2025~2026学年福建省泉州市泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学考试时间：120分钟总分：150分第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（）A.3 B. C.6 D.43.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A.若，，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则4.在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.在△ABC中，已知，，，则角C为（）A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或105°6.如图，在中，，，且与交于点，设，则（）A.-1 B. C. D.7.如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（）A. B.5 C. D.108.在中，，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设为复数，则下列结论中正确的是（）A.B.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为C.若为虚数，则也为虚数D.若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为10.下列关于向量的命题正确的是（）A.在中，为边上一点，且，则B.对任意向量，，恒成立C.非零向量，，，满足，，则D.向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（）A.若是线段的中点，则四面体的体积为B.若，则点的轨迹长度是C.若存在点，使平面，则长度的最小值是D.若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.13.如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米．14.已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知为虚数单位，复数．（1）当实数取何值时，是纯虚数；（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．16.已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.（1）求证：点，，，四点共面（2）求证：平面平面.（3）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．19.设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：.（1）已知向量，求；（2）设向量，且，证明：；（3）已知向量，若，求的值.

数学考试时间：120分钟总分：150分第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：化简，再根据复数的几何意义求解即可解答过程：，在第一象限故选：A方法提示：本题主要考查了复数的除法运算与几何意义，属于基础题2.如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（）A.3 B. C.6 D.4答案：A解析：思路：根据斜二测画法将直观图还原，即可求解.解答过程：根据斜二测画法得出，，，将直观图还原，如下图.四边形是直角梯形，上、下底分别为，，高，所以四边形的面积.故选：A.3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A.若，，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：C解析：思路：由空间中直线与直线，直线与平面，平面平面的位置关系逐一判断各个选项即可.解答过程：A：由，可知、可能平行或相交，A错误；B：由，，可知、可能平行或异面，B错误；C：由，，，可知，C正确；D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误.故选：C4.在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，求得，得到，结合投影向量的计算方法，即可求解.解答过程：由平面直角坐标系中，，，可得，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B.5.在△ABC中，已知，，，则角C为（）A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或105°答案：D解析：思路：由正弦定理得到方程，求出或，从而根据三角形内角和求出角C.解答过程：由正弦定理得，即，所以，故或，当时，，当时，.故选：D6.如图，在中，，，且与交于点，设，则（）A.-1 B. C. D.答案：B解析：思路：分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可.解答过程：因为，，三点共线，且，所以又因为，，三点共线，且，所以，可得，解得，，所以.7.如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（）A. B.5 C. D.10答案：D解析：思路：先根据面面平行得到，，然后确定当，，三点共线时，最小，进而得出结果.解答过程：由题意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，则周长，沿将相邻两四边形展开，当，，三点共线时，最小，最小值为5，所以周长的最小值为10.8.在中，，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由条件等式，先用正弦定理将转化为对边和外接圆半径，得到，再代入余弦定理，化简后得到，然后写出三角形面积，由余弦定理得，于是，代入面积得，最后利用及均值不等式，求得最大面积为.解答过程：在中，设，，.根据正弦定理，为三角形外接圆半径.将条件转化为边的关系：左边:，右边：，等式两边相等得：，化简得.结合余弦定理，代入上式得:整理得.三角形面积.由，得，代入面积公式：，由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)，此时取得最大值，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设为复数，则下列结论中正确的是（）A.B.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为C.若为虚数，则也为虚数D.若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为答案：BCD解析：解答过程：对于A，设，则，又，故，故A错误；对于选项B，由题意可知，，所以，所以表示向量的复数为，故B正确；对于C，因为为虚数，为实数，所以为虚数，即也为虚数，故C正确；对于选项D，设复数，若复数满足，即，则复数对应的点在以原点为圆心半径分别为1和的同心圆形成的圆环内，所以复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确；10.下列关于向量的命题正确的是（）A.在中，为边上一点，且，则B.对任意向量，，恒成立C.非零向量，，，满足，，则D.向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立答案：AC解析：思路：根据平面向量共线定理、向量的线性运算等知识，依次分析各选项即可.解答过程：对于A，，，，故A正确.对于B，若，不共线，则，，可构成三角形，则，故B错误；对于C，为非零向量，当时，；当时，，，则，故C正确；对于D，若，，则，共线，但不存在实数，使得，故D错误．11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（）A.若是线段的中点，则四面体的体积为B.若，则点的轨迹长度是C.若存在点，使平面，则长度的最小值是D.若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为答案：ABD解析：解答过程：根据三棱锥体积公式计算判断A，应用向量关系证明线线平行判断B，应用线面平行及边长计算判断C，结合墙角模型补成长方体计算判断D.思路：对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2，所以，A正确.对于B，若，又，且平面，则，点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧，的轨迹长度为，B选项正确；对于C，取线段的中点，线段的中点，当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，，，平面，所以平面平面，平面，平面，此时有，，，，所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误.对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体，则直径长为，则球的表面积为，D正确.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.答案：解析：思路：由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可.解答过程：设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为，所以圆台的体积为.13.如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米．答案：解析：思路：应用正弦定理求，再由即可求塔高．解答过程：由题设，由正弦定理知，即，所以米．故答案为：．14.已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________.答案：解析：思路：利用线性关系表示出和，代入原式并转化为关于的函数式，求二次函数取值范围即可解答过程：如图所示，由题知是的外心，取中点，连接，可得，故.因为，所以，由是的中线，可得，且，故.已知，可得：，由，，可得，将代入目标式：，设，则，为开口向上的二次函数，对称轴为，，当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）；当时，，但，故.因此的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知为虚数单位，复数．（1）当实数取何值时，是纯虚数；（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用纯虚数的定义列方程组求解即可；（2）当时，，再将其代入方程，利用复数相等列方程组，解得参数即可.（1）若复数z是纯虚数，则，解得，所以得.（2）当时，，把代入方程，得，整理得，，所以，解得.16.已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）或；（2）.解析：思路：（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得.（2）利用向量夹角公式，列式求解即得.（1）由，得，由，设，由，得，解得，所以的坐标是或.（2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围是.17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.（1）求证：点，，，四点共面（2）求证：平面平面.（3）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，.解析：思路：（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明；（2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可；（3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果.（1）证明：，分别为，的中点，，底面是平行四边形，.，所以点，，，四点共面.（2）由（1）知，因为平面，平面，平面.，分别为，的中点，，因为平面，平面，平面.又，，平面，所以平面平面.（3）线段上存在一点，使得平面，且.证明如下：取的中点，连接，，，因为，，分别是，，的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，此时．18.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可；（2）结合余弦定理及基本不等式求解即可；（3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可.（1）因为，所以．整理得：，即，，而,故，又因为，所以；（2），，由余弦定理可得：，即，又因为，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为；（3）如图所示：设，则，在中，由余弦定理可得