2025~2026学年安徽卓越县中联盟高一下册5月教学质量检测（A卷）数学试题【含答案】

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.2.下列说法正确的是（）A.直四棱柱是长方体B.五棱锥是六面体C.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.4.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形5.在正三角形中，分别为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，构成三棱锥如图所示，则异面直线所成的角的大小为（）A. B.C. D.6.飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（）A. B.C. D.7.在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.8.在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（）A.2 B.3 C.4 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若是异面直线，且，则11.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（）A.B.角的最大值为C.若是锐角三角形，且，则是等边三角形D.若是钝角三角形，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为___________．13.若复数满足，则的取值范围是___________．14.在棱长为6的正方体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则平面截正方体所得截面的周长为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，复数，且为纯虚数．（1）求的值；（2）若，求．16.如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．17.已知非零向量满足，且．（1）求的值；（2）证明：；（3）设与的夹角为，求及的值．18.在中，角所对的边分别为，且．（1）求证：；（2）若的面积为52，求；（3）若是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：依题意，，所以的共轭复数．2.下列说法正确的是（）A.直四棱柱是长方体B.五棱锥是六面体C.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱答案：B解析：解答过程：当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；五棱锥是六面体，故B正确；如图1所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故C不正确；如图2所示，该几何体满足有两个面互相平行且其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误．3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，因为，所以，解得．4.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：解答过程：由及正弦定理，得，因为，所以，代入得，即，因为，所以，故，因为，所以，即的形状为直角三角形．5.在正三角形中，分别为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，构成三棱锥如图所示，则异面直线所成的角的大小为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：取的中点为，连接，由题意知三棱锥的棱长都相等，可证明平面，进而求解即可.解答过程：如图，取的中点为，连接，由题意知三棱锥的棱长都相等，所以，，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，即异面直线所成的角的大小为．6.飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可.解答过程：设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，，由题意可得，且，，所以，故，即飞行器在该时刻的地速大小为．7.在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图，在正四棱台中，，令分别是正方形的中心，分别是的中点，连接，显然四边形是直角梯形，且．易知是正四棱台的高，，所以是二面角的平面角．由题意得，过作，垂足为，则，所以正四棱台的体积为．8.在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为（）A.2 B.3 C.4 D.答案：A解析：思路：结合平面向量的数量积，三角形的角平分线定理，三角形的外心求解．解答过程：因为是的角平分线，所以，设边上的高为，则，所以，令，得，过点作，垂足分别为，由外心性质得分别为的中点，所以，即，解得或，又，所以，即．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：AD解析：思路：根据复数的加减、乘法运算及复数的几何意义求解判断即可.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误；对于C，因为，故C错误；对于D，，，，所以，故D正确．10.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若是异面直线，且，则答案：AD解析：解答过程：对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则或，故B错误；对于C，若，则或是异面直线，故C错误；对于D，若，则存在平面，使得，所以，若，则，又，则，与是异面直线矛盾，所以，又，所以，又是异面直线，，所以相交，又且，，所以，故D正确．11.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（）A.B.角的最大值为C.若是锐角三角形，且，则是等边三角形D.若是钝角三角形，则的取值范围是答案：ABC解析：思路：利用正余弦定理判断A、B，根据基本不等式和三角形的边的关系判断C、D．解答过程：由及正弦定理，得，所以，故A正确；由，得，由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，因为，所以，即角的最大值为，故B正确；由三角形的边的关系，得，即，解得，在区间内的正整数只有1和2，当时，是等边三角形，也是锐角三角形；当时，，则，为钝角，不符合题意，综上所述，若是锐角三角形，且，则是等边三角形，故C正确；当时，，所以，由是钝角三角形知，所以，即，解得，当时，，不符合是钝角三角形；当时，，所以，由是钝角三角形知，所以，即，解得，又由三角形的边的关系，得，所以的取值范围是，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为___________．答案：解析：思路：根据轴截面的性质及圆锥的侧面积公式求解即可.解答过程：因为轴截面为直角三角形，所以圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为.13.若复数满足，则的取值范围是___________．答案：解析：解答过程：在复平面内，设对应的点为，由，得的集合是以为圆心，以4为半径的圆，是点到点的距离，因为，所以，即的取值范围是．14.在棱长为6的正方体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则平面截正方体所得截面的周长为___________．答案：解析：思路：根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再求出其周长即可.解答过程：如图，取的中点为，在上取两点，使得，在上取一点，使得，连接，在正方体中，，又分别是棱的中点，则，四边形是平行四边形，，而，则，则四边形是平行四边形，，因此，四边形是平行四边形，，由分别是，的中点，得，由，得四边形是平行四边形，，因此平面与正方形的交线是线段；取的中点为，连接，同理得，则平面截正方体所得截面是五边形，其中，于是五边形的周长为，所以平面截正方体所得截面的周长为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，复数，且为纯虚数．（1）求的值；（2）若，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的概念求出实数的值；（2）运用复数的除法运算求出，再根据复数模的概念求．（1）因为复数为纯虚数，所以解得．（2）由（1）得，所以，所以．16.如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．答案：（1）如图，连接，交于点，连接．在长方体中，四边形是矩形，因为对角线与交于点，所以为的中点，又点是棱的中点，所以，又平面平面，所以平面．（2）连接．在长方体中，四边形是矩形，所以，因为点分别是棱的中点，，所以，所以四边形是正方形，．在长方体中，平面，又平面，所以．因为平面，所以平面．解析：思路：（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行；（2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直．（1）略（2）略17.已知非零向量满足，且．（1）求的值；（2）证明：；（3）设与的夹角为，求及的值．答案：（1）1（2）证明：因为，所以，又，所以，所以

，所以（3），解析：思路：（1）根据数量积与模的概念与公式求的值；（2）通过向量垂直的等价条件证明；（3）应用向量夹角的公式求．（1）因为，所以，故．又，所以．（2）略（3）因为，所以．因为，又，所以．18.在中，角所对的边分别为，且．（1）求证：；（2）若的面积为52，求；（3）若是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值．答案：（1）证明：由及正弦定理，得，所以．因为，所以，所以或，解得或（舍）．（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理和三角恒等变换证明；（2）先根据正弦定理和三角恒等变换求出，再根据三角形的面积公式求；（3）分别在与中运用正弦定理求出，再应用三角形的面积公式求最值．（1）略（2）因为，所以，又，所以，即．因为，所以．因为，所以的面积，解得．（3）由，得，即，又，所以．不妨设在线段上，设，则．在中，，所以，即．在中，，所以，即．所以的面积．令，因为，所以，，所以当时，取到最大值，所以，即的面积的最小值为．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）设与平面所成角为，求的取值范围．答案：（1）证明：因为底面是边长为2的菱形，且，所以是等边三角形，，因为点是的中点，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）（3）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质得到平面，再证平面平面；（2）先根据为直角三角形，平面平面判断几何体的外接球的球心位置，再运用表面积公式；（3）先根据直线与平面所成角的概念求出直线与平面所成角，再用函数求取值范围．（1）略（2）因为为直角三角形，平面平面，所以三棱锥的外接球球心一定在平面内，且为的外心．因为底面是边长为2的菱形，且，所以是等边三角形，，由正弦定理，得（为的外接圆半径），解得，即