2025~2026学年广西壮族自治区柳州市柳江中学高一下册自主练习（5）数学试题【含答案】

/数学一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A. B.11 C.13 D.53.设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（）A. B.C. D.4.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（）A.21 B.22 C.22.5 D.235.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.4 B.6 C.8 D.126.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7.若，，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.8.如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（

）A.与是异面直线 B.平面C.与所成角的余弦值为 D.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图，已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润B.该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入C.该企业2025年8月至12月的支出持续增长D.该企业2025年11月份的月利润最大10.若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若，则的最小值为1C.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3D.若在上无零点，则的取值范围为三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.13.现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______14.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为__________________．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求与夹角的余弦值.16.某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．（1）求身高在区间的学生人数；（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率．17.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．18.已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求证：；（3）求证：．19.已知向量，，函数.（1）若，且，求的值；（2）若函数.（ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.

数学一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果.解答过程：因为，所以，因为，所以，则.2.已知复数满足，则（）A. B.11 C.13 D.5答案：C解析：解答过程：设，则，又因为，所以，即则，，所以3.设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：事件互斥，则不能同时发生．A选项：，所以A正确；B选项：，所以B正确；C选项：互斥事件，所以，所以C错误；D选项：互斥，，所以D正确.4.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（）A.21 B.22 C.22.5 D.23答案：D解析：解答过程：上四分位数即75%分位数，题干的10个数据已经从小到大排列好，，则75%分位数取从小到大的第8个数，即23.5.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.4 B.6 C.8 D.12答案：D解析：解答过程：根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，，.6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可.解答过程：选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确；选项B，若，，则或，故B错误；选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确；选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确.7.若，，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过对数函数的单调性判断与的大小，利用幂函数的单调性判断与的大小，从而确定正确选项.解答过程：由对数函数在上单调递减，得，即；由对数函数在上单调递增，得，即，因此.由幂函数在上单调递减，得，即.综上，且.8.如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（

）A.与是异面直线 B.平面C.与所成角的余弦值为 D.答案：D解析：思路：对A，由与都在平面内可判断；对B，由题可得，进而判断；对C，设，，利用向量运算求得与所成角的余弦值，进而判断；对D，由题可证得平面，进而判断.解答过程：对于A，因为与都在平面内，所以与不是异面直线，故A错误；对于B，因为是正三角形，所以，即与不垂直，所以不可能垂直平面，故B错误；对于C，设，，则，又，所以，设与所成角为，则，因为与的大小关系不确定，所以与所成角的余弦值不确定，故C错误；对于D，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，故D正确.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图，已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润B.该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入C.该企业2025年8月至12月的支出持续增长D.该企业2025年11月份的月利润最大答案：ABC解析：解答过程：因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润．由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知2025年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误．10.若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解.解答过程：设，由，所以，，所以，故A正确；由，，所以不一定成立，故B错误；由，，所以，故C正确；由，，所以不一定成立，故D错误.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若，则的最小值为1C.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为3D.若在上无零点，则的取值范围为答案：AD解析：思路：对于A，根据正弦型函数的单调性判断即可；对于B，根据，得到或，，判断即可；对于C，根据图像的平移变换结合所得图象与关于轴对称，得到，，判断即可；对于D，根据在上无零点，列方程组求解即可.解答过程：.对于A，若，，当时，，又在上单调递增，故A正确.对于B，若，则，即，所以或，，即或，，又，所以的最小值为2，故B错误.对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到.因为与关于轴对称，所以，所以或，，即，或，，又，所以的最小值为6，故C错误.对于D，若在上无零点，则，，解得，.又，当时，；当时，；当时，，此时无解，故若在上无零点，则的取值范围为，D正确.三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.答案：解析：思路：首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得.解答过程：因为，，，所以，因为三点共线，所以，所以，解得.13.现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______答案：解析：思路：根据题意，混合数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解.解答过程：设甲、乙组平均数分别为，方差分别为，设两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，，则，故答案为：.14.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为__________________．答案：解析：思路：由，得到的外接圆的圆心为BD的中点，再由底面，由截面圆的性质得到球的球心为侧棱的中点求解.解答过程：如图所示：因为，所以，的外接圆的圆心为BD的中点，又底面，由截面圆的性质得：球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为，利用张衡的结论可得，则，所以球的表面积为.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求与夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由，利用向量共线的坐标表示，列出方程，求得，结合模的计算公式，即可求解；（2）由，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.（1）解：由，因为，可得，解得，所以，所以.（2）解：由向量，可得，因为，可得，解得，所以，则且，所以.16.某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．（1）求身高在区间的学生人数；（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率．答案：（1）30人（2）①3人，2人，1人；②解析：思路：（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数；（2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率；（1）设的频率为，由频率分布直方图可知，解得．所以身高在区间的学生人数为（人）．（2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人．因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）．②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，则从6名学生中抽取2人有15种可能：，，，，， ，，，，，，，，，．其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：，，，，，，，，．所以组中至少有1人被抽中的概率为．17.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．答案：（1）（2）；（3）解析：思路：（1）利用余弦定理求解；（2）由余弦定理结合基本不等式求得，进而求得答案；（3）设，在和中，分别由余弦定理结合，可得，在中，由余弦定理可得，进而求得，利用三角形面积公式得解.（1）因为，所以，故，又因为，所以；（2），，由余弦定理可得：，即，又因为，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为；（3）如图所示：设，则，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，又因为与互补，所以，所以①，在中，由余弦定理可得：，整理得，②由①②可得：，解得，所以.18.已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求证：；（3）求证：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析解析：思路：（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立；（3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立.（1）因为、、分别是、、的中点，所以，，又因为底