2025~2026学年广东深圳实验学校光明部高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学满分：150分一、单选题（每题4分）1.已知复数，则（）A.4 B. C. D.2.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.eB.C.D.3.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.34.已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.5.半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（）A. B. C. D.6.已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里7.如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（）A. B. C.1 D.8.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题（每题6分）9.设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.B.若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则C.若，则或D.若，则点的集合所构成的图形的面积为10.已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（）A.若，则边上的中线长为B.在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立C.若，则面积的最大值为D.若，且△ABC有两解，则的取值范围是11.在三棱锥中，，则下列说法正确的有（）A.若，则三棱锥是正三棱锥B.若，，的周长均为4，则三棱锥是正三棱锥C.若，，的内切圆的面积均为，则三棱锥是正三棱锥D.若，则三棱锥是正三棱锥三、填空题12.设，则复数z的虚部为________．13.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________．14.如图，在平面四边形中，，，，，则_________.四、解答题15.设A，B，C，D为平面内的四点，且，，．（1）若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标；（2）设向量，，若与平行，求实数k的值．16.在中，分别为角所对的边，且（1）确定角的大小；（2）若且的面积为，求的值17.已知中，角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若，角的平分线交于，求的长．18.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，θ∈0∘，180∘，e1，e2分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对x（1）若a=1，2，b=（2）若，a=1，2，b=−1（3）若a=1，1，b=3，19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，．（1）求角；（2）若；求的面积；（3）若，且．①求的周长；②求的值．

数学满分：150分一、单选题（每题4分）1.已知复数，则（）A.4 B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，得，所以．所以D正确．2.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.eB.C.D.答案：D解析：解答过程：对于A，，共线，不可以作为基底，A错误；对于B，，共线，不可以作为基底，B错误；对于C，，不可以作为基底，C错误；对于D，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，D正确.3.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.3答案：D解析：解答过程：由，得，所以.由，得，又，得，所以，则.4.已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的表面积为，又，解得，所以圆锥的高为：，所以该圆锥的体积为：5.半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为，其中有个面为正方形，个面为正三角形，其表面积为.6.已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里答案：B解析：思路：先作出示意图，求出，，，，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出即可.解答过程：解：根据题意作出如下示意图，由题意可知，，，，，在中，由正弦定理可得，又海里，所以，解得海里，在中，由余弦定理可得，又海里，所以海里.7.如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（）A. B. C.1 D.答案：D解析：解答过程：因为，所以,设，则，因为三点共线，所以，得，则，故，则.8.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围.解答过程：因为是锐角三角形，所以，又，所以，所以，由，得，所以，所以，解得，所以.由，，，得，，所以的周长为．令，则，则，函数在上单调递增，当时，；当时，，所以，所以周长的取值范围为．二、多选题（每题6分）9.设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.B.若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则C.若，则或D.若，则点的集合所构成的图形的面积为答案：BD解析：思路：根据复数的乘法运算及模长公式可判断选项；由点的坐标为，可得，代入方程，解方程即可判断选项；根据模长公式，模长为1，举出反例即可判断选项；根据复数的几何意义可判断对应的图形为圆环，求出圆环面积即可判断选项.解答过程：解：设复数，则在复平面内对应点为，选项，因为，，所以与不一定相等，错误；选项，由点坐标为，则，所以，化简整理得，则，解得，，所以，正确；选项，当时，，错误；选项，由，，根据复数的几何意义可知，表示圆心为内半径长为，外半径长为的圆环，所以圆环面积，正确.10.已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（）A.若，则边上的中线长为B.在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立C.若，则面积的最大值为D.若，且△ABC有两解，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：由，对其两边同时平方，利用向量数量积的定义及运算律求解判断A正确；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B正确；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D正确；解答过程：对于A，设的中点为，所以，两边取平方得，则，故A正确.对于B，为钝角三角形，为锐角，，，，B正确；对于C，由余弦定理可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，则，当且仅当“”时取等，则面积为，所以面积的最大值为，故C错误；对于D，如图，若有两解，则，，D正确.11.在三棱锥中，，则下列说法正确的有（）A.若，则三棱锥是正三棱锥B.若，，的周长均为4，则三棱锥是正三棱锥C.若，，的内切圆的面积均为，则三棱锥是正三棱锥D.若，则三棱锥是正三棱锥答案：ABD解析：思路：作平面，易知为的外心，结合等边三角形可以判断A；根据周长关系可得，可以判断B；根据题意可得内切圆的半径均为，由的面积不全相等，进而判断C；根据余弦定理建立关于的方程，求解可以判断D.解答过程：对于A，因，作平面，垂足为，则易得，即为的外心，又为等边三角形，所以D为的中心，故A正确；对于B，如图，设，则，解得，由A知B正确；对于C，由，，的内切圆的面积均为，可得内切圆的半径均为，所以，考虑到不全相等，所以未必有，故C错误；对于D，在，，中，由，由余弦定理，得，整理得，即，解得，故D正确，故选：ABD三、填空题12.设，则复数z的虚部为________．答案：##解析：解答过程：,故复数z的虚部为.13.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________．答案：①.②.解析：思路：由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积即可．解答过程：由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图：其中，，，，过作交于，则为的中点，在中，，，所以，将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，故此圆台体积为．故答案为：；．14.如图，在平面四边形中，，，，，则_________.答案：##解析：思路：设，由正弦定理得，，两式相除即可求出.解答过程：设，在中，由正弦定理可得①，由可得，则，，在中，由正弦定理可得②，①②两式相除，得，即，整理得，故.故答案为：四、解答题15.设A，B，C，D为平面内的四点，且，，．（1）若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标；（2）设向量，，若与平行，求实数k的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合平行四边形的性质，根据向量相等的坐标运算列式求解即可.（2）先根据向量的线性运算求得与的坐标，然后利用向量共线的坐标运算列式求解即可.（1）设，则，，因为，所以，解得．所以D点的坐标为．（2）由题意得，，所，．因为，所以，解得.16.在中，分别为角所对的边，且（1）确定角的大小；（2）若且的面积为，求的值答案：（1）（2）5解析：思路：（1）利用正弦定理边角互化，再结合三角形的性质求解即可.（2）利用三角形面积公式求解出，再结合余弦定理求解出即可.（1）由已知得，由正弦定理得，即，即，由于，可得，因为，所以．（2）因为的面积为，所以解得．由余弦定理可得，所以，解得．17.已知中，角，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若，角的平分线交于，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据余弦定理，用c表示a，从而求得；（2）根据角平分线的性质及面积相等求角平分线的长．（1）由，，及余弦定理得a2所以，故．（2）因为，所以，，由题意可知，，所以12即12解得．18.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，θ∈0∘，180∘，e1，e2分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对x（1）若a=1，2，b=（2）若，a=1，2，b=−1（3）若a=1，1，b=3，答案：（1）；（2）；（3）．解析：思路：(1)根据题干给出的斜坐标的定义表示，根据向量的共线定理求参即可；(2)根据投影向量公式可知，计算出两向量的数量积与模长即可得到，由基底向量e1，e(3)根据题干给的定义，将表示出来，计算其模长及夹角，根据模长的范围确定e1，e2夹角的范围，进而计算cos（1）由题意得，，，因为，则存在实数使得b=xa，即2整理得：2e1+因为e1，e2为单位向量且不共线，所以，2x−（2）由题意得，，b=−e1+a=−e因为在上的投影向量为acosa,因为b2故a⋅故在上的投影向量的斜坐标为；（3）由题意得，，，c=2e1设e1，e2夹角为=3ea=b=cos==2因为c=且，故5−4cosθ≤2因为θ∈0∘解得：；故74≤则1<2cosθ即729≤1则cosa,b19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，．（1）求角；（2）若；求的面积；（3）若，且．①求的周长；②求的值．答案：（1）