2025~2026学年福建省泉州市四校（泉州外国语、南安华侨、石狮八中、城东中学）高一下册期中联考数学试题【含答案】

/数学一．选择题（共8小题）1.已知，则（）A. B. C.2 D.2.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.4.在中，，，，则边上的高为（）A. B. C. D.5.如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（）A. B. C. D.6.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为（）A. B.C. D.7.已知四面体的各顶点均在球O的球面上，平面，，，三角形的外接圆半径是，则球O的表面积为（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（）A. B. C. D.二．多选题（共3小题）9.已知复数z=3iA.的虚部为B.C.的共轭复数D.复数在复平面内对应的点位于第四象限10.如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（）A.直线与为异面直线B.平面C.三棱锥的体积为D.平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若且有两解，则的取值范围为C.若且为锐角三角形，则的取值范围为D.若且，为的内心，则的面积为三．填空题（共3小题）12.已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为_________．（用表示）13.在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_____.14.如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.四．解答题（共5小题）15.已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．16.设复数.（1）若是实数，求m的值；（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数.17.已知分别为的内角所对的边，且.（1）求；（2）已知是边的中点，求的最大值.18.如图，在三棱锥中，，分别为棱，的中点，，，，，．（1）若平面平面，求证：；（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，为线段上一动点，求的最小值．19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示．（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离．

数学一．选择题（共8小题）1.已知，则（）A. B. C.2 D.答案：A解析：解答过程：因为，所以.2.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析，即可判断．解答过程：对于A，若，，则与可能相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则α与β可能相交或平行，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故C正确；在D中，若，，则α与β可能相交或平行，故D错误．3.一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可.解答过程：取上下底面的圆心，则即为圆台的高，如图所示，在中，，根据勾股定理可得.所以圆台的体积为.故选：A.4.在中，，，，则边上的高为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：在中，，，，由余弦定理得BC则．设边上的高为，由等面积法可得，则h=AB5.如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：连接与交于点，先利用线面垂直的条件证得平面，可知即为直线与平面所成的角，从而得出答案.解答过程：连接与交于点，，所以即为直线与直线所成的角，即．该几何体为正四棱柱，，可得，所以．连接，易得，平面，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，，所以．故选：A.6.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解.解答过程：由条件可知，，则，即，则，，所以，.故选：D7.已知四面体的各顶点均在球O的球面上，平面，，，三角形的外接圆半径是，则球O的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由条件证明的中点为四面体的外接球的球心，再求外接球的半径，结合球的表面积公式求结论.解答过程：的中点为，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故为直角三角形，且为斜边，所以，因为平面，平面，所以，故为直角三角形，且为斜边，所以，所以，所以四面体的外接球的球心为，故点与点重合，由已知，，所以，所以球的半径，所以球O的表面积.8.如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值．解答过程：由，则，且，得，又是的中点，即是中线，则，则，得，所以故选：D．二．多选题（共3小题）9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.的虚部为B.C.的共轭复数D.复数在复平面内对应的点位于第四象限答案：AB解析：思路：先求出复数的代数形式，然后再利用复数的概念和几何意义逐一判断即可．解答过程：由z=对于A，所以的虚部为，故A正确；对于B，所以z=对于C，所以的共轭复数，故C错误；对于D，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故D错误．10.如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（）A.直线与为异面直线B.平面C.三棱锥的体积为D.平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为答案：ABD解析：思路：对A，利用异面直线的判定定理，通过判断直线与平面的位置关系判定；对B，利用线面平行的判定定理，结合正方体中证明；对C，先计算底面的面积，再根据三棱锥体积公式计算的体积并判断正误；对D，通过确定截面为等边三角形，计算其边长和周长判断.解答过程：对于A，因为平面，平面，，所以直线与为异面直线，A正确；对于B，因为在正方体中，，平面，平面，所以平面，B正确；对于C，则由正方体的性质可得为等腰直角三角形，所以的面积为2，故三棱锥的体积为，C错误；对于D，连接,则平面即为平面，截面图形为等边三角形，所以平面截正方体所得截面的图形的周长为，D正确.11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若且有两解，则的取值范围为C.若且为锐角三角形，则的取值范围为D.若且，为的内心，则的面积为答案：BCD解析：思路：先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，由正弦定理得到，再结合正弦函数的值域求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.解答过程：因为，所以由正弦定理，得，即，因为，所以，且，所以.选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，故选项A错误；选项B：由正弦定理可得，故，因为有两解，且，所以，故，即b的取值范围为，故选项B正确；选项C：由正弦定理，得，即，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，故选项C正确；选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因为，所以，故，，解得，因为，所以，即是直角三角形，所以内切圆的半径为，

所以的面积为，故选项D正确.故选：BCD.三．填空题（共3小题）12.已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为_________．（用表示）答案：解析：思路：利用投影向量的概念可得出结果.解答过程：由题意可知，在方向上的投影向量为.故答案为：.13.在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_____.答案：解析：思路：根据正四棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义、余弦定理进行求解即可.解答过程：连接，正四棱柱中，有且，四边形为平行四边形，则有，则就是异面直线与所成的角．设，则，中，由余弦定理得．故答案为：14.如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.答案：##解析：思路：根据圆锥的侧面展开图、两点间直线距离最短以及余弦定理求得正确答案.解答过程：圆锥的底面半径为，由于，所以为钝角，且，所以.圆锥的侧面展开图如图，沿母线展开的圆锥的侧面展开图中弧所对的圆心角为，连接，可得从到的最短路径长度为：.故答案为：四．解答题（共5小题）15.已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．解析：思路：（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；解答过程：解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．16.设复数.（1）若是实数，求m的值；（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数的乘法运算化简，根据实数条件得到虚部为零，求得的值；（2）利用复数的除法运算化简，利用纯虚数的条件求得的值，进而得解.（1）由题知若是实数，则，解得；（2）由题知若是纯虚数，则，解得，所以.17.已知分别为的内角所对的边，且.（1）求；（2）已知是边的中点，求的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；（2）利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可.（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以．（2）因为，，所以，因为是的中点，所以，所以，因为，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立．所以的最大值为．18.如图，在三棱锥中，，分别为棱，的中点，，，，，．（1）若平面平面，求证：；（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，为线段上一动点，求的最小值．答案：（1）证明见详解（2）（3）解析：思路：（1）根据面面垂直，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）先根据线线垂直，面面垂直，得到是直线与平面所成的角，再根据三角函数的定义及余弦定理求出的值，从而根据勾股定理求出的值，进而根据三角函数的定义即可求出答案；（3）连接，根据题意，结合（2）及勾股定理求出，，，从而得到，再将绕直线旋转得到，说明的最小值为，进而根据三角函数的定义，诱导公式及余弦定理即可求出即可．（1）由，为的中点，则，又平面平面，平面平面，则平面，又平面，所以．（2）由，平面平面，平面平面，则平面，所以是直线与平面所成的角，在中，由，，则，，又，，则由余弦定理有，即，解得，又平面，平面，则，所以，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．（3）如图，连接．当时，由为的中点，则，由（2）知，，，则，所以，又是的中点，则，又由（2）知，，则，且，则，又，所以，如图，将绕直线旋转得到，使与在同一平面内，且点在内，则当，，三点共线时，最小，即的最小值为．在中，，，，则，则，所以在中，由余弦定理得，即的最小值为．19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示．（1）求三