2025~2026学年广西壮族自治区百色市高二下册5月自主检测练习数学试题【含答案】

/数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.2.已知实数是3与9的等比中项，则（）A. B. C. D.63.口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0．4 B.0．5 C.0．6 D.0．74.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（）A. B. C. D.5.已知函数在处取得极小值，则（）A. B.1 C. D.36.某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（）A.264种 B.288种 C.312种 D.336种7.已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数，若函数有三个零点，则实数的范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上单调递减C.函数在处取得最小值D.函数在处取得极大值10.在的展开式中，则（）．A.各项系数的和是64 B.各二项式系数的和是64C.含的项的系数是15 D.第4项是系数最大的项11.如图所示,边长为2的等边三角形为圆锥的轴截面,球O为圆锥的内切球,点为圆锥底面的圆心,C,D为母线PA,PB与内切球O相切的两个切点,MN为圆上异于AB的一条直径.下列说法正确的是（）A. B.球O的体积为C.圆锥的表面积为 D.三棱锥体积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种．13.数列的前项和为，且满足.则的通项公式为__________.14.已知实数满足，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）试判断函数的单调性并写出单调区间.16.在数列中，，．（1）求；（2）设，求数列的前项和．17.目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1.（1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列；（2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？18.已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴．19.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明:．

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，可得，解得，所以.2.已知实数是3与9的等比中项，则（）A. B. C. D.6答案：A解析：解答过程：已知是3与9的等比中项，∴a2=3×9=273.口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0．4 B.0．5 C.0．6 D.0．7答案：C解析：思路：方法一：用缩小样本空间的方法求解；方法二：用条件概率公式求解.解答过程：方法一：在第一次取得红球后，口袋中还剩5个球，2个红球，3个白球，所以第二次取得白球的概率为；方法二：设第一次取得红球为事件，设第二次取得白球为事件，则第一次取得红球第二次取得白球为事件，则，，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率.故选：C4.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据等差数列前n项和可知，故.5.已知函数在处取得极小值，则（）A. B.1 C. D.3答案：B解析：思路：先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值.解答过程：因为，所以.由或.当时，.由或；由.所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，故满足题意；当时，.由或；由.所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，故不满足题意.综上，.6.某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（）A.264种 B.288种 C.312种 D.336种答案：B解析：思路：首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列.解答过程：将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法，再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种.7.已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案.解答过程：设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”，事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”，所以，故，，故，故A正确.8.已知函数，若函数有三个零点，则实数的范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用但函数判断出分段函数，当时，单调递增和值域，当时，先减后增，有极小值，要使得有三个零点成立，转化为不等式成立即可．解答过程：解：当，恒成立，故在上单调递增，当，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，有极小值为：，函数的图象如下图：要使得函数有三个零点，则，即，解得：，故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上单调递减C.函数在处取得最小值D.函数在处取得极大值答案：AD解析：思路：根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.解答过程：由函数的导函数的图象可知，当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项A正确，选项B和C错误，对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性，由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确．故选：AD．10.在的展开式中，则（）．A.各项系数的和是64 B.各二项式系数的和是64C.含的项的系数是15 D.第4项是系数最大的项答案：BC解析：思路：对于A令即可判断，对于B利用二项式系数的和为，即可计算，对于C利用通项公式有，令，即可求解，对于D设的系数最大，则有，利用组合数的性质即可求解，进而判断.解答过程：对于A：令有，所以各项系数的和是0，故A错误；对于B：各二项式系数的和为，故B正确；对于C：由，令，所以的项的系数是，故C正确；对于D：根据通项可知，，要使系数最大，则为偶数，故，，，，故时，系数最大，所以第3项和第5项的系数最大，故D错误.故选：BC.11.如图所示,边长为2的等边三角形为圆锥的轴截面,球O为圆锥的内切球,点为圆锥底面的圆心,C,D为母线PA,PB与内切球O相切的两个切点,MN为圆上异于AB的一条直径.下列说法正确的是（）A. B.球O的体积为C.圆锥的表面积为 D.三棱锥体积的最大值为答案：BC解析：解答过程：对于A项，已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，底面圆半径，圆锥的高为等边三角形的高：，故A错误；对于B项，轴截面等边三角形的内切圆半径即为内切球的半径，由，得到；所以球O的体积为，故B正确；对于C项，设圆锥的母线长为，则,故圆锥的表面积为：，故C正确；对于D项，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以,，设,则，设平面的法向量为，则，即；令，则；由,所以点到平面的距离为；又因为;所以，因为，;所以,所以，因为，所以VC−所以三棱锥体积的最大值为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种．答案：解析：思路：根据分步计数原理的应用即可求解．解答过程：易知每个人都有种选法，故不同的选法有种．故答案为：．13.数列的前项和为，且满足.则的通项公式为__________.答案：解析：思路：根据和的关系得到，然后再验证不满足该式，最后根据等比数列通项公式即可求解.解答过程：由可得，两式作差得，即，又，所以，，不满足，所以故答案为：14.已知实数满足，则的取值范围是______．答案：解析：解答过程：，记，表示上的点到直线上的距离，如下图所示，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为，，，．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）试判断函数的单调性并写出单调区间.答案：（1）（2）单调递增区间是，单调递减区间是.解析：（1）由函数，所以函数的定义域为，，所以，，所以函数在点处的切线方程为：，即，所以函数在点处的切线方程为.（2）因为函数的定义域为，且，令，得；令，得，因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是.16.在数列中，，．（1）求；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用累加法计算可得；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.（1）因为，，所以，，，，，所以，又，所以，当时也成立，所以．（2）因为，所以．17.目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1.（1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列；（2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？答案：（1）答案见解析（2）同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题.解析：思路：（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列.（2）求出回答“回收报废电力设备”题得分的期望，再与比较得解.（1）依题意，的可能取值为，，，则，，，所以的分布列为010300.40.240.36（2）当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得；当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，，，，因此，因为，所以，所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题.18.已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据离心率为，椭圆C上一点为这两个条件即可求椭圆的标准方程；（2）根据平行或垂直关系求出相关直线，再根据直线的联立分别求出点的横坐标即可证明.（1）依题意得，解得，所以椭圆C的方程为．（2）联立椭圆C的方程，与直线AB的方程，消去y得，，设，，得，，设，所以，，所以直线MO的斜率为，MO的方程为，F的坐标为，过F且与AB垂直的直线方程为，由与联立消去y得，P点的横坐标为4，直线m的方程为，直线l的方程为，由与联立消去y得，Q点的横坐标也为4，所以直线