湖南省邵阳市邵东市三校联考2025-2026学年高一数学下学期7月期末质量监测试题（含答案）

2026年上学期期末质量监测高一数学（请将答案填写在答题卡上的指定位置）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，，所以，又，则.2.已知是虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【详解】设，则，因为，代入得，即，故在复平面内对应的点为，在第一象限.3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论中错误的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】B【解析】【详解】A选项：垂直于同一个平面的两条直线互相平行（线面垂直的性质定理），故A正确；B选项：若，，则或，故B错误；C选项：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（面面垂直的判定定理），故C正确；D选项：两个平行平面被第三个平面所截，所得的交线互相平行（面面平行的性质定理），故D正确.4.一个圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意知，，得.所以该圆锥的表面积为.5.已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由结合余弦定理求出，求出​为钝角，充分性得证，再举出反例推出必要性不成立.【详解】​，由余弦定理得：，即​为钝角，故充分性成立，若钝角三角形中​为钝角，则​为锐角，​，即有​，故必要性不成立.故选：A.6.随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出，即可选出答案.【详解】，所以7.函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数是定义在上的奇函数可得，进而得到，再分、两种情况讨论求解即可.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，即，由于时，，当时，，解得（舍去）；当时，，则，解得.综上所述，.8.在中，，，是的三个内角，已知，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，根据同角的三角函数关系及诱导公式得到，结合二次函数性质求解即可.【详解】令，则，即，又，所以，当且仅当，即，时等号成立.故的最大值为.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知事件，发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（）A.若与互斥，则B.若，则C.若，则与相互独立D.若与相互独立，则【答案】AD【解析】【分析】由互斥事件与独立事件的性质和概率逐项判断可得.【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，，若A与B相互独立，则与也相互独立，所以，显然与前提矛盾，所以A与B不是相互独立，故C错误；对于D，若A与B相互独立，则，故D正确.10.在正方体中，则下列结论正确的是（）A.平面B.异面直线与所成角为C.平面D.二面角的平面角的正切值为【答案】ACD【解析】【分析】由可得A正确；由异面直线所成角的定义可知异面直线与所成角为，由此可判断B错误；由与可证C正确；取，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，在中即可求出其正切值.【详解】因为且所以四边形为平行四边形，则因为平面，平面，所以平面，A正确；因为，所以异面直线与所成角为,易知为等边三角形，所以，所以异面直线与所成角为，B错误；在正方形中，,因为平面，平面，所以，又，平面，平面所以平面，C正确；如图所示：取，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以二面角的平面角为，设正方形的边长为，则，，在中，，所以二面角的平面角的正切值为，D正确.11.已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，且，则（）A.B.C.是函数的一个对称中心D.把函数的图像向左平移个单位后图像关于轴对称【答案】BCD【解析】【详解】由“五点法”可知：，又，解得，即.所以，，A选项错误，B选项正确.令，则，当，则，所以是函数的一个对称中心，C选项正确.把函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，图像关于轴对称，D选项正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第60百分位数为______.【答案】9【解析】【分析】利用百分位数的定义即可求解.【详解】将题中数据按从小到大排列为5，5，6，8，8，8，10，10，12，18,因为，所以这组数据的第60百分位数为.13.已知是关于的实系数方程的一个根，则______.【答案】【解析】【分析】将代入方程，根据复数相等，求得的值，进而求得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以，化简得，又为实数，所以.所以.14.已知正六边形的边长为，点是正六边形边上的动点（包括端点），则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，取正六边形的中心，令，结合向量数量积的运算律和的取值范围即可求解.【详解】设是正六边形的中心，如图所示则又故，即的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，，求（1）；（2）在上的投影向量.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由可得，∵，∴，即，∵，∴，【小问2详解】.16.2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（1）试根据频率分布直方图求的值，并估计样本数据的第百分位数；（2）已知样本中年龄在的平均数为，年龄在的平均数为，年龄在的平均数为，求样本中年龄在的平均数.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为可解出；由百分位的计算方法可得；（2）根据平均数的计算方法可得.【小问1详解】由得；因为，，所以第百分位数在内设第百分位数为，则，解得，即样本数据的第百分位数为.【小问2详解】由频率分布直方图可知：年龄在，，的频数分别为，，，则样本中年龄在的平均数.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，是的中点，且.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）∵侧面是正三角形，是的中点，，又，平面，平面，平面，.（2）平面，平面，，又底面是正方形，，，平面，平面，又平面，∴平面平面.（3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可.（2）根据面面垂直的判定定理求解即可.（3）首先找到线面角，再利用三角形求解即可.【小问1详解】略【小问2详解】略【小问3详解】取的中点，连接，，则又平面平面，平面，平面平面，平面，即为直线与平面所成的角，设，则，，故，.18.已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足.（1）求；（2）若，，，分别是边，的中点，且，相交于点.①求中线的长；②求的余弦值.【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可.（2）①根据向量的数量积及数量积的运算律，结合向量的模求解即可.②根据余弦定理、向量的数量积及数量积的运算律，结合向量夹角的计算求解即可.【小问1详解】由正弦定理得，又，则，因为，所以，所以，又，故.【小问2详解】①因为是边的中点，所以，则，所以，即.②在中，由余弦定理得，则，又，所以，故.故的余弦值为.19.一个袋子中装有大小和质地完全相同的8个球，其中2个红球，2个绿球，4个黑球.现从中有放回地摸球，摸出红球记2分，摸出绿球记1分，摸出黑球记0分，从中摸取次，记第次摸出的球的得分为，第次摸球后的总得分为，是3的倍数的概率为.（1）求，；（2）求；（3）推导与之间的关系.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据古典概率公式以及有放回条件求解即可.（2）根据得分分析出所有的情况，再根据分类相加求解即可.（3）根据每次摸出红球、绿球、黑球的概率不变以及全概率公式