2025~2026学年福建福州格致中学高二下册6月限时训练数学试题【含答案】

/数学本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若命题“，”为假命题，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知，f'x为的导函数，则的图象大致是（）A. B.C. D.4.已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（）A.2026 B.2027 C.4052 D.40535.为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：x12345Y50607080100由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（

）A.4 B.5 C.-4 D.-56.甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.7.设随机变量服从正态分布N1,σ2，若，则函数有极值点的概率为（）A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.558.已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意x∈D，都有恒成立，f1=2，则不等式的解集为（）A. B.C. D.−∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（）A.d＝1 B.C. D.10.下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（）A. B.C.当Р最大时，X=4或5 D.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的单调递增区间是，1,+∞B.的值域为RC.D.若，，，则.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，项的系数为________．13.在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________．14.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的23，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．参考数据及公式：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是定义在R上的奇函数，且当时，．（1）求函数在R上的解析式；（2）若函数，记函数的最小值，求的解析式；16.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．（i）求的分布列及其数学期望；（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望．17.已知数列的前项和为，且.（1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示.66（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？参考数据：其中，.1.54参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(19.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：x1+x2>2

数学本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由或，，所以.2.若命题“，”为假命题，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论.解答过程：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，则，解得，即的取值范围是．3.已知，f'x为的导函数，则的图象大致是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：求导得到，根据奇偶性排除B，D，由特殊值计算排除C选项得到答案.解答过程：对求导可得，又，则f'当时，，故排除C，因此A符合题意.4.已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（）A.2026 B.2027 C.4052 D.4053答案：C解析：解答过程：因为，所以，则等差数列为递增数列，，，故使得的最大正整数为.5.为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：x12345Y50607080100由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（

）A.4 B.5 C.-4 D.-5答案：C解析：解答过程：依题意，，，由回归方程必过样本中心，得，解得，所以在样本点处的残差为.6.甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据条件概率及全概率知识点求解即可．解答过程：由题可知，，，，，则，综上，选项B错误．7.设随机变量服从正态分布N1,σ2，若，则函数有极值点的概率为（）A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55答案：B解析：思路：由题意可得有变号的根，从而可得，由正态分布的特征求解即可.解答过程：因为函数有极值点，所以有变号的根，所以，解得，又因为随机变量服从正态分布N1,σ2，且由正态分布的特征可知，所以.8.已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意x∈D，都有恒成立，f1=2，则不等式的解集为（）A. B.C. D.−∞答案：A解析：思路：构造函数gx=fxx解答过程：令gx=f因为对任意x∈D，都有所以当时，；当x>0时，.所以函数在−∞,0上单调递减，在上单调递增.因为为偶函数，所以为偶函数，由f1=2，得所以不等式等价于，即，解得或.所以其解集为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（）A.d＝1 B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据，得到，，再逐项判断.解答过程：因为，所以.因为，所以，即，，，A正确，B错误，C正确.因为，所以，D正确.10.下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则（）A. B.C.当Р最大时，X=4或5 D.答案：CD解析：思路：记事件“向右下落”，则事件“向左下落”，根据小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，可得，分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AC选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断D选项．解答过程：记事件“向右下落”，则事件“向左下落”，则P(A)=设表示事件发生的次数，因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，则，而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，，，，，，故当X=4或X=5时，概率对于D，，故D正确．故选：CD.方法提示：关键点点睛：根据小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，可得，将问题转化为二项分布的相关问题是解决本题的关键.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的单调递增区间是，1,+∞B.的值域为RC.D.若，，，则.答案：ABD解析：解答过程：由导函数在定义域上恒成立即可判断A；由函数单调性和函数值情况即可判断B；由即可分析判断C；将转化变形为得到即可分析判断D.思路：A选项，的定义域为，在定义域上恒成立，故的单调递增区间是，，A正确；B选项，当时，−∞，当时，；当时，，当时，趋向于，故的值域为，B正确；C选项，时，，又，所以，C错误；D选项，，又，故，故，因为，所以，又a∈0,1，在上单调递增，故，即，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，项的系数为________．答案：−30解析：解答过程：表示5个相乘，要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项，所以项的系数为.13.在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________．答案：##0.8解析：思路：求出的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项共4项，分别求出，，，从而求出Eξ．解答过程：的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项有第一项：，第二项：，第九项：，第十项：，共4项，所以，，，所以．答案：.14.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的23，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．参考数据及公式：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：48解析：思路：设男生人数为，由题可得列联表，然后由题设可得关于不等式，据此可得答案.解答过程：设男生人数为，则女生人数为12x，男生追星人数为13x女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下：追星不追星总计男生13女生1312总计则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得：.又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是定义在R上的奇函数，且当时，．（1）求函数在R上的解析式；（2）若函数，记函数的最小值，求的解析式；答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在R上的解析式；（2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式.（1）已知是定义在R上的奇函数，则f0=0若，则−x>0，则，又因为为奇函数，则，综上可得，．（2）当时，，则函数开口向上，且对称轴的方程为x=a①当时，函数在区间单调递增，故当x=1时，函数取得最小值，最小值是，②当1<a<2时，函数在单调递减，在单调递增，故当x=a时，函数取最小值，最小值是，③当a≥2时，函数在区间单调递减，故当时，函数取得最小值，最小值是，所以函数的最小值．16.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．（i）求的分布列及其数学期望；（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望．答案：（1）（i）分布列见解析，2；（ii）（2）244.8元解析：思路：（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解；（2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望.（1）（i）由题意可知：的可能取值有1，2，3，则PX=1=C4所以的分布列为X123P且的期望；（ii）由条件概率公式得.（2）设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600，则；；；；所以，所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元.17.已知数列的前项和为，且.（1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）证明见解析，（2）解析：思路：（1）先根据时，及已知等式求出a1.（2）利用错位相减法求和方法进行求解.（1）由题意，当时，，解得，当时，由①，可得②，①-②，可得，即，两边同时加6，可得，，，即.数列bn是以2为首项，12∴数列bn的通项公式为，（2）由（1）知，，则，，，两式相减，得，，.18.近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示.（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？参考数据：其中，.1.54参考公式：对