2025~2026学年福建厦门熹海高级中学高一下册年段期中考试数学试题【含答案】

/数学一、单选题1.若z是复数，且（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A. B. C. D.2.在中，，则的值为（）A. B.5 C. D.3.在中，角所对的边分别为，若，则（）A. B.2 C.1或2 D.2或4.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（）．A.4 B. C. D.85.表面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A.1 B. C.2 D.6.在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（）A. B. C. D.7.已知向量，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.8.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（）A. B.2 C. D.二、多选题9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A. B.的虚部为C.在复平面内对应的点在第三象限 D.10.在中，角的对边分别为，若，则的值可以是（）A. B. C. D.11.如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是（）A.四边形一定为菱形 B.平面平面C.四棱锥体积为 D.四边形的周长最小值为三、填空题12.已知向量，，且，则______．13.在正方体中，异面直线与所成的角的余弦值为___14.圆柱容球定理是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现，具体内容是这样的：在圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题．我们来重温这个伟大发现．在这个定理中，圆柱体积与球体积之比是______．四、解答题15.如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．16.如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.17.如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km.（1）求；（2）求，之间的距离.18.如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且．（1）求正四棱锥的表面积；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正切值．19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．（1）已知，，，且，求t的值．（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．

数学一、单选题1.若z是复数，且（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，所以z的共轭复数是.2.在中，，则的值为（）A. B.5 C. D.答案：D解析：思路：根据向量数量积公式求出答案.解答过程：由题意得的夹角为，.故选：D3.在中，角所对的边分别为，若，则（）A. B.2 C.1或2 D.2或答案：C解析：思路：由余弦定理即可求.解答过程：由余弦定理得，化简得，解出或2.故选：C.4.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（）．A.4 B. C. D.8答案：A解析：思路：由题意，还原直观图得原图后，可得，结合三角形面积公式即可求解.解答过程：因为，，所以，如图所示，还原直观图得原图：所以，则原平面图形的面积为.故选：A.5.表面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A.1 B. C.2 D.答案：C解析：思路：先由圆锥的侧面展开图为半圆求得，再利用圆锥的表面积得到关于的方程，解之即可.解答过程：由题意得，设圆锥的底面半径为，母线长为，则，得，故该圆锥的侧面积为，底面积为，所以圆锥的表面积为，则，所以该圆锥的底面直径为．故选：C.6.在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为是中点，由向量的中点公式可得：，将上式两边平方得：.已知，，且，代入得：，对两边开平方得：.7.已知向量，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据条件求出，再根据投影向量的概念计算在上的投影向量.解答过程：由，得：.又.所以在上的投影向量为：.故选：C8.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（）A. B.2 C. D.答案：B解析：思路：作图，取AC中点，根据圆锥的性质及二面角的定义计算PD、AC长即可.解答过程：如图所示，∵AB为底面直径，，，∴是等腰三角形，由余弦定理可得，，由圆锥的特征易知，取中点D，连接，显然有，即二面角为，∴，则，∴，故选：B二、多选题9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A. B.的虚部为C.在复平面内对应的点在第三象限 D.答案：ABD解析：思路：先化简复数，利用复数的性质依次判断即可.解答过程：首先化简复数，对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确；对于B，，其中虚部为的系数，故B正确；对于C，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故C错误；对于D，根据完全平方公式计算，故D正确.10.在中，角的对边分别为，若，则的值可以是（）A. B. C. D.答案：AD解析：思路：借助正弦定理可得，即可得.解答过程：由，则，即，则或，当时，当时，.故选：AD.11.如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是（）A.四边形一定为菱形 B.平面平面C.四棱锥体积为 D.四边形的周长最小值为答案：ABC解析：思路：对于A，由正方体的性质得平面平面，从而，同理得，再由，得四边形为菱形；对于B，连接，，，推导出，，从而得到平面平面；对于C，求出四棱锥的体积进行判断；对于D，四边形是菱形，当点，分别为，的中点时，四边形的周长最小．解答过程：连接，，，，，显然，且，所以为平行四边形，所以，由题意得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，则平面，平面，所以平面平面，故B正确；由正方体的性质得平面平面，平面平面，平面平面，故，同理得，又平面，平面，，四边形为菱形，故A正确；对于C，四棱锥的体积为：，故C正确；对于D，四边形是菱形，四边形的周长，当点，分别为，的中点时，四边形的周长最小，此时，即周长的最小值为，故D错误．故选：ABC．三、填空题12.已知向量，，且，则______．答案：解析：解答过程：向量，由，得，所以.13.在正方体中，异面直线与所成的角的余弦值为___答案：解析：思路：先求得异面直线与所成的角，进而得到异面直线与所成的角的余弦值.解答过程：连接，如下图：在正方体中，平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，则异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角的余弦值为.故答案为：.14.圆柱容球定理是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现，具体内容是这样的：在圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题．我们来重温这个伟大发现．在这个定理中，圆柱体积与球体积之比是______．答案：解析：思路：根据题意，利用圆柱和球的体积公式，准确计算，即可求解.解答过程：根据题意，在圆柱内有一个内切球，且球的直径恰好与圆柱的高相等，设圆柱的底面半径为，则母线长为，则圆柱的体积为，球的体积为，可得，所以圆柱与球的体积比为.故答案为：.四、解答题15.如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）根据中位线可得，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明.（1）因为分别是的中点，则，又因为，则，且平面，平面，所以平面.（2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则，因为且平面，平面，所以平面，由（1）得，所以平面.16.如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；（2）由正弦定理即可求解.解答过程：（1）在中，由余弦定理可得，则，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.17.如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km.（1）求；（2）求，之间的距离.答案：（1）（2）15km解析：思路：（1）利用余弦定理求出，即可求；（2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解.（1）由题意知：，，在中，由余弦定理因为,所以（2），,，由题意知：在中，由正弦定理得：，所以由余弦定理得：，即，解得：或（舍），之间的距离为18.如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且．（1）求正四棱锥的表面积；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正切值．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）分别计算底面正方形面积和侧面四个全等三角形的面积，求和即可；（2）利用线面平行的判定定理，通过三角形中位线及平行线分线段成比例定理证明和，进而利用面面平行的判定定理得证；（3）找出点在底面的投影，构造直角三角形，利用正切定义求解．（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形，则底面面积，取中点，连接，则，在中，，所以侧面积，所以正四棱锥的表面积．（2）连接，与交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为中点，因为是的中点，，即，又，所以，即为的中点，在中，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，在中，，所以，又，即，所以，所以，因为平面，平面，所以平面,因为，平面，所以平面平面．（3）连接，因为是正四棱锥，所以平面，又平面，所以，在中，，所以，取的中点，连接，因为是的中点，是的中点，所以且，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以为直线与平面所成的角，因为是中点，是中点，且，所以，在中，，所以直线与平面所成角的正切值为．19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序