初中数学九年级上册：相似三角形核心模型之“一线三等角”探究教案

初中数学九年级上册：相似三角形核心模型之“一线三等角”探究教案

  一、教学目标

  （一）知识与技能目标

  学生能够准确识别图形结构中的“一线三等角”基本模型，理解其构成要素与几何特征。学生能够熟练证明“一线三等角”模型下的三角形相似，并掌握该模型在求解线段长度、线段比例关系、证明角度相等以及推导等量关系等方面的应用技能。学生能够通过添加辅助线，在复杂或残缺的图形中构造“一线三等角”模型，以解决综合性几何问题。

  （二）过程与方法目标

  经历从特殊到一般、从静态到动态的模型发现与归纳过程，提升几何直观和模型思想。通过动手画图、观察猜想、逻辑论证、变式拓展等数学活动，发展合情推理与演绎推理能力。在解决实际背景问题的过程中，体验建立几何模型将实际问题数学化的方法，增强应用意识。

  （三）情感、态度与价值观目标

  在探究“一线三等角”这一优美几何结构的过程中，感受数学的对称美与统一美，激发学习几何的兴趣与信心。通过小组合作探究与交流，培养勇于探索、严谨求实的科学态度和合作精神。体会几何模型在突破复杂问题中的工具性价值，领悟“化繁为简”、“把握结构”的数学思想方法。

  二、教学重点与难点

  （一）教学重点

  “一线三等角”相似模型（包括其特例“一线三直角”）的识别、证明与基本应用。

  （二）教学难点

  在非标准图形或实际问题中，灵活识别、构造并运用“一线三等角”模型；理解模型中对应点的动态变化与相似结论的稳定性。

  三、教学准备

  教师准备：多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、实物投影仪、三角板、导学案。

  学生准备：直尺、三角板、量角器、圆规、练习本。

  四、教学实施过程

  （一）创设情境，模型初探（约15分钟）

  师：同学们，我们已经系统学习了相似三角形的判定与性质。今天，我们将聚焦于一类在解决几何问题时极具威力的“工具箱”——相似三角形的重要几何模型。首先，请大家观察一组图片。

  （教师播放课件：金字塔侧影与测量原理图、桥梁桁架结构示意图、阳光透过矩形窗框在地面投影的示意图。）

  师：在这些现实世界的结构与现象中，蕴含着共同的数学“骨架”。请大家根据第一幅图背后的数学故事——古希腊泰勒斯测量金字塔高度的传说，回想他是如何利用影子进行计算的。我们将其抽象成一个几何图形。

  （教师在黑板上画出基本图形：一条直线l上，点A、B、C依次排列，从A、C两点向直线同侧引垂线段AD和CE，连接DE。）

  师：在此图形中，你能找到相似的三角形吗？为什么？

  生：△ABD∽△BCE。因为∠ADB=∠BEC=90°，且由于AD∥CE，∠DAB=∠EBC（或通过三角形内角和证明一组锐角相等）。

  师：非常好！这个图形中，直线l上有一个特殊的角——直角。如果我们把这三个直角抽象出来看，它们有什么位置特征？

  生：这三个直角（∠ADB,∠ABC,∠BEC）的顶点（D,B,E）不共线，但它们的边使得顶点A、B、C共线，且这三个角都等于90°。

  师：精辟！我们可以描述为：一条直线（AC）上，有三个顶点（A、B、C），从这三点出发，向直线的同一侧引出的射线（或线段）构成三个相等的角（这里是90°）。我们把这种结构称为“一线三直角”。它是我们今天要研究的更一般模型的一个特例。现在，让我们放松条件，如果这三个角不是90°，而是任意相等的锐角或钝角，结论还成立吗？

  （教师利用几何画板动态演示：保持点A、B、C共线，从这三点引出的射线与另一固定直线相交，动态调整使∠1=∠2=∠3=α（α从锐角到钝角变化），引导学生观察所形成的两三角形△DAB与△EBC是否保持相似。）

  生：（观察后）好像始终相似。

  师：这只是我们的观察猜想，数学需要严格的证明。请大家在练习本上画出一般情况下的图形：直线AC上依次有A、B、C三点，在AC同侧有点D、E，使得∠DAB=∠EBC=∠DCE=α。求证：△DAB∽△EBC∽△DEC？等一下，这里需要仔细识别三角形。我们目标是证明由这些相等角所在顶点构成的三角形相似。通常，我们关注的是顶点分别在直线两侧的三角形。例如，△DAB和△EBC。

  （学生尝试证明，教师巡视。）

  师：谁来说说证明思路？

  生：在△DAB和△EBC中，已知∠DAB=∠EBC=α。还需要找另一组角相等。因为∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，且∠DAB=∠EBC，所以∠ABD+∠ADB=∠BCE+∠BEC。但这不够直接。我看∠ABC是一个平角，∠ABD+∠DBE+∠EBC=180°，而∠DAB=∠EBC=α，所以∠ABD+∠DBE=180°-2α。再看△DBE的内角和……好像有点复杂。

  师：这位同学的分析触及了关键。直接找角的关系在一般情况下有些迂回。我们换个角度，相似判定除了角角，还有什么？

  生：两边成比例且夹角相等。

  师：对。我们有没有可能先证明一组三角形相似，然后利用这组相似提供的比例关系去证明另一组？或者，我们是否可以借助“三角形内角和定理”及“平角定义”推导出关键的等角？请大家重点关注∠ADB和∠BCE的关系。因为∠ADB是△ADB的内角，∠BCE是△BCE的内角。观察图形，∠ADB与∠CDE有何关系？∠BCE与∠CDE呢？

  （学生陷入思考，教师提示连接DE，观察“8”字型结构。）

  生：（恍然大悟）连接DE。因为∠DAB=∠DCE=α，所以A、D、C、E四点共圆！（或：在未学圆的情况下，可以通过三角形内角和推导）看△ADB和△CDE，∠DAB=∠DCE，∠ADB=∠CDE（对顶角？不对，不是对顶角。是同一个角？需要仔细看顶点）……

  师：看来直接证明对大家仍有挑战。这是正常的，因为我们在构造一个一般性的模型。让我们先系统化地认识这个模型，再来攻克证明。我们把这种结构归纳为“一线三等角”模型。

  （二）模型建构，归纳提炼（约20分钟）

  师：请大家阅读导学案上的模型定义，并完成对应的图形分析与证明填空。

  （导学案内容节选：）

  【模型定义】若一条直线上有三个相等的角（顶点分别为A、B、C），并且这三个相等角的边（或边的延长线）相交于另外两点（D、E），则通常可以构成一组或几组相似三角形。该结构称为“一线三等角”模型。

  【基本图形】请根据描述补全图形并证明：

  情况一（同侧型）：点D、E在直线AC的同侧。

  已知：如图，A、B、C三点共线，且∠DAB=∠DBE=∠ECB=α。

  求证：△ADB∽△BEC。

  （教师引导学生完成证明：）

  证明：在△ADB和△BEC中，

  ∵∠DAB=∠ECB=α（已知），

  又∵∠ABD+∠DBE+∠EBC=180°，且∠DBE=α，

  ∴∠ABD+∠EBC=180°-α。

  在△ADB中，∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-α-∠ABD。

  比较可得∠ADB=∠EBC。

  （或：∵∠ABD=180°-α-∠ADB，∠EBC=180°-α-∠BEC，通过等量代换亦可证∠ADB=∠BEC）

  ∴△ADB∽△BEC（AA）。

  师：在这个同侧型中，我们通常称点B为“中间点”，∠DBE是那个“悬空”的等角，它连接着两侧的三角形。这个证明的关键是利用了三角形内角和与平角定义进行角的转换。请同学们务必掌握这种角的等量代换方法。

  情况二（异侧型）：点D、E在直线AC的异侧。

  （学生类比探究，教师总结：异侧型通常更易证明，因为存在对顶角或公共角等更直接的关系。）

  师：特别地，当α=90°时，即为“一线三直角”模型，也称为“K字型”或“弦图”模型。此时，不仅△ADB∽△BEC，若AD=BE，则它们全等，进而可推导出许多线段关系，是中考的热点结构。

  （教师用几何画板动态展示α从锐角到直角再到钝角的变化，以及点D、E在不同侧的变化，强调模型本质是“一条直线上有三个等角的顶点”，而等角两边的交点构成了相似三角形。）

  （三）模型深化，理解本质（约25分钟）

  师：认识了模型的基本样貌，我们需深入理解其本质与变式。思考以下问题：

  1.“一线三等角”模型中的“一线”一定是水平线吗？“三等角”一定是锐角吗？

  生：“一线”可以是任意位置的直线，“三等角”可以是锐角、直角或钝角。模型的核心是三个等角顶点共线。

  2.如果三个等角不是连续排列，中间有间隔，模型结论是否成立？（教师展示变形图）本质上，只要满足三个等角的顶点共线，且等角的两边交点能形成三角形，相似关系就可能存在，但需要具体分析图形结构。

  3.“一线三等角”一定能得到相似三角形吗？需要什么条件？

  生：不一定。还需要由这些等角边所围成的两个三角形确实存在，并且等角是这两个三角形的内角。通常，我们关注的是“一线”上位于两侧的点（如A、C）与中间点（B）分别和直线外两点（D、E）构成的三角形。

  师：总结得非常到位。模型的识别关键在于剥离复杂背景，找到“共线的三个等角顶点”这一核心结构。下面，我们进行一组快速识别训练。

  （课件出示多个复杂几何图形，其中部分隐藏或嵌入了一线三等角结构，让学生抢答指出是否存在该模型，并说明哪条线、哪三个角相等、哪两个三角形相似。）

  例如：矩形ABCD中，E是BC上一点，EF⊥AE交CD于F。

  生：存在“一线三直角”模型。直线是BC（或CD的延长线），三个直角是∠AEB、∠CEF（需证明）、∠CFE？不对，需要仔细分析。更清晰地说，在矩形背景下，过点E看，∠AEF=90°，可以看作“一线”是BC，∠B=∠E=∠C？不完全是。更好的视角：看作“一线”是过点E的竖直或水平线？其实，这是一个典型的“一线三直角”变形，通常将AB、EF、FC看作“一线”上的三点形成的直角……

  师：这里出现了一点分歧。让我们冷静分析。矩形本身有直角，加上EF⊥AE又产生一个直角。我们常通过导角来发现等角。由∠AEF=90°，可得∠AEB+∠FEC=90°。又∵在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEC。现在看，直线BC上，点B、E、C处，是否有三个等角？∠B=90°，∠AEB（不是90°），∠C=90°。这里∠B和∠C是90°，但∠AEB不是90°，所以不是严格的一线三直角。但是，我们发现了∠B=∠C=90°，且∠BAE=∠FEC。这构成了什么？

  生：这是“一线两直角加一个等角”的结构，根据刚才的证明，可以推导出△ABE∽△ECF。

  师：太棒了！这正是模型的灵活应用。我们称其为“一线二等角+一角相等”的推广情况，其本质仍是利用角的转换证明相似。当“一线”上的三个角有两个是直角时，只要第三个角与某个锐角相等，即可证得三角形相似。这大大拓宽了模型的适用范围。

  （教师以此为例，强调在复杂图形中，往往需要通过已知条件（垂直、平行、等腰等）推导出等角，从而识别或构造出模型条件。）

  （四）模型应用，分层突破（约40分钟）

  师：掌握了模型的识别与本质，现在我们将其应用于解决问题。我们将由易到难，层层递进。

  【应用层级一：直接识别，基础计算】

  例题1：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。若AB=6，BD=2，求AF的长度。

  师：请同学们寻找图形中的“一线三等角”模型。

  生：在直线BC上，有点B、D、C。由于△ABC是等边三角形，所以∠ABD=∠ACB=60°。又因为BD=CE，可证△ABD≌△BCE（SAS），从而得到∠BAD=∠CBE。但这不是直接的“一线三等角”……哦！看∠AFE，它等于∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°。所以，在直线AD上？不对。

  师：我们换个角度。观察点F，它有什么特征？我们能否找到一个“一线三等角”结构来建立比例关系求AF？事实上，本题更直接的解法是利用全等和相似。但我们可以尝试构造“一线三等角”的视角。注意到∠AFB是△ABF的外角，它等于∠ABF+∠BAF，而∠BAF=∠CBE，所以∠AFB=∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°。同样，可证∠AEF=60°。那么，在直线BE上，是否存在三个60°角？点B处有∠ABC=60°，点E处有∠AEF=60°，还差一个。如果我们连接CF，可以证明∠BFC=120°，其邻补角为60°……这有些复杂。对于本题，直接利用△ABD≌△BCE，再证△AEF∽△ADC或△BDF∽△ADC来求AF更为简洁。这说明，模型是工具，不是唯一路径，我们要灵活选择。

  例题2：（回归标准模型）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为F。当BE为多少时，△ABE与△DFA相似？

  师：请同学们分析，这里存在哪种模型？

  生：矩形中，∠B=90°，DF⊥AE，所以∠AFD=90°。在直线AD上，点A、某点、D处，∠B和∠AFD是90°，但第三个角呢？由DF⊥AE，可得∠DAF+∠ADF=90°，而∠DAF+∠BAE=90°，所以∠BAE=∠ADF。这样，在直线AD上，虽然没有三个顶点明确给出等角，但从相似三角形的角度，要△ABE∽△DFA，已经具备∠B=∠AFD=90°，∠BAE=∠ADF，所以它们相似。这可以看作“一线两直角”结构下，通过等角导出的相似。

  师：那么，BE的长度如何求？

  生：根据相似，对应边成比例。AB对应DF，BE对应FA，AE对应DA。但DF和FA未知。注意到△ABE和△DFA相似，但对应顶点有两种可能：①∠B对应∠AFD，∠BAE对应∠ADF，则AB/DF=BE/FA=AE/DA。②∠B对应∠FAD？不，∠B=90°应对应∠AFD=90°，所以只有一种对应。利用AB/DF=AE/DA，而DA=BC=6，AB=4，AE可由AB和BE表示，但DF仍未知。此路似乎有阻。

  师：很好，同学们发现了直接利用该组相似列比例式有困难。我们能否找到其他更容易计算的相似关系？注意题目条件“DF⊥AE”，再看整个图形，是否存在更明显的“一线三等角”？

  生：（观察后）在直线BC上！点B、E、C。∠B=90°。由于DF⊥AE，可证∠AEB=∠FDC（同角的余角相等）。而∠C=90°。所以在直线BC上，有∠B=∠C=90°，且∠AEB=∠FDC。这构成了“一线两直角加等角”，从而有△ABE∽△FCD。

  师：太精彩了！这个发现是关键。那么，由△ABE∽△FCD，我们能得到什么比例式？

  生：AB/FC=BE/CD=AE/FD。但仍然涉及FC、FD等未知量。

  师：别急，我们有两个相似三角形组：△ABE∽△DFA和△ABE∽△FCD。它们共享△ABE。我们可以尝试建立线段关系。设BE=x，则EC=6-x。由△ABE∽△FCD，得BE/CD=AE/FD。由△ABE∽△DFA，得AB/DF=AE/DA。观察这两个比例式，都含有AE/DF。我们可以尝试消去它。

  由△ABE∽△DFA：AE/DA=AB/DF=>AE/6=4/DF=>DF=24/AE。

  由△ABE∽△FCD：AE/FD=BE/CD=x/4=>AE=x*FD/4。

  将DF=24/AE代入AE=x*(24/AE)/4，得到AE^2=6x。又在Rt△ABE中，AE^2=AB^2+BE^2=16+x^2。所以16+x^2=6x，即x^2-6x+16=0。判别式小于0，无实数解？这不符合实际。

  师：我们的推导可能出了问题。检查一下对应边。在△ABE∽△FCD中，∠AEB=∠FDC，∠B=∠C=90°，所以对应边：AB对应FC，BE对应CD，AE对应FD。所以比例式应为：AB/FC=BE/CD=AE/FD。即4/FC=x/4=AE/FD。所以AE/FD=x/4，即FD=4AE/x。

  从△ABE∽△DFA：∠B=∠AFD，∠BAE=∠ADF，所以对应边：AB/DF=BE/FA=AE/DA。即4/DF=x/FA=AE/6。所以4/DF=AE/6，即DF=24/AE。

  于是有4AE/x=24/AE，得AE^2=6x。与之前一致。在Rt△ABE中，AE^2=16+x^2，所以16+x^2=6x，x^2-6x+16=0，确实无解。这意味着什么？

  生：可能题目中“△ABE与△DFA相似”的情况不存在？或者需要另一种对应关系？如果△ABE∽△FDA呢？即∠B对应∠DFA=90°，∠BAE对应∠FDA？

  师：让我们尝试另一种对应。如果△ABE∽△FDA，则∠B=∠DFA=90°，∠BAE=∠FDA，那么对应边为：AB/FD=BE/FA=AE/DA。即4/FD=x/FA=AE/6。

  同时，由之前发现的△ABE∽△FCD（对应不变）仍然成立：4/FC=x/4=AE/FD。

  现在，从△ABE∽△FDA得AE/DA=AB/FD=>AE/6=4/FD=>FD=24/AE。

  从△ABE∽△FCD得AE/FD=x/4=>FD=4AE/x。

  同样得到24/AE=4AE/x=>AE^2=6x。

  结果一样。这就奇怪了。我们重新审视图形。当BE变化时，点F的位置也在变。是否在某个BE长度下，△ABE与△DFA根本不可能相似？或者，相似时，点F的位置有特殊要求？题目问“当BE为多少时”，暗示存在这样的BE。我们的计算无解，可能是忽略了另一种相似对应：△ABE∽△ADF。即顶点A对应A，B对应D，E对应F。这要求∠BAE=∠ADF，∠B=∠AFD=90°，这是成立的。但对应边：AB/AD=BE/DF=AE/AF。即4/6=BE/DF=AE/AF，所以2/3=BE/DF。

  同时，从△ABE∽△FCD（依然成立）：BE/CD=AE/FD=>x/4=AE/FD=>FD=4AE/x。

  现在，从△ABE∽△ADF得BE/DF=AB/AD=2/3=>x/DF=2/3=>DF=3x/2。

  于是3x/2=4AE/x=>AE=(3x^2)/(8)。

  在Rt△ABE中，AE^2=16+x^2，所以(9x^4)/(64)=16+x^2。令t=x^2，则9t^2/64=16+t=>9t^2=1024+64t=>9t^2-64t-1024=0。解这个一元二次方程……计算较复杂，但判别式为正，可能有解。

  师：看来，相似三角形的对应关系需要仔细分类讨论，这是本题的难点之一。由于时间关系，具体计算留给同学们课后完成。本题的核心教益是：在应用模型时，要全面考虑各种可能，并善于利用多个相似关系建立方程。

  【应用层级二：构造模型，破解难题】

  例题3：在平面直角坐标系中，点A(0,6)，点B(8,0)。点P是线段AB上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D。求矩形ODPC面积的最大值。

  师：本题没有明显的“一线三等角”，但求矩形面积最值，通常需要建立面积关于某个变量的函数。设点P坐标是关键。如何利用几何性质建立关系？

  生：点P在直线AB上，可设P(x,y)，满足直线AB方程。但矩形面积S=xy，是二次函数，可求最值。

  师：直接解析法可行。但我们能否用今天学的几何模型，更直观地看待这个问题？观察图形，矩形ODPC的边在坐标轴上，∠PDO=∠PCO=∠DOC=90°，这本身就是一个“一线三直角”结构！直线是x轴或y轴？我们看y轴：点D、O、A，有三个直角吗？∠PDO=90°，∠？不完全是。换个角度，看△BPC和△APD，它们与△AOB有什么关系？

  生：∵PC∥y轴，PD∥x轴，∴△BPC∽△BOA，△APD∽△AOB。

  师：这利用了平行线下的“A字型”相似。但我们可以用“一线三直角”的眼光重新审视：在直线AB上，点A、P、B。过P作PC⊥x轴，相当于从P向x轴引垂线，形成了直角。但A、B处没有直角。不过，我们可以通过构造来创造“一线三直角”。过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两垂线交于点E。这样，在直线AB上，点A、P、B处，就都有直角了吗？点A处是∠OAE=90°，点P处是∠CPD（在矩形内）？不直接。构造的目的有时是为了转移线段。本题用解析法或相似三角形法（利用△BPC∽△BOA，得比例式求PC和OC的关系）更直接。但我们强调，在面对动点问题时，心中要有模型意识，有时通过构造“一线三等角”可以迅速建立比例关系，实现“化动为静”。

  师：我们来看一道更具挑战性的构造题。

  例题4：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，∠ADC=45°。若AD=4，CD=6，求BD的长。

  师：条件分散，∠ADC=45°与等腰直角△ABC似乎无关。求BD，需要将BD置于某个可解的三角形中。45°是特殊角，常联想等腰直角三角形或构造90°。能否通过旋转或构造相似来转移线段和角？

  生：考虑将△ABD绕点B逆时针旋转90°至△CBP，连接DP。则BD=BP，∠DBP=90°，所以△BDP是等腰直角三角形。问题转化为求DP。现在关注点A、D、C、P的关系。由旋转，AD=CP=4，∠BCD？需要知道∠DCP的度数。由旋转，∠BAD=∠BCP。而四边形内角和360°，∠ABC=90°，∠ADC=45°，所以∠BAD+∠BCD=225°。∠BCP+∠BCD=225°，即∠DCP=225°-180°=45°？不对，∠BCP+∠BCD=(∠BAD)+∠BCD=225°，所以∠DCP=360°-(∠BCP+∠BCD)？在△DCP中，已知两边CP=4，CD=6，若知道夹角∠DCP，便可解三角形求DP。我们需要∠DCP。

  由旋转，∠ABD=∠CBP，所以∠DBP=∠DBC+∠CBP=∠DBC+∠ABD=90°，正确。现在看∠DCP：它等于∠DCB+∠BCP=∠DCB+∠BAD=225°？不对，∠DCB+∠BAD=225°，但∠DCB+∠BCP=∠DCB+∠BAD，确实是225°。但∠DCP是四边形DCPB的内角？更简单点，看∠DCP与225°的关系。225°超出了180°，说明它不是三角形DCP的内角，而是优角。我们通常说的角是指小于180°的角。所以，在△DCP中，∠DCP应该是360°-225°=135°。这样，在△DCP中，已知两边CP=4，CD=6，夹角∠DCP=135°，可用余弦定理求DP。

  师：非常棒的构造！这是旋转法。但我们现在探索能否用“一线三等角”模型来思考和解决。观察旋转后的图形，我们得到等腰Rt△BDP。有没有可能直接构造“一线三等角”来证明△DCP是特定三角形？或者，在原图中，能否构造“一线三等角”产生相似，将已知的AD、CD与未知的BD联系起来？

  我们尝试在原图基础上构造：过点D作DE⊥AD，使DE=AD（或类似），连接AE、BE。这可能会产生与△ABC相似的等腰直角三角形。实际上，常见的构造方法是：以AD为腰，在AD两侧作等腰直角三角形。例如，过点A作AM⊥AD，使AM=AD，连接BM、DM。这样，∠MAD=90°，MA=AD。又∠ABC=90°，AB=BC。观察∠MAB和∠DAC是否相等？不一定。更系统的思路是：看到等腰直角△ABC和45°的∠ADC，联想到“共顶点旋转相似”模型，即通常所说的“手拉手”模型。但“一线三等角”模型也能发挥作用吗？

  我们可以尝试将点B、D、C等置于一条直线上？不明确。另一种构造：过点C作CE⊥CD，使CE=CD（构造等腰Rt△DCE），连接AE、BE。这样，出现了两个等腰直角三角形：△ABC和△DCE。它们有公共顶点C吗？没有，是顶点B和D。但可以连接BD，观察是否有“一线三等角”？例如，考虑A、B、E三点共线吗？未知。

  师：这道题展示了解决几何难题的多种策略。旋转构造是极佳的方法。而“一线三等角”模型在此题中并非直接显现，但我们在构造辅助线的过程中，可能会无意中创造出该模型。例如，在旋转后的图形中，若从点D向CP和BP作垂线，可能会形成“一线三直角”。模型思想是渗透在思考中的。本题我们暂不深究，课后可继续探索。

  （五）综合实践，拓展延伸（约20分钟）

  师：现在，我们将模型应用于一个实际情境问题。

  探究活动：小组合作，设计测量方案。

  任务：校园内有一棵古树（点T），其底部不可直接到达。附近有一栋教学楼（墙面MN代表，视为竖直的平面，底部直线为地面）。请利用一根标杆、卷尺等工具，结合“一线三等角”原理，设计一个方案，测量古树的高度。画出测量示意图，写出需要测量的数据，并给出树高的计算公式。

  （学生分小组讨论，教师巡视指导。讨论后，请小组代表展示方案。）

  组1：我们方案如下：将标杆EF竖直立于地面，调整位置，使人眼在点A处，同时看到标杆顶端E与树顶S在一条直线上（即A、E、S共线）。测量人眼高AB（即A到地面的距离），标杆高EF，以及人到标杆的距离BF，标杆到树的水平距离FT（需要间接测量）。根据相似三角形ABF和EST？不，这里没有“一线三等角”。我们用的是“相似三角形测量”的一般方法。

  师：这利用了“同一时刻，物高与影长成比例”的原理吗？不是，这是视线法。其中确实有相似三角形，但未突出“一线三等角”。能否设计一个方案，明确用到“一条直线上有三个等角”的结构？

  组2：我们的方案：在地面上选择一条基线BC。在点B放置一个测角仪，测量树顶S的仰角∠SBC=α。然后，在基线BC上找一点P，用测角仪确保∠SPB=α。接着，在BP延长线上找一点Q，使得从Q看树顶S的仰角∠SQB也等于α。这样，在直线BPQ上，点B、P、Q处，对树顶S的仰角都是α。这就是“一线三等角”模型。测量BP、PQ的距离，以及测角仪高度（即B点离地高度），即可通过相似三角形计算树高。具体来说，树顶S在水平面上的投影点为O，则△SOB、△SOP、△SOQ都相似？不，是地面上的△BOP、△POQ？实际上，模型中的相似三角形是△SBO、△SPO、△SQO？需要仔细画图。

  （教师引导全班共同完善此方案。）

  师：这个方案构思巧妙，直接应用了“一线三等角”模型。它将难以到达的树底点O，通过共线的三个等角点B、P、Q联系起来。在实际操作中，确保三个角相等需要精细调整，但原理上是严谨的。请该小组课后完善示意图和计算公式。

  （六）课堂小结，反思提升（约10分钟）

  师：同学们，今天的深度学习即将结束。请大家围绕以下问题在笔记本上梳理：

  1.“一线三等角”模型的核心特征是什么？它有哪几种基本变式？

  2.证明该模型下三角形相似的关键技巧是什么？

  3.在复杂图形中识别或构造该模型的策略有哪些？

  4.本节课中，哪些题目或环节给你的印象最深？你遇到了哪些困难，又是如何克服的？

  （学生静思、整理，随后教师邀请几位学生分享。）

  生1：核心特征是一条直线上有三个相等的角。基本变式包括同侧型、异侧型，以及特例一线三直角。等角可以是锐角、直角、钝角。

  生2：证明相似的关键是利用平角、三角形内角和进行角的转换，找到两组对应角相等。

  生3：识别策略：先找共线的三点，再看从这三点出发的线是否形成等角；或者，先找两个等角，再尝试构造第三个等角使其顶点在前两个角顶点的连线上。构造策略：常用方法是作平行线、垂线或利用已知的特殊角（如直角、60°角）去创造等角。

  生4：我对例题2中相似三角形对应关系的讨论印象最深，意识到必须全面考虑各种对应情况，否则会漏解或无解。困难在于计算繁琐，通过耐心分析和检查每一步推导来克服。

  师：大家的总结非常到位。我想强调的是，“一线三等角”不仅仅是一个具体的图形，更是一种重要