高中数学 加练 专题8　第82练　定直线问题

第82练定直线问题(分值：30分)定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有：(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点的轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数.(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.1.(15分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的方程；(5分)(2)记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，过点(0，4)且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程.(10分)解(1)由椭圆过点P(2，2)，且离心率为22所以4a2故所求的椭圆C的方程为x28+y(2)由题意得A(0，2)，B(0，-2)，直线MN的方程为y=kx+4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立y整理得(1+2k2)x2+16kx+24=0，Δ=64k2-96>0，所以x1+x2=-16k1+2k2，x1x则kx1x2=-32(x1+x2)则直线AN的方程为y-2=y2-2x2x，直线BM的方程为y+2=得y-2y+2==kx1=12x1解得y=1，即直线BM与AN的交点G在定直线y=1上.2.(15分)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点E(n，2)是C上一点，且|EF|=5，记O为坐标原点，过点F的直线l1与C相交于A，B两点.(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；(3分)(2)求4|AF|+|BF|的最小值；(6分)(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若抛物线C在点P处的切线l2交y轴于点Q，且MN=MP+MQ，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.(6分)解(1)由E(n，2)是C上一点，且|EF|=5，结合抛物线定义，可得准线l的方程为y=-3，则焦点为F(0，3)，则p2=3所以抛物线C的方程x2=12y.(2)由题可得过点F的直线l1的斜率存在，设过点F的直线l1的方程为y=kx+3，将直线方程与抛物线方程联立，可得x2=12(kx+3)，即x2-12kx-36=0，Δ=144k2+144>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，可得x1x2=-36，则y1y2=(x1x2)2144=9，y又由抛物线定义可得4|AF|+|BF|=4(y1+3)+y2+3=4y1+y2+15≥24y1当且仅当4y1=y2，即y1=32，y2=6故4|AF|+|BF|的最小值为27.(3)设P(x0，y0)，M(x3，-3)，由x2=12y，得y=x212，则y'=则在P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=x06(x-x0)，即x0x-6y=6y令x=0，得y=-y0，即Q(0，-y0)，设N(x4，y4)，则MN=(x4-x3，y4+3).又MP=(x0-x3，y0+3)，MQ=(-x3，-y0+