2025~2026学年福建省莆田第十五中学高一下册5月期中数学试题【含答案】

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限2.已知向量，，若，则（

）A.1 B.2 C.3 D.43.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（）A. B.C. D.4.已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：①若，，则或；②若，，则；③若，，，，则；④若，，，则或与异面以上命题正确的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.②④5.用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（）A.1 B.2 C. D.6.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（）A.平面 B.与相交C.与是异面直线 D.四边形为正方形7.如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（）A. B. C. D.8.已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（）A.8 B.13 C.16 D.32二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．）9.已知平面向量，，则（）A. B.与可作为一组基底向量C.与夹角的余弦值为 D.在方向上的投影向量的坐标为10.下列说法正确的是（）A.B.C.若，则的最小值为2D.若是关于的方程的根，则11.半正多面体亦称“阿基米德体”“啊基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成）切割而成．在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论不正确的是（）A. B.若平面平面，则C.该半正多面体的体积为 D.该半正多面体的表面积为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数（其中为虚数单位），则_________．13.已知圆锥的底面半径，高为，则这个圆锥的表面积是______.14.中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.四、解答题15.已知复数，为虚数单位．（1）若复数的实部与虚部相等，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围；16.如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点．（1）求证：四点共面；（2）求证：平面；（3）求正方体的外接球的表面积和体积．17.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是的中点，平面平面证明：（1）（2）平面EFG∥平面PBC．18.记的三个内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，且的外接圆半径为，求的面积.19.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若，，求该几何体的体积.（2）若正四棱锥的侧棱长为，，（i）求正四棱锥的侧面积.（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.解答过程：，则在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B．2.已知向量，，若，则（

）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：首先利用向量的加减法则求出向量的坐标，然后根据向量平行求出参数即可.解答过程：因为，所以.因为，所以.解得.故选：D.3.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可.解答过程：由题意可得：，由直观图可得原图，如图所示，可知：，可得，所以原三角形的周长.故选：B.4.已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题：①若，，则或；②若，，则；③若，，，，则；④若，，，则或与异面以上命题正确的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.②④答案：C解析：解答过程：对于①，若，，则或，所以①正确；对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误；对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误；对于④，若，，，则或与异面，所以④正确.5.用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（）A.1 B.2 C. D.答案：C解析：思路：根据球的截面的性质即可求解.解答过程：根据截面面积为可知：截面圆的半径，根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知：球心到截面的距离为故选：C6.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（）A.平面 B.与相交C.与是异面直线 D.四边形为正方形答案：A解析：思路：由空间中线面的位置关系逐个判定即可.解答过程：因为分别为的中点，在正方体中易证平面，不在平面内，所以平面，A对，在平面内，与平面相交于点，不在上，所以与为异面直线，B错，因为分别为的中点，易知，所以与共面，C错，设正方体的棱长为2，易知，，，所以四边形为菱形而不是正方形，D错，故选：A．7.如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设平面交于点，连接、，推导出点为的中点，用三棱柱的体积减去三棱台的体积即可得解.解答过程：设平面交于点，连接、，在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因为且，故四边形为平行四边形，所以，，所以，，因为为的中点，所以，为的中点，且，因为直三棱柱的每条棱长都为，则，易知是边长为的等边三角形，则，，因此，顶点所在部分的体积为.故选：B.8.已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（）A.8 B.13 C.16 D.32答案：B解析：思路：由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解.解答过程：由余弦定理可得，因为，代入化简可得，所以，因为，所以为边的中点，，取的中点为，因为是的外接圆圆心，所以，由数量积的几何意义可知，同理，所以.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．）9.已知平面向量，，则（）A. B.与可作为一组基底向量C.与夹角的余弦值为 D.在方向上的投影向量的坐标为答案：BC解析：思路：对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.解答过程：对A：，则，故A错误；对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；对C：，故C正确；对D：，故D错误.

故选：BC.10.下列说法正确的是（）A.B.C.若，则的最小值为2D.若是关于的方程的根，则答案：ABD解析：思路：设，，计算出判断A；利用复数单位的幂运算判断B；设，，得到，，根据，得到的最小值为1判断C，先求出二次方程的另一个根，然后利用韦达定理求得判断D．解答过程：设，，则，又，，所以成立，所以A正确．，所以B正确．设，，由于，则，即，故，由，得，则，故当时，的最小值为1，所以C不正确．因为是关于的方程的根，所以也是关于的方程的根，则，则，所以D正确．故选：ABD．11.半正多面体亦称“阿基米德体”“啊基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成）切割而成．在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论不正确的是（）A. B.若平面平面，则C.该半正多面体的体积为 D.该半正多面体的表面积为答案：ABD解析：思路：根据几何体的特征即可求解A，根据线面平行的性质即可求解B，根据锥体的体积，结合相似即可求解C，根据面积公式即可求解.解答过程：如图所示：对A选项，易知为正方形，，A选项正确；对B选项，，平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又，，B选项正确；对C选项，根据题意可知上、下两个正四棱锥的所有棱长都为3，上、下两个正四棱锥的高为边长为3的正方形的对角线一半，即为，一个大正四棱锥的体积为，又截去的一个小正四棱锥与大正四棱锥的相似比为，一个小正四棱锥的体积为，该半正多面体的体积为，C选项错误；对D选项，根据题意可得该半正多面体的表面积为：，D选项正确．故选：ABD．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数（其中为虚数单位），则_________．答案：2解析：思路：先利用复数除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解即可.解答过程：因为，所以.故答案为：.13.已知圆锥的底面半径，高为，则这个圆锥的表面积是______.答案：解析：思路：先利用勾股定理求圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求侧面积，加上底面积即可.解答过程：由题知，母线长，所以圆锥的侧面积为，底面积为，所以圆锥的表面积为.故答案为：14.中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.答案：解析：思路：由，结合三角形面积公式证明，根据基本不等式证明，由此求出面积的最小值.解答过程：因为，为的角平分线，所以，又，故由三角形面积公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为.故答案为：.方法提示：知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.四、解答题15.已知复数，为虚数单位．（1）若复数的实部与虚部相等，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围；答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数的定义由实部与虚部相等，列方程可得结果；（2）利用第二象限点坐标的特征，解不等式即可.（1）易知复数的实部为，虚部为，依题意可得，解得；（2）易知复数在复平面内对应的点坐标为，由第二象限特征可知，解得；因此实数的取值范围为.16.如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点．（1）求证：四点共面；（2）求证：平面；（3）求正方体的外接球的表面积和体积．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）；解析：思路：（1）只需证明即可证明四点共面；（2）先由中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得；（3）根据正方体的体对角线即为外接球的直径，进而可得外接球的表面积和体积.（1）如图：连接.因为分别是线段的中点，所以.又因为在长方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以，因此，根据平面的性质，四点在同一个平面内，所以四点共面.（2）连接，交于点，因为是正方形，对角线互相平分，所以是的中点.又是的中点，因此在​中，是中位线，故.因为平面，平面，且，由线面平行判定定理得：平面.（3）因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，正方体棱长，体对角线长，因此外接球半径.所以外接球的表面积：，外接球的体积：17.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是的中点，平面平面证明：（1）（2）平面EFG∥平面PBC．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证.（2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，可得是的中点，而是的中点，则，又平面，平面，则平面，而平面平面，平面，所以（2）由G，F分别是PA，AC的中点，得，又平面，平面，则平面．由（1）知，又平面，平面，则平面，又因为，，平面，所以平面平面.18.记的三个内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，且的外接圆半径为，求的面积.答案：（1）（2）4解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合正弦的和角公式计算即可；（2）利用正弦定理求出，结合余弦定理求出，利用三角形面积公式计算即可.（1）因为，由正弦定理可得，又，则，所以，即，化简得，又，，所以，又，所以.（2）设外接圆的半径为，则，所以，由余弦定理得，结合，，即，解得，则，所以.19.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若，，求该几何体的体积