2025~2026学年广东省江门市鹤山市纪元中学高二下册期中考试数学试题【含答案】

/数学满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列选项正确的是（）A. B. C. D.2.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（）A.种 B.种 C.4种 D.种3.已知数列满足，则的值为（）A.2 B.1 C. D.-14.记等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.5.已知函数的图像开口向下，，则A. B. C.2 D.-26.已知等比数列，且，，则（）A.9 B.32 C.16 D.117.已知函数在处取得极小值，则（）A. B.1 C. D.38.已知函数，，若恰有个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.已知函数的导函数的图象如下图所示，则（）A.函数的图象在处的切线斜率小于零B.函数在区间上单调递增C.当时，函数取得极值D.当时，函数取得极值10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（）.A.从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法C.从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法11.数列的前项和为，若，，则有（）A. B.为等比数列C. D.为等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个火车站有6股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放2列不同的火车，不同的停放方法共有______种13.已知数列的前项和，则的前12项和为___________．14.曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知是等差数列的前n项和，，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．16.用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）（1）无重复数字的四位偶数；（2）无重复数字且为5的倍数的四位数；（3）无重复数字且比1230大的四位数．17.已知函数.（1）求函数的单调区间以及极值；（2）求函数在上的最小值.18.已知数列满足，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）求的前n项和．19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

数学满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：对于A，，而，所以选项A错误.对于B，，而不是，所以选项B错误.对于C，，所以选项C正确.对于D，，而不是，所以选项D错误.2.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（）A.种 B.种 C.4种 D.种答案：D解析：解答过程：学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有种.3.已知数列满足，则的值为（）A.2 B.1 C. D.-1答案：A解析：思路：由递推公式写出数列的一些项，找出数列的周期，即可求解.解答过程：由，可得，即，可知数列是最小正周期为3的数列，所以，故A正确．故选：A．4.记等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.解答过程：因为等差数列的前项和为，且，则.故选：C.5.已知函数的图像开口向下，，则A. B. C.2 D.-2答案：B解析：思路：利用瞬时变化率的定义和导数求解.解答过程：由题意，由导数的定义可知，解得，又因为的图像开口向下，所以，所以.故选B方法提示：本题主要考查瞬时变化率和导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知等比数列，且，，则（）A.9 B.32 C.16 D.11答案：C解析：思路：利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于首项和公比的方程，求解参数后代入公式计算.解答过程：设等比数列的公比为，则，，所以，解得，，故.7.已知函数在处取得极小值，则（）A. B.1 C. D.3答案：B解析：思路：先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值.解答过程：因为，所以.由或.当时，.由或；由.所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，故满足题意；当时，.由或；由.所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，故不满足题意.综上，.8.已知函数，，若恰有个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件

恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论.解答过程：当时，，则，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数的取值范围为．作出的大致图象，如图所示．由，得，由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点，即恰有2个零点．所以的取值范围是.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.已知函数的导函数的图象如下图所示，则（）A.函数的图象在处的切线斜率小于零B.函数在区间上单调递增C.当时，函数取得极值D.当时，函数取得极值答案：BC解析：思路：根据导数的几何意义判断Ａ；利用导函数的正负，分析函数的单调性，判断Ｂ；利用极值点的定义判断Ｃ，Ｄ.解答过程：由图可知，所以函数的图象在处的切线斜率大于零，所以Ａ错误.当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以Ｂ正确.由图可知，在的附近，当时，；当时，.即是的一个变号零点，所以在处取得极值.所以Ｃ正确.在的附近，恒成立，所以单调递增，所以不是的极值点，所以Ｄ错误.故选：BC.10.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（）.A.从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法C.从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D.从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法答案：ABC解析：思路：根据题意，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，逐项计算，即可求解.解答过程：对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确.对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确.对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法；第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法；第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法，故共有种不同的选法，故C正确.对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误.故选：ABC.11.数列的前项和为，若，，则有（）A. B.为等比数列C. D.为等比数列答案：AD解析：思路：利用求出可判断BC；求出可判断AD.解答过程：，当时，，两式相减得，，即，当时，，数列从第二项起为公比为3的等比数列，故B错误；，故C错误；由当时，，所以，又满足上式，所以，故A正确；由得，又，为等比数列，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个火车站有6股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放2列不同的火车，不同的停放方法共有______种答案：30解析：解答过程：一个火车站有6股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放2列不同的火车，不同的停放方法共有种.13.已知数列的前项和，则的前12项和为___________．答案：80解析：思路：根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可.解答过程：因为，当时，；当时，满足上式；所以，令，解得；令，解得；所以．故答案为：80.14.曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______．答案：解析：解答过程：已知，则，设切点坐标为，则切线斜率为，此时切线方程为，因为曲线的一条切线经过点，所以，即，因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为，则该切线方程为，即.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知是等差数列的前n项和，，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．答案：（1）；（2）证明见解析.解析：思路：（1）设公差为，然后由等差数列通项公式，等差数列前n项和公式可得答案；（2）由（1）结合裂项求和法可完成证明.（1）设公差为，因，则a2=a（2）由（1），，从而1a16.用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）（1）无重复数字的四位偶数；（2）无重复数字且为5的倍数的四位数；（3）无重复数字且比1230大的四位数．答案：（1）个（2）个（3）个解析：思路：（1）分个位数字为0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；（2）分个位数字为0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；（3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比1230大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解.（1）符合要求的四位偶数可分为两类．第一类，0在个位时有个；第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）．（2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个；第二类：5在个位时有个．故满足条件的四位数共有（个）．（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个；第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；第三类：形如124□，125□，共有个；第四类：形如123□，共有个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有（个）．17.已知函数.（1）求函数的单调区间以及极值；（2）求函数在上的最小值.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值（2）1解析：思路：(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值;(2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值.（1）函数的定义域是.又，令，得，令，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极大值为，无极小值.（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最小值为.因为，所以，所以函数在上的最小值为1.18.已知数列满足，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）求的前n项和．答案：（1）证明见解析；（2）Sn解析：思路：（1）由递推公式构造相关数列，再利用等比数列定义可完成证明；（2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案.（1）因，则an+1从而，则是以为首项，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得：，则，从而=1×2设，则，从而S=又31+2+3+⋯+则a119.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间；（2）根据题意，转化为与函数的图象有两个交点，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结