2025~2026学年广东汕头金南实验学校高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学分值：150分考试时长：120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量，，则（）A. B. C. D.82.已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为（

）A. B. C. D.5.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（）A. B. C. D.6.如图，在平行四边形中，，若，则（）A. B.C. D.7.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.8.刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（）A. B.C. D.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列叙述正确的是（）A.的实部为1 B.的共轭复数为C. D.10.已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则11.在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（）A.点的轨迹经过线段的中点B.点的轨迹长度为C.直线与直线为异面直线D.三棱锥的体积为定值三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．13.已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______．14.已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知，，且与夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．16.正方体的棱长为a，E为棱中点．（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离．17.在中，．（1）求；（2）若，求边．18.已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P.（1）求中线的长；（2）若的平分线为，求的长；（3）求的余弦值.

数学分值：150分考试时长：120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量，，则（）A. B. C. D.8答案：B解析：解答过程：因为向量，，所以.2.已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：复数，所对应的点在复平面的第四象限3.已知向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设与的夹角为，则，所以.4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的高为，所以圆锥的体积.5.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案.解答过程：过作，垂足为，如下图：

由题意可得，，由斜二测画法，还原可得下图：

易知，，，所以原梯形面积为.6.如图，在平行四边形中，，若，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：.7.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解.解答过程：如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，依题意，EF过点O，取的中点，连接，，由正八面体的几何特征，得，为二面角的平面角，而平面，AC在面ABCD内，则，是直角三角形，又，，则，，在中，，同理，在中，，所以二面角的余弦值为.故选：C8.刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题设可得如下截面图，设球半径为R，由平面几何知识可得，据此可得答案.解答过程：由题设可得如下截面图，设球心为O，过B，C两点的射线与球O相切于D，E.连接，则，又，，则，，结合，则，，，（单位：m），则该建筑物体积为：.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列叙述正确的是（）A.的实部为1 B.的共轭复数为C. D.答案：ABC解析：解答过程：对于A，的实部为1，正确；对于B，的共轭复数为，正确；对于C，，正确；对于D，，错误.10.已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：AC解析：思路：根据空间线、面位置关系依次判断即可.解答过程：对于A，若，，则，故A正确；对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，，当时，不成立，故D错误.11.在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（）A.点的轨迹经过线段的中点B.点的轨迹长度为C.直线与直线为异面直线D.三棱锥的体积为定值答案：ACD解析：思路：取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解.解答过程：如图，取的中点，连接，，则，且平面，平面，所以平面.又因为是中点，则，且平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，所以点的轨迹为线段（不含端点）.对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误；对于C，因为平面，平面，，所以直线与直线为异面直线，故C正确；对于D，因为平面，点是棱的中点，则，所以D正确；三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．答案：解析：思路：利用投影向量公式进行计算.解答过程：由，，，代入投影向量公式：.13.已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______．答案：解析：解答过程：因为是实系数方程的一个复数根，则是实系数方程的一个复数根，所以，解得，所以.14.已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．答案：解析：思路：设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积．解答过程：因为，则，可知的外接圆半径，设该球的半径为，则，即，解得，所以该球的表面积是.四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知，，且与夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解；（2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解.（1）∵，且与夹角为，∴，∴；（2），∴16.正方体的棱长为a，E为棱中点．（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）作中位线并利用线面平行的判定定理即可证明得出结论；（2）利用等体积法以及三棱锥的体积公式即可计算求出结果.（1）证明：设AC与BD交于点O，连结OE，如图所示：因为是正方体，所以ABCD为正方形，O为BD中点．又E为中点，可知；又平面AEC，平面，所以平面AEC，（2）设点D到平面AEC的距离为d，则由图可知：在中，，，可得，由可得，即，解得，即点D到平面AEC的距离为．17.在中，．（1）求；（2）若，求边．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理求解即可.（1）由可得,由于,故，（2），故，进而，故18.已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用线线垂直易证得线面垂直，进而可证面面垂直；（2）由（1）平面，易得即直线与平面所成角，借助于直角三角形和三角函数即可求得.（1）在图（1）中，因，折起后，，因，则平面，又平面，故平面平面.（2）由（1）已得，平面，连接，则即在平面上的射影，故即直线与平面所成角.在图（1）中，，在图（