2025~2026学年甘肃省兰州市某校高二下册第二次月考数学试题【含答案】

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知随机事件A、B满足，，则（）A. B. C. D.2.若，则当h时，的极限是（

）A. B. C. D.3.曲线在处的切线如图所示，则＝（）A.0 B.2 C.－2 D.－14.向量在向量上的投影长为（

）A. B. C. D.5.函数的图象可能是（）．A. B.C. D.6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（）A.M与N是互斥事件 B.M与N是相互独立事件C. D.7.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（）A. B. C. D.8.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.9.已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______.10.已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______.11.已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.13.已知函数.（1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；（2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围.14.设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.（1）求的值；（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率II卷（50分）四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.15.已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（）A.若、相互独立，则B.恒成立C.若，则D.若，则、相互独立16.如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（）A.平面平面 B.C. D.平行六面体的体积为17.已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（）A.实数的取值范围是 B.C. D.五、II卷解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.四棱锥中，平面平面，，，，，是中点．（1）求证：平面；（2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值；（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.已知函数（1）求的值．（2）讨论的单调性．（3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知随机事件A、B满足，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因，则.2.若，则当h时，的极限是（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以当h时，的极限是2.3.曲线在处的切线如图所示，则＝（）A.0 B.2 C.－2 D.－1答案：C解析：思路：设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解.解答过程：设曲线在处的切线方程为，则解得所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1，所以，因此，．故选：C.4.向量在向量上的投影长为（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求投影向量，再求模即可.解答过程：因为向量，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，所以向量在向量上的投影长为：.5.函数的图象可能是（）．A. B.C. D.答案：D解析：思路：判断函数的奇偶性，然后结合函数在时函数值的符号，排除法确定答案.解答过程：定义域是，定义域关于原点对称，且，即是奇函数，因此函数图象关于原点对称，所以选项A，C错误．又当时，，从而，选项B错误.故选：D6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（）A.M与N是互斥事件 B.M与N是相互独立事件C. D.答案：B解析：思路：根据互斥事件与独立事件定义可判断A错误，B正确，由条件概率公式计算，可判定C错误，再由对立事件公式计算，可判定D错误.解答过程：对于A中，当掷出2，此时事件同时发生，所以M与N不是互斥事件，所以A错误；对于B中，由，，，满足，所以B正确；对于C中，由B知：，所以C错误；对于D中，由，，所以，所以D错误．故选：B.7.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用超几何分布即可求解.解答过程：由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布，则.8.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.答案：B解析：思路：令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可.解答过程：令，，因为，可知函数为的偶函数，又因为，当时，，若，则，即；若，则，，可得，可知在内单调递减，则在内单调递增.对于不等式，当，即时，可得，符合题意；当，即时，可得，即，可得，解得，且；综上所述：不等式解集为.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.9.已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______.答案：解析：思路：利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可.解答过程：因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且，所以即，∴.故答案为：10.已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______.答案：##1.5解析：思路：由空间向量基本定理即可求解.解答过程：由四点共面可知，存在唯一实数对，使得，即，所以，解得.故答案为：11.已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．答案：解析：思路：求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围.解答过程：由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值，由函数，求导得，函数在上单调递增，；函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，，不符合题意；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，令，函数在上单调递增，不等式，解得，所以实数a的取值范围是.三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果.（1）底面为矩形，所以，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，可知平面平面；（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知，则，设平面的法向量为，则，令，可得，可得，所以；因此直线与平面所成角的正弦值为.13.已知函数.（1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；（2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解，（2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.（1），曲线在点处的切线方程为，则，则（2）当时，依题意有对于任意恒成立，则，设，设，由得：，则在上单调递减，且，则在上恒成立，即在上单调递减，，则，则.14.设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.（1）求的值；（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率答案：（1）3；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用古典概率公式列式求解.（2）利用条件概率公式求解.（3）利用全概率公式求解.（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得，所以.（2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球”则，，，所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为.（3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为，则，，由全概率公式得，所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率.II卷（50分）四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.15.已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（）A.若、相互独立，则B.恒成立C.若，则D.若，则、相互独立答案：AC解析：思路：利用独立事件的定义以及条件概率公式可判断A选项；举例可判断B选项；根据并事件的概率公式求出的值，结合条件概率公式可判断C选项；利用条件概率的性质可判断D选项.解答过程：对于A选项，若、相互独立，则，由条件概率公式可得，A对；对于B选项，抛掷一枚骰子，定义事件向上的点数为，事件向上的点数为奇数，则，，此时，，B错；对于C选项，若，则，因此，，C对；对于D选项，对任意的事件、恒成立，故、不一定独立，D错.故选：AC.16.如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（）A.平面平面 B.C. D.平行六面体的体积为答案：ABD解析：思路：A选项，由线面平行得到面面平行；B选项，由线面垂直的判定定理和性质定理可证；C选项，先根据线面垂直得到线线垂直，由空间向量相关公式得到的长度，进而求出；D选项，求出平行六面体的高，得到体积.解答过程：A选项，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可知，平面，又，平面，所以平面平面，A正确；B选项，连接，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以⊥，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，B正确；C选项，因为平面，平面，所以，，，则，即，又，，设的长度为，故，解得，负值舍去，又，故，所以，C错误；D选项，，又，故，故，过点作⊥于点，则，因为平面，平面，所以，因为平面，为相交直线，所以⊥平面，故为平行六面体的高，菱形的面积为，则平行六面体的体积为，D正确.17.已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（）A.实数的取值范围是 B.C. D.答案：ABD解析：思路：通过指对同构化简，再分离参数，数形结合可得AB选项；利用零点关系化简，再构造函数，根据单调性以及范围可判断C选项；可利用齐次化、比值代换解决D选项极值点偏移问题.解答过程：定义域为，有两个零点，可化为有两个解，又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得，设，则，在单调递增，原方程可化为，由于，，都在的单调增区间里，所以，即，设，，，则时，，单调递增，时，，单调递减，且恒大于0，极大值，可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点，由图像可得a的范围是，故A选项正确；同样由图象可得，所以，故B选项正确；，，结合，可得，设，由于，则单调递增,所以，故C错误；由于，所以，设，则,，设，，，在单调递增，，所以，又由于，，所以，故D正确；故选：ABD.五、II卷解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.四棱锥中，平面平面，，，，，是中点．（1）求证：平面；（2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值；（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1），是中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，是中点，，，，，，，，，在上取点，使得，且，四边形为矩形，，，，，，在中，，，，，，，，平面，平面，平面；（2）；（3）.解析：思路：（1）由平面平面得到平面从而得到，在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；（3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解.（1）略（2）取中点，连接，则，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，，则，，，，，，，，设平面的法向量为，，，取，解得，则，，，设平面的法向量为，，，取，解得，，，，，，，，设二面角的平面角为，则，，，，，，（3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，，设，，，，，，，，平面的法向量为，，，，存在点，使得平面，.19.已知函数（1）求的值．（2）讨论的单调性．（3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：．答案：（1）0（2）时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增.（3）证明见解析解析：思路：（1）根据解析式直接计算得解；