2025~2026学年贵州省黔西南州顶兴高级中学高一下册第三次月考数学试题【含答案】

/数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数（是虚数单位），则对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在中，内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.或3.已知向量，若，则（）.A. B.1 C.2 D.34.已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（）A.， B.，C.，， D.，，，5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（）A.20 B.24 C. D.6.已知向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.（新文化）7.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（i为虚数单位），则下面结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知向量，，，，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是11.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线 B.直线与是异面直线C.直线与所成的角为 D.，，，四点共面第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______.13.已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________.14.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知复数．（1）若是实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．16.已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度．18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.19.如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点.（1）设平面平面，证明：；（2）在棱上是否存在点（i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数（是虚数单位），则对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出.解答过程：，则，则对应的点在第二象限.故选：B2.在中，内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.或答案：D解析：解答过程：由，，则，故，由正弦定理，可得，又，则，故或，若，有，符合题意；若，有，符合题意；综上：或.3.已知向量，若，则（）.A. B.1 C.2 D.3答案：D解析：思路：求出的坐标，根据向量垂直的坐标表示可解.解答过程：因为，所以，因为，所以，解得.故选：D4.已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（）A.， B.，C.，， D.，，，答案：C解析：思路：利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D．解答过程：对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误；对于B：由，，则可能有，或，故B错误；对于C：由，，，则，故C正确；对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误．故选：C5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（）A.20 B.24 C. D.答案：B解析：思路：作出辅助线，求出侧高，得到侧面积.解答过程：如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为，其中，故，所以，又，由勾股定理得，其中，由勾股定理得，故梯形的面积为，其侧面积为.故选：B6.已知向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角.解答过程：由，可得又所以解得：所以又所以所以与的夹角为．故选：C.（新文化）7.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值.解答过程：由题意，将补全为如下图所示的长方体，且，所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角，由，则，所以，所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为.故选：C8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.解答过程：因为，可得，且，所以，由余弦定理可得，又因为，所以，因为为锐角三角形，则满足，可得，由正弦定理得，又因为，所以，可得，可得.故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（i为虚数单位），则下面结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据共轭复数，复数模的公式，复数运算逐一计算判断.解答过程：对于A，由，则，所以，故A错误；对于B，，，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，由，则，，所以，故D正确.故选：BD.10.已知向量，，，，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确.解答过程：对于A，由题意可得，若，则，得，故A正确；对于B，由题意可得，若，则，解得，所以，故B正确；对于C，由题意可得，，则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误；对于D，由题意得，，，若向量与向量的夹角为锐角，则，解得，当向量与向量共线时，由得，此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意，所以的取值范围是，故D正确.11.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线 B.直线与是异面直线C.直线与所成的角为 D.，，，四点共面答案：BCD解析：思路：对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断．解答过程：解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示：由正方体性质可知，若直线与是平行直线，则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误；对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确；对于C，连接，，如下图：可得，故为直线与所成的角，而，可得直线与所成的角为，故C正确；对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确．第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______.答案：解析：思路：利用斜二测画法画出原图，求出，即可求解.解答过程：如图，运用斜二测画法画出原图，原图为平行四边形.由，得，所以，所以平行四边形的面积为.13.已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________.答案：解析：思路：根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可.解答过程：，因此是直角三角形，如下图所示：过作，垂足为，因为，所以，又因为为的中点，所以为的中点，所以，所以向量在向量上的投影向量为.14.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米．答案：解析：思路：设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.解答过程：设，因为，，则，又，，所以，，在中，，即①，在中，，即②，因为，所以由①②两式相加可得：，解得：，则.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知复数．（1）若是实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．答案：（1）或（2）（3）解析：思路：（1）根据实数的概念列方程求解的值；（2）根据纯虚数的概念列式求的值；（3）复数的几何意义及第四象限点的坐标的特征列不等式组求解．（1）若是实数，则，解得或.（2）若复数是纯虚数，则，解得.（3）若在复平面内对应的点位于第四象限，则，不等式，即，解得或；不等式，即，解得，所以，，即的取值范围是.16.已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模.（2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可.（1）已知，，则，又，所以，即，解得.所以，则，所以.（2）因为，所以，解得，所以，则.则，，，设与夹角为，则.所以与夹角的余弦值为.17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，面积为，求内角A的角平分线AD的长度．答案：（1）（2）.解析：思路：（1）应用两角和差的正弦余弦公式计算即可；（2）首先根据三角形面积公式得，再利用，代入数据计算即可.（1）由已知得．又，故．因为，所以，即．因为，所以．（2）由题意知，解得，根据得，即，解得.18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解.（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以，又因为，所以.因为，为中点，所以，又因为，所以，又因为，平面，所以平面.（2）经计算，，又，所以，所以，又因为，MB∩AD=M，平面所以平面，所以是四棱锥的高，所以V=19.如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点.（1）设平面平面，证明：；（2）在棱上是否存在点（i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）（i）存在，