下结论。

二、实数中的几种概念

1、相反数：只有符号不一样的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a的相反数是松；（2）a和b互为相反数Oa+b=0

2、倒数:

（1）实数a（aWO）的倒数是L；（2）a和b互为倒数O=1；（3）

a

注意0没有倒数

3、绝对值：

（1）一种数a的绝对值有如下三种状况：

〃，。A0

时=<0,a=0

-a,。y0

（2）实数的绝对值是一种非负数，从数轴上看，一种实数日勺绝对值，就是

数轴上表达这个数时点到原点口勺距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、

负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n次方根

（1）平方根，算术平方根：设a20,称土4叫a的平方根，&叫a的

算术平方根。

（2）正数日勺平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有

平方根。

(3)立方根：＜5叫实数aH勺立方根。

(4)一种正数有一种正向立方根；0的立方根是0；一种负数有一种负的

立方根。

三、实数与数轴

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、

单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上日勺点和实数的对应关系：数轴上的每一种点都表达一种实数，而

每一种实数都可以月数轴上的唯一时点来表达。实数和数轴上的点是一一

对应的关系。

四、实数大小时比较

1、在数轴上表达两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数不小于0；负数不不小于0；正数不小于一切负数；两个负数绝对

值大的反而小。

五、实数的运算

1、加法：

(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;

样级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号口勺先算括号里的运

算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

六、有效数字和科学记数法

1、科学记数法：设N>0,则N=aX10〃(其中WaVlO,n为整数)。

2、有效数字：一种近似数，从左边第一种不是()日勺数，到精确到日勺数位为

止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1)精

确到那一位；(2)保留几种有效数字。

例题：

例1、己知实数a、b在数轴上日勺对应点日勺位置如图所示，且时

化简：-a+母_-4

分析：从数轴上a、b两点的位置可以看到：a<0,b>0且网

因此可得：

解：原式=-a+a+b-b+a=a

例2、若〃=(—?尸，&=c=(-)-\比较a、b、cH勺大小。

444

45(3V

分析：〃=—(―7y—1；b=--A—1且〃YO；c>0；因此轻易得出:

3⑷

a<b<Co

解：略

例3、若k一2|与|：+2|互为相反数，求a+b的值

分析：由绝对值非负特性，可知,一2|20,+220,又由题意可知:

,―2|+0+2|=0

因此只能是:a—2=0,b+2=0,即a=2,b=-2，因此a+b=0

解：略

例4、已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m口勺绝对值是1,求

+b、

-----cd+〃厂的I值。

m

解：原式=0-1+1=0

22

1(1

e+-e--

例5、计算：⑴81994X0.125,994e___e_

T

7

解：(1)原式=(8x0.125)1994=『狈=1

1ip,

e+-ee+-e--

(2)原式二―^+―eee

2F2­

7)

代於耶今

第二幸：代救茶

基础知识点:

一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表达数的字母连结而成日勺式子，叫代数

式。单独一种数或者i种字母也是代数式。

2、代数式的值；用数值替代代数里的字母，计算后得到的成果叫做代

数式时值。

3、代数式的I分类：

［举寸/单项式

样粕个有理式整式］多项式

代数式《

［分式

无理式

二、整式的有关概念及运算

1、概念

(1)单项式：像X、7、2/丁，这种数与字母的积叫做单项式。单独

一种数或字母也是强项式。

单项式日勺次数：一种单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次

数。

单项式H勺系数：单项式中H勺数字因数叫单项式H勺系数。

(2)多项式：儿种单项式日勺和叫做多项式。

多项式H勺项：多项式中每一种单项式都叫多项式H勺项。一种多项式具

有几项，就叫几项式。

多项式日勺次数：多项式里，次数最高日勺项的次数，就是这个多项式的

次数。不含字母的项叫常数项。

升（降）基排列：把一种多项式按某一种字母的指数从小（大）到大

（小）时次序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幕排列。

（3）同类项：所含字母相似，并且相似字母I的指数也分别相似日勺项叫

做同类项。

2、运算

（1）整式附加减：

合并同类项：把同类项的系数相加，所得成果作为系数，字母及字母

口勺指数不变。

去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，

括号里各项都不变；括号前面是”号，把括号和它前面日勺”号去掉,

括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号

前面是“-”号，括到括号里日勺各项都变号。

整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，假如碰到括号，先去

括号，再合并同类项。

（2）整式时乘除：

幕的运算法则：其中m、n都是正整数

同底数幕相乘:。*优=屋"+"；同底数幕相除：优二优=产”；

暴的乘方：（优"）“二优"积的乘方：（3=a"0

单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相似的字母,

用它们日勺指数欧J和作为这个字母日勺指数；对于只在一种单项式里具有的字

母，则连同它的指数作为积的一种因式。

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式日勺每一项，再把所得的

积相加。

多项式乘以多项式：先用一种多项式的每一项乘以另一种多项式的每

一项，再把所得的积相加。

单项除单项式：把系数，同底数辕分别相除，作为商的因式，对于只

在被除式里具有字母，则连同它口勺指数作为商的一种因式。

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得

日勺商相加。

乘法公式：

平方差公式：(。+/力(。一/力=《J-Z?2；

完全平方公式：(。+"2=/+2"+/,(a-h)2=a2-2ah+h2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一种多项式化成几种整式时积的形式，叫因式分

解。

2、常用的因式分解措施：

(1)提取公因式法：ma+mb+me=m{a+b+c)

(2)运用公式法：

平方差公式：a2-b2={a+b\a-b)；完全平方公式：

a2±lab+h2=(a±b)2

(3)十字相乘法：x24-(a+b)x-\-ab=(x+a)(x+b)

(4)分组分解法：将多项式的项合适分组后能提公因式或运用公式分

解。

(5)运用求根公式法：若。/+bx+c=O(〃/0)的J两个根是阳、x2,

则有：

ax++c=a(x-x1)(x-x2)

3、因式分解的一般步骤：

（1）假如多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法;

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公

式法。

（4）最终考虑用分组分解法。

四、分式

1、分式定义：形如4的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中具

B

有字母。

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义；BWO时，分式故意义。

（2）分式时值为0：A=（）,BW0时，分式的I值等于0。

（3）分式的约分：把一种分式口勺分子与分母的公因式约去叫做分式的

约分。措施是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一种分式日勺分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

分式运算的最终止吴若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几种异分母的分式分别化成与原来分式相等日勺同分母分

式日勺过程，叫做分式日勺通分。

（6）最简公分母：各分式H勺分母所有因式的最高次幕的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：

（1）4=土蛆（〃是工（）的整式）；（2）

BBM

4="丝（用是。0的整式）

BB-i-M

（3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式自身口勺符号，变化其

中任何两个，分式H勺值不变。

3、分式的运算：

（1）力口、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母

日勺分式相加减，先把它们通提成同分母日勺分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子,

分母乘以分母。

（3）除：除以一种分式等于乘上它日勺倒数式。

（4）乘方：分式日勺乘方就是把分子、分母分别乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子JZ（Q20）叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数日勺因数是整数，因式是整式，被开方数

中不含能开得尽方向因式的二次根式叫最简二次根式。

(2)同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相似日勺二次艰

式，叫做同类二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把两个具有二次根式日勺代数式相乘，假如它们的积

不具有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式(常用日勺有理化

因式有：与无、+与一cJZ)

2、二次根式的J性质：

(1)(五)2=a(a>0)；(2)=|rz|=<(°)；(3)

(a<0)

Tab-4a-4b(a20,b，0)；(4)

3、运算：

(1)二次根式附加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类

二次根式。

(2)二次根式日勺乘法：4a-4h=4ab(a20,b20)。

(3)二次根式日勺除法:-(d>0,/?>0)

二次根式运算的最终止果假如是根式，要化成最简二次根式。

例题:

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(x-y)4-6b2(y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式

解：略

［规律总结］因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一种因式都分

解到不能再分解为止，往往需要对分解后日勺每一种因式进行最终日勺审查：

假如还能分解，应继续分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)x4-5x2-36；(2)(x+J；)?—4(工+>)—12

分析：可当作是1和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分

解。

解：略

［规律总结］应用十字相乘法时，注意某一项可是单项H勺一字母，也可

是某个多项式或整式，有时还需要持续用十字相乘法。

3、分组分解法:

例3、—x—2

分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，

再公式。

解：略

［规律总结］对多项式合适分组转化成基本措施因式分组，分组口勺目的

是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。

4、求根公式法：

例4、x2+5x4-5

解：略

二、式的运算

巧用公式

11

例5、计算：(1---------)20-(1+——)29

a-ba-b

分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简朴化。

解：略

［规律总结］抓住三个乘法公式的特性，灵活运用，尤其要掌握公式H勺

几种变形，公式时逆用，掌握运用公式日勺技巧，使运算简便精确。

2、化简求值:

例6、先化简，再求值：5/_（3/+5/）+（4;/+7肛，），其中户-

1y=1—V2

解：略

［规律总结］一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。

3、分式的计算：

例7、化简士2+（上一。一3）

2a-6a-3

2

分析：-。一3可当作一a^--9-

。一3

解：略

［规律总结］分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、

分母；（2）注意负号

4、根式计算

例8、己知最简二次根式J赤斤和是同类二次根式，求b的

值。

分析：根据同类二次根式定义可得：2b+l=7-bo

解：略

［规律总结］二次根式的性质和运算是中考必考内容，尤其是二次根式

H勺化简、求值及性质H勺运用是中考的重要考察内容。

代檄榔今

第三本；方程前方程低

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：具有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边H勺值相等的未知数的值叫方程的解，具

有一种未知数的方程日勺解也叫做方程日勺根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程

日勺增根。

二、一元方程

1、一兀一次方程

（1）一元一次方程的原则形式：ax+b=（）（其中x是未知数，a、b是

已知数，aWO）

（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已

知数，a20）

（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类

项和系数化为I。

（4）一元一次方程有唯一的一种解。

2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax2+hx+c=0（其中x是未知数,

a、b、c是己知数，aWO）

（2）一元二次方程的解法：直接开平措施、配措施、公式法、因式

分解法

（3）一元二次方程解法日勺选择次序是：先特殊后一般，假如没有规定,

一般不用配措施。

（4）一元二次方程的根日勺鉴别式：△=从一4〃。

当△>0时O方程有两个不相等的实数根；

当△=（）时O方程有两个相等日勺实数根；

当AvO时O方程没有实数根，无解；

当△20时O方程有两个实数根

（5）一元二次方程根与系数的关系:

若打工2是一元二次方程a/+〃X+C=（）『、J两个根，那么：

（6）以两个数七,修为根的一元二次方程（二次项系数为1）是:

2

X一区+x2)x+AjX2=0

三、分式方程

（1）定义：分母中具有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程口勺解法：

•般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊措施：换元法。

（3）检验措施：一般把求得时未知数时值代入最简公分母，使最简公

分母不为0日勺就是原方程的）根;使得最简公分母为0时就是原方程日勺增根,

增根必须舍去，也可以把求得口勺未知数口勺值代入原方程检验。

四、方程组

1、方程组的解：方程组中各方程日勺公共解叫做方程组日勺解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组

3、一次方程组：

（1）二元一次方程组:

,crx+b.y-c,一段,

一般形式：（4],%，“1力”。1，。。不全为0）

a2x+b2y=c2

解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一日勺解，或无解，当两个方程相似时有无数的I解。

（2）三元一次方程组：

解法：代入消元法和加减消元法

4、二元二次方程组：

（1）定义：由一种二元一次方程和一种二元二次方程构成时方程组以

及由两个二元二次方程构成的方程组叫做二元二次方程组。

（2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一

次方程组。

考点与命题趋向分析

例题：

一、一元二次方程日勺解法

例1、解卜列方程：

（1）—（x+3）~=2；（2）2%2+3x=1；（3）4（x+3）~=25（x—2）~

分析：（1）用直接开措施解；（2）用公式法；（3）用因式分解法

解：略

［规律总结］假如一元二次方程形如。+m）2=〃（〃20）,就可以用直接开

措施来解；运用公式法可以解任何一种有解日勺一元二次方程，运用公式法

解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：

（1）/一。（3%-2。+〃）=0（x为未知数）；（2）x2+2cix-^a2=0

分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因

式分解后可求解。

解：略

［规律总结］对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用

公式法时要注意判断△的正负。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

/、211,、/+26x.

（2）-=-----1；（2）-----+-=5

1—X-x+1x厂+2

分析：（1）用去分母口勺措施；（2）用换兀法

解：略

［规律总结］一般的分式方程用去分母法来解，某些具有特殊关系如：有平

方关系，倒数关系等日勺分式方程，可采用换元法来解。

三、根的鉴别式及根与系数的关系

例4、已知有关x/、J方程：(〃一1)/+2〃工+〃+3=0有两个相等口勺实数

根，求p『、J值。

分析：由题意可得A=0,把各系数代入△=()中就可求出p,但要先化为一

般形式。

解：略

［规律总结］对于根的鉴别式的三种状况要很纯熟，还有要尤其留心二次项

系数不能为。

例5、已知a、b是方程/一岳-1=0日勺两个根，求下列各式日勺值：

11

(1)ci7+b；(2)—I—

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把(1)(2)变形后啊式子就可求出

解。

［规律总结］此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把规定H勺式子变

形成具有两根之和和两根之积日勺形式，再代入计算。但要注意检验一下方

程与否有解。

例6、求作一种一元二次方程，使它的两个根分别比方程Y—x—5=0的

两个根小3

分析：先出求原方程的两根之和玉+%和两根之积项X2再代入求出

区-3）+（々-2）和3-3）（9-3）1的值，所求的方程也就轻易写出来。

解：略

［规律总结］此类题目可以先解出第一方程H勺两个解，但有时这样又太复杂,

用根与系数日勺关系就比较简朴。

三、方程组

例7、解下列方程组:

y-2z=1

2x+3y=3

(1)4（2）2x-y-z=5

x-2y=5

x+y+3z=4

分析：（1）用加减消元法消x较简朴；（2）应该先用加减消元法消去y,

变成二兀一次方程组，较易求解。

解：略

［规律总结］加减消元法是最常用的消元措施，消元时那个未知数的系数最

简朴就先消那个未知数。

例8、解下列方程组：

X+V=3x2-xy-4y2-3x+4y=0

（1）\）

xy=l2x2+V=25

分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；（2）要先把

第一种方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别构成两

个方程组来解。

解：略

［规律总结］对于一种二元一次方程和一种二元二次方程构成的方程组一股

用代入消元法，对于两个二元二次方程构成日勺方程组，一定要先把其中一

种方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程构成两个方程组来求

解。

代热耶台

第四*；列方程（做）解点用必

知识点：

一、列方程（组）解应用题的一般步骤

1、审题：

2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程（组）；

4、解方程（组）；

5、检验，作答;

二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；

1、工程问题

（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率X工作时间

（2）常见的等量关系：甲的I工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作

总量

（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问

题

2、行程问题

（1）基本量之间的关系：旅程二速度X时间

（2）常见等量关系：

相遇问题：甲走的旅程+乙走口勺旅程二全旅程

追及问题（设曰速度快）：

同步不一样地：甲的I时间二乙时时间；甲走的旅程-乙走日勺旅程=原来

甲、乙相距旅程

同地不一样步：甲的时间二乙日勺时间-时间差；甲日勺旅程二乙日勺旅程

3、水中航行问题:

顺流速度二船在静水中的速度+水流速度；

逆流速度二船在静水中的I速度-水流速度

4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量二原来的量+增长H勺量；增长的量二原来的

量X（1+增长率）；

5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数二个位上的数+十位上的数X10+百位上的

数X100

三、列方程解应用题时常用措施

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成

代数式，然后根据代数之间日勺内在联络找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上口勺线段表达应用题中口勺数量关系，然后

根据线段长度的内在联络，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出多种

量之间的关系。

4、图示法：就是运用图表达题中日勺数量关系，它可以使量与量之间的

关系更为直观，这种措施能协助我们更好地理解题意。

例题:

例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另

有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲

组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？

分析：设工作总量为1,设甲组单独完成工程需要x天，则乙组完成

工程需要(x+2)天，等量关系是甲组5天日勺工作量+乙组6天的工作量二工作

总量

解：略

例2、某部队奉命派甲连跑步前去9()千米外日勺A地，1小时45分后,

因任务需要，又增派乙连乘车前去支援，已知乙连比甲连每小时快28千米,

恰好在全程的2处追上甲连。求乙连H勺行进速度及追上甲连日勺时间

3

分析：设乙连的速度为V千米/小时，追上甲连口勺时间为I小时，则甲

7

连口勺速度为(v-28)千米/小时,这时乙连行了«+—)小时,其等量关系

4

为：甲走日勺旅程二乙走的旅程=3()

解：略

例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于

改善了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%,成果提前2天完成任

务，求改善操作技大后每天生产通讯设备多少台？

分析：设原计划每天生产通讯设备X台，则改善操作技术后每天生产

X(1+0.5)台，等量关系为：原计划所用时间-改善技术后所用时间=2天

解：略

例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经

营不善，销售额下降10%,后来经加强管理，又使月销售额上升，到四月

份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？

分析：设三、四月份平均每月增长率为x%,二月份日勺销售额为6()

(1-10%)万元，三月份的销售额为二月份的(1+x)倍，四月份日勺销售额

又是三月份的(1+x)倍，因此四月份H勺销售额为二月份H勺(1+x)2倍，

等量关系为：四月份销售额为=96万元。

解：略

例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳20%日勺利息

税，例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息欧I计算公式为：

税后利息

=100x2.25%-10()x2.25%x20%=100x2.25%(1-20%)

已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元,

问该储户存入了多少本金？

分析：设存入X元本金，则一年期定期储蓄到期纳税后利息为

2.25%(l-20%)x元，方程轻易得出。

例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40

元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取合适的降低成本

措施，经调查发现，假如每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2

件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的利润为(40-x)元，

平均每天时销售量为(20+2x)件，由关系式：

总利润=每件H勺利润X售出商品的叫量，可列出方程

解：略

代册邮台

第五#:系塔K&系等K做

知识点：

一、不等式与不等式的性质

1、不等式：表达不等关系日勺式子。(表达不等关系日勺常用符号：吟

<,>)o

2、不等式的性质：

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一种数，不等号方向不变化，

如a>b,c为实数=>a+c>b+c

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一种正数，不等号方向不变，如

a>b,c>0=>ac>bco

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一和负数，不等号方向变化，如

a>b,c<（）=>ac<bc.

注：在不等式口勺两边都乘以（或除以）一种实数时，一定要养成好的

习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向与否

变化，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a,b/、J大小关系（三种）：

（1）a-b>0。a>b

（2）a-b=（）<=>a=b

（3）a-b<0<=>a<b

4、（1）a>b>0o右

(2)a>b>0=/<h2

二、不等式（经）H勺解、解集、解不等式

1、能使一种不等式（组）成立的未知数日勺一种值叫做这个不等式（组）

日勺一种解。

不等式H勺所有解H勺集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各人不等式日勺解集的公共部分叫做不等式组日勺解集。

2.求不等式（组）时解集的过程叫做解不等式（组）。

三、不等式（组）的类型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：具有一种未知数并且含未知数内项的次数是一次日勺不等式,

叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要尤其注意当不等式日勺两边同

乘以（或除以）-一种负数时，不等号方向要变化。

2、一元一次不等式组：

（1）概念：具有相似未知数日勺儿种一元一次不等式所构成的不等式组,

叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组日勺解集一般借助数轴求解较以便。

例题：

措施1:运用不等式的I基本性质

1、判断正误：

(1)若a>b,c为实数，则

(2)若枇2>be?,则a>b

分析：在(1)中，若C=(),贝Ij4c2=hc2；在(2)中，因为”>，，

因此。CWO,否则应有。。'2二儿2故a>b

解:略

［规律总结］将不等式对的变形口勺关键是牢记不等式的三条基本性质,

不等式的两边都乘以或除以具有字母的式子时，要对字母进行讨论。

措施2：特殊值法

例2、若aVbVO,那么下列各式成立的是()

A、一<一BabV()C、一<1D、一>1

abbb

分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般状况下成立,

当然特殊状况也成立，因此采用特殊值法。

解：根据aVb<()附条件，可取a=-2,b=-1,代入检验，易知人〉1,

b

因此选D

［规律总结］此种措施常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答

时使用特殊值法，既快，乂能找到符合条件的答案。

措施3：类比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表达出来。

x—1x—1

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)1--------->2----------

23

分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，重要步骤有

去分母，去括号、移项、合并同类项，把系数化成1,需要注意H勺是，不

等式欧I两边同步乘以或除以同一种负数，不等号要变化方向。

解：略

［规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，但要注

意当不等式日勺两边都乘以或除以同一种负数时，不等号日勺方向必须变化，

类比法解题，使学生轻易理解新知识和掌握新知识。

措施4：数形结合法

2(x+8)<10-4(x-3)

例4、求不等式组：k+i6Y+7的非负整数解

-----------------<1

23

分析：规定一种不等式组的非负整数解，就应先求出不等式组的解集,

再从解集中找出其中日勺非负整数解。

解：略

措施5：逆向思索法

例5、已知有关xl的不等式（。―的解集是x>3,求a的

值。

分析•：因为有关x时不等式的解集为x>3,与原不等式的不等号同向，

因此有a-2>0,即原不等式的解集为%>吐应,吐9=3解此方程求

a-2a-2

出a的值。

解：略

［规律总结］此题先解字母不等式，后着眼已知口勺解集，探求成立的条

件，此种类型题都兴用逆向思索法来解。

代於琳台

第自卑:*破4其与俄

知识点：

一、平面直角包标系

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。

在平面直角坐标系内日勺点和有序实数对之间建立了一一对应日勺关系。

2、不一样位置点H勺坐标的特性：

(1)各象限内点区I坐标有如下特性：

点P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0；

点P(x,y)在第二象限OxVO,y>0；

点P(x,y)在第三象限OxVO,y<()；

点P(x,y)在第四象限Ox>0,y<0o

(2)坐标轴上日勺点有如下特性：

点P(x,y)在x轴上<=>丫为0,x为任意实数。

点P(x,y)在y轴上Ox为0,y为任意实数。

3.点P(x,y)坐标的几何意义：

⑴点P(x,y)到x轴时距离是|y|；

(2)点P(x,y)到y袖的距离是|到;

(3)点P(x,y)到原点『'J距离是Jx?+y2

4.有关坐标轴、原点对称日勺点的坐标的特性：

(1)点P(a,b)有关x轴日勺对称点是［(〃,-/?)；

(2)点P(a,b)有关x轴日勺对称点是乙(一出加；

(3)点P(a,b)有关原点口勺对称点是尸式一。,一匕)；

二、函数口勺概念

1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不一样数值日勺量叫做变量;

保持数值不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y,假如对于

x日勺每一种值，y均有唯一日勺值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的

函数。

（I）自变量取值范围确实是：

①解析式是只具有一种自变量的整式日勺函数，自变量取值范围是全体

实数。

②解析式是只具有一种自变量日勺分式H勺函数，自变量取值范围是使分

母不为0日勺实数。

③解析式是只具有一种自变量日勺偶次根式的函数，自变量取值范围是

使被开方数非负的实数。

注意：在确定曲数中自变量日勺取值范围时，假如碰到实际问题，还必

须使实际问题故意义。

（2）函数值:给自变量在取值范围内的一种值所求得H勺函数的对应值。

（3）函数时表达措施：①解析法；②列表法；③图像法

(4)由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点;

③连线

三、几种特殊的函数

1、一次函数

自变量的

解析式图像性质

函数取值范围

<2

正比例y=kx全体

函数(k#0)实数r

1:>0k<0①当k>0时y

随X的增大而

增大

②当kV0时y

随的增大而

22X

减小.

J/b>0

y=kx//b=0

一次全体

+b

函数实数

(D1*舔。

k:>0k<0b<0

直线位置与k,b日勺关系:

(1)k>0直线向上的方向与x轴的止方向所形成的夹角为锐角;

(2)k<0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角;

(3)b>()直线与y轴交点在x轴的上方；

(4)b=0直线过原点;

(5)b<0直线与y轴交点在x轴的下方;

2、二次函数

自变量的

函数解析式图像(抛物线)

取值范围

\jy.y

(1)一般式:y=ax23+bx+c

(a#0)

体

(2)顶点扎y=a(x-m)2+n全

二次

数

顶点为(m,n)实

函数IT

(3)两根式:1,2a

尸a(x-X])(x-X2)与

X轴两交点：(X|、O)(X2,O)a>0a<0

-y>0-<o

2a-2,a

抛物线位置与a,b,cH勺关系:

。>00开口向上

(1)a决定抛物线时开口方向《

Q<0=开口向下

(2)c决定抛物线与y轴交点的I位置:

0()0图像与y轴交点在x轴上方；c=()<=>图像过原点；c<()O图像

与y轴交点在x轴卜方；

(3)a,b决定抛物线对称轴口勺位置：a,b同号，对称轴在y轴左侧；

b=0,对称轴是y轴；a,b异号。对称轴在y轴右侧;

3、反比例函数:

函数解析式熟需

图像（双曲线）性质

①k>0时，图像的两个分

分别在一、三象限，在每

象限内，y随X的增大而

反比kx40

y=­小；

例X的

②k<0时，图像的两个分

函数(k#0)实数

分别在二、四象限，在每

象展内，y随x的增大而

大

k<0

函数正比例函数反比例函数

解析式y-fct(A#O)y="(^#0)

X

图像直圾，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点

自变量取值范围全体实数XX。的一切实数

•，在一、三象限；■，在一、三象限；

图像的位置当4>0比当强>0例

当A〈0况匕在二、四象限。ii<O0!匕在二、四象限。

性质.当A>0时随工增大而增大；当L>0时,y随*增大而减小；

当上（0时，丁随弁的增大而减小。_____当/<0时,y随力增大而增大。

例题2

出点P的坐标，再运用待定系数法可求出这正、反比例函数日勺解析式。

解：略

例2、已知a,b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x[1勺一次

函数.

分析：应写出y+b与x+a成正比例的体现式，然后判断所得成果与否符

合一次函数定义.

证明：由己知，有y+b=k(x+a),其中kWO.

整顿，得y=kx+：ka—b).①

因为kWO且ka—b是常数，故y=kx+(ka—b)是x欧I一次函数式.

例3、填空：假如直线方程ax+by+c=。中，a<0,bVO且bcVO,则此

直线通过第象限.

分析：先把ax-by+c=O化为一日不一上.因为aVO,b<0,因此

bh

-)0,--<0,又bcVO,即£<0,故一£>0.相称于在一次函数y=kx+1

bbbb

中，k=--<0,l=-->0,此直线与y轴的交点(0,一£)在x轴上方.

bbb

且此直线的向上方向与x轴正方向所成角是钝角，因此此直线过第一、二、

四象限.

例4、把反比例函数y=二与二次函数y=kx(kWO)画在同一种坐标系

x

里，对的日勺是().

答：选(D),这两个函数式中的kfT、J正、负号应相似(图13—110).

例5、画出二次函数y=x'-6x+7欧J图象，根据图象回答问题：

(1)当x=T,L3时y时值是多少？

(2)当y=2时，对应的x值是多少？

(3)当x>3时，随x值的增大y时值怎样变化？

(4)当xH勺值由3增加1时，对应的y值增加多少？

分析：要画出这个二次函数的图象，首先用配措施把y=x2-6x+7变形

为y=(x-3)2—2,确定抛物线的I开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、

描点、画图.

解：图象略.

例6、拖拉机开始工作时，油箱有油45升，假如每小时耗油6升.

（1）求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系

式；

（2）画出函数的）图象.

答：⑴Q=45-6t.

（2）图象略.注意：这是实际问题，图象只能由自变量t日勺取值范

围0WtW7.5决定是一条线段，而不是直线.

代裁都令

第七*.，布录初步

知识点：

一、总体和样不：

在记录时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对

象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一种样本，样本中个

体的I数目叫做样本容量。

二、反应数据莫中趋势口勺特性数

1、平均数

-1

（1）内/0/3,…，匕口勺平均数，%=一*[+%>+…+%）

n

（2）加权平均数：假如n个数据中,一出现力次,£出现力次，……，

心出现A次（这里工+力+…+£’=〃）