初中数学八年级上册《尺规作图（二）：线段的垂直平分线与角的平分线》教学设计

初中数学八年级上册《尺规作图（二）：线段的垂直平分线与角的平分线》教学设计

  一、教学背景与学情分析

  本节教学内容隶属于初中数学“图形与几何”领域，是华东师大版八年级上册第十三章“全等三角形”中的重要组成部分。学生在七年级已经初步接触尺规作图，掌握了作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线（初步）等基本操作，并理解了尺规作图的基本限定（无刻度直尺和圆规）及其所蕴含的“公理化”思想雏形。八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，其推理能力，特别是演绎推理能力开始系统发展。

  本节课将在学生已有基础上，系统化、严谨化地学习两种基本且重要的尺规作图：线段的垂直平分线与角的平分线。这两种作图不仅是后续学习轴对称、等腰三角形、菱形等几何知识的基础工具，其作图过程本身更是几何定理（垂直平分线性质定理、角平分线性质定理）的直观体现和构造性证明。教学需引导学生从“会操作”上升到“明原理”，理解作图步骤每一步的几何依据，实现操作技能与逻辑推理的深度融合，进一步发展学生的几何直观、空间观念和推理能力。

  二、教学目标

  依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“尺规作图”和“图形性质”的要求，结合学生认知发展水平，设定以下三维目标：

  （一）知识与技能

  1.能独立、规范地使用尺规作出已知线段的垂直平分线，并说明作图的原理（基于全等三角形的判定）。

  2.能独立、规范地使用尺规作出已知角的平分线，并说明作图的原理（基于全等三角形的判定）。

  3.理解并初步掌握线段的垂直平分线和角的平分线的基本性质，并能将作图方法与性质定理相互关联。

  （二）过程与方法

  1.经历观察、猜想、操作、验证、说理的探究过程，体会从具体操作到抽象概括的数学思想方法。

  2.通过分析作图步骤的合理性，发展逻辑推理能力和几何语言表达能力。

  3.在解决简单实际问题的情境中，体验尺规作图作为几何问题解决工具的价值。

  （三）情感态度与价值观

  1.在尺规作图的严谨操作中，感受数学的精确性与规范性，培养一丝不苟的科学态度。

  2.通过探究作图原理，体会数学知识之间的内在联系，增强学习几何的兴趣和信心。

  3.欣赏尺规作图这一古老数学技艺的简洁与优美，体会数学的文化价值。

  三、教学重难点

  （一）教学重点

  1.线段的垂直平分线和角的平分线的尺规作图方法。

  2.理解两种作图方法每一步的几何原理。

  （二）教学难点

  1.从操作实践中抽象概括出作图的几何原理，并用逻辑推理（全等三角形的知识）进行验证。

  2.理解“作图方法的正确性”与“相关性质定理”之间的逻辑关系。

  四、教学策略与方法

  遵循“以学生为主体，教师为主导”的原则，采用启发式、探究式、合作式相结合的教学方法。

  1.情境导入法：创设真实或拟真的问题情境，引发认知冲突，激发学习动机。

  2.探究发现法：将作图步骤拆解为系列探究问题，引导学生动手操作、观察猜想、合作交流，自主建构作图方法。

  3.讲练结合法：教师精讲原理，学生精炼操作与说理，及时巩固，形成技能。

  4.信息技术融合法：利用几何画板等动态几何软件，演示作图过程，验证猜想，增强直观，突破难点。

  五、教学资源准备

  1.教师准备：多媒体课件、几何画板软件、实物投影仪、三角板、圆规、课堂练习与探究任务单。

  2.学生准备：直尺（无刻度）、圆规、量角器（仅用于验证，非作图工具）、铅笔、课堂笔记本、任务单。

  六、教学过程设计

  （一）第一阶段：前置诊断，温故知新（预计用时：8分钟）

  教师活动：

  1.通过课件呈现两个基本问题：

  （1）已知线段AB，如何用带刻度的直尺和三角板作出它的垂直平分线？其依据是什么？（复习线段垂直平分线的定义和用测量工具作图的方法）

  （2）已知∠AOB，如何用量角器作出它的平分线？其依据是什么？（复习角平分线的定义和用测量工具作图的方法）

  2.提出核心追问：“如果只有一把没有刻度的直尺和一个圆规，你还能完成上述作图吗？为什么以前的方法现在行不通了？”引导学生思考尺规作图的限定性，并回顾七年级已学的两种基本作图：作等长线段、作等角。

  3.展示本节课的学习目标。

  学生活动：

  1.独立思考并口头回答两个基本问题。

  2.针对教师的追问进行思考，明确尺规作图的工具限制，激活已有的尺规作图经验。

  3.明确本节课的学习任务和方向。

  设计意图：从学生已有的、依赖度量工具的作图经验出发，通过工具限定的追问，制造认知冲突，自然引出尺规作图的课题。复习相关定义和基本作图，为新课探究做好知识和心理上的铺垫。

  （二）第二阶段：情境导入，明确目标（预计用时：5分钟）

  教师活动：

  创设情境：“某社区计划在一条笔直的小路MN旁建一个便民服务站P，要求服务站到小路同侧两个新建小区A、B的距离相等。工程师该如何在图纸上确定点P的位置？”（课件展示示意图）。

  引导学生将实际问题抽象为数学问题：“在直线MN上找一点P，使PA=PB”。进一步追问：“如果A、B两点到直线MN的距离不相等，点P一定存在吗？如果存在，如何精确找到它？”引出核心任务——寻找一条“线”，该线上的点到A、B两点的距离都相等。从而自然引出“线段的垂直平分线”的概念，并明确本节课第一个核心目标：仅用尺规找到（作出）这条线。

  学生活动：

  1.倾听情境，理解问题。

  2.尝试将实际问题转化为数学语言。

  3.在教师引导下，明确探究的核心对象是线段的垂直平分线，并产生如何“无刻度”作出它的疑问和兴趣。

  设计意图：通过真实情境导入，体现数学来源于生活、应用于生活的理念。问题设计具有启发性，引导学生自然回忆起垂直平分线的性质（逆用），并将“找点”问题转化为“作线”问题，明确学习目标，激发探究欲望。

  （三）第三阶段：探究新知，建构方法（预计用时：25分钟）

  探究活动一：线段的垂直平分线的尺规作图

  教师活动：

  1.提出任务：给定线段AB，请尝试只用圆规和无刻度的直尺，作出线段AB的垂直平分线。

  2.组织学生进行小组合作探究。教师巡视，观察学生思路，对可能出现的尝试（如试图直接凭感觉画垂线、或用圆规拷贝长度进行尝试等）不予否定，引导他们思考“如何保证作出来的线既垂直又平分”。

  3.选择有代表性的探索思路进行展示（可利用实物投影）。引导学生聚焦关键问题：“要保证垂直平分，我们需要在图中构造出哪些相等的量或特殊的图形？（如等腰三角形、全等三角形）”

  4.启发引导：如果我们想找到中点，可以尝试构造一个以AB为底边的等腰三角形，其顶点在哪里？如何用圆规确定到A、B两点距离相等的点？

  5.在学生初步形成“以A、B为圆心，画弧交于两点”的操作后，通过连续追问深化思考：

  （1）为什么半径要取大于AB一半的长度？（保证两弧有交点）

  （2）以同样的半径画弧，得到的两个交点C、D，为什么有CA=CB=DA=DB？（圆规的特性保证了等长）

  （3）连接CD，为什么CD就是AB的垂直平分线？你能用学过的几何知识证明吗？（引导学生连接AC、AD、BC、BD，通过证明△ACD≌△BCD（SSS），得到∠ACD=∠BCD，再根据等腰三角形“三线合一”证明CD垂直平分AB。或直接证明△AOC≌△BOC（SAS），O为交点）。

  6.利用几何画板动态演示作图全过程，并在每一步骤暂停，阐释其几何意义。强调作图的规范性语言和步骤。

  7.与学生共同归纳作图步骤，并板书：

  （1）分别以点A、B为圆心，以大于1

2

\frac{1}{2}

21​AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。

  （2）过点C、D作直线CD。

  直线CD即为线段AB的垂直平分线。

  8.回到导入情境，指导学生利用刚学的尺规作图方法，解决“找便民服务站P”的问题（即先作AB的垂直平分线，再与直线MN求交点）。

  学生活动：

  1.小组合作，利用工具进行尝试性作图，记录尝试过程和遇到的问题。

  2.展示交流探索成果，解释自己的思路。

  3.在教师引导下，深入思考每一步操作背后的几何原理。重点思考如何证明所作直线CD满足要求。

  4.尝试用三角形全等的知识进行逻辑证明，同桌间相互讲解。

  5.观看动态演示，加深对作图逻辑链的理解。

  6.规范复述并书写作图步骤。

  7.应用新知解决导入问题，体验成功。

  设计意图：本环节是教学的核心和难点。通过开放性探究任务，让学生亲身经历方法的探索过程，而非被动接受。教师的引导层层递进，从操作尝试到原理追问，再到严格证明，将动手操作与动脑思考紧密结合，使学生在“做数学”和“思数学”的过程中，深刻理解作图方法的数学本质，实现从直观操作到逻辑推理的升华。

  探究活动二：角的平分线的尺规作图

  教师活动：

  1.类比迁移：“我们刚刚通过构造‘等距离点’找到了线段的垂直平分线。对于角的平分线，我们能否借鉴类似的思路？角平分线上的点有什么特征？”

  引导学生得出：角平分线上的点到角两边的距离相等。

  2.提出新任务：已知∠AOB，请利用角平分线的性质特征，设计尺规作图方法，作出它的平分线。

  3.再次组织小组探究。提示关键：“要体现‘到角两边距离相等’，我们需要在角的两边上确定怎样的对应点？如何用尺规得到这些点？”

  4.巡视指导，重点关注学生是否能想到在角两边上截取等长线段，以及如何确定角平分线要通过的点。

  5.组织汇报交流。引导学生清晰表达：在OA、OB上分别截取等长的线段OM、ON；然后问题转化为“找一点到M、N距离相等”，这实质上是找线段MN的垂直平分线吗？为什么？（不是，要找的点需在∠AOB内部，且到OA、OB距离相等，与到M、N点距离相等并不完全等价。此处是易错点，需澄清：OM=ON只是保证了点到O的距离相等，但我们需要的是点到边的距离相等）。

  6.纠正思路，继续引导：既然直接截取等长不行，那如何构造出“到两边距离相等”的几何结构？联想到“点到直线的距离”需要作垂线，但在尺规限制下，目前我们还不会过角内一点作边的垂线。换个角度，能否构造一个以O为顶点的等腰三角形，利用其轴对称性（三线合一）？

  7.在学生思考的基础上，讲解标准作法并剖析原理：

  （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N。（这一步保证了OM=ON，构造了等腰△OMN的底边端点）

  （2）分别以点M、N为圆心，大于1

2

\frac{1}{2}

21​MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点P。（这一步实质是作线段MN的垂直平分线上的一个点P，保证了PM=PN）。

  （3）作射线OP。（为什么OP就是角平分线？连接PM、PN，可证△OMP≌△ONP（SSS），从而∠AOP=∠BOP）。

  8.利用几何画板演示，强调两次画弧半径选择的道理（第一次任意，第二次需保证相交）。对比线段垂直平分线作图，分析异同。

  9.与学生共同归纳、板书作图步骤。

  学生活动：

  1.根据角平分线的性质特征，进行类比猜想和小组探究。

  2.经历可能的错误尝试（如直接作MN垂直平分线），在教师引导下辨析错误原因，深化对“距离”概念和作图目标的理解。

  3.理解并掌握正确的作图方法。重点思考如何证明∠AOP=∠BOP，尝试独立或合作写出证明过程。

  4.对比两种基本作图，总结共同思路：都是利用“满足特定条件的点的轨迹”思想，通过画弧相交来确定关键点。

  设计意图：本环节运用类比迁移策略，引导学生将探究线段垂直平分线的经验和方法，迁移到角平分线的探究中。故意让学生经历可能的认知弯路，通过辨析错误加深对概念本质的理解。将角的平分线作图最终转化为全等三角形的证明，再次强化了几何推理的核心地位，培养了学生分析问题和转化问题的能力。

  （四）第四阶段：变式应用，深化理解（预计用时：12分钟）

  教师活动：

  1.基础巩固练习：

  （1）已知线段CD，用尺规作出它的垂直平分线，并在所作直线上任取一点E，连接EC、ED，用量角器验证∠CED是否为直角（感知性质）。

  （2）已知钝角∠XYZ，用尺规作出它的平分线。

  2.变式探究问题：

  （1）“作线段的垂直平分线”的步骤中，为什么必须以大于AB一半的长为半径画弧？如果等于或小于一半，会怎样？请用圆规实际尝试一下，并说明理由。（从两圆位置关系的角度理解）

  （2）在“作角的平分线”的步骤中，第二步以M、N为圆心画弧时，半径大小是否必须大于1

2

\frac{1}{2}

21​MN？如果等于，会怎样？（考虑交点唯一性）

  （3）挑战题：你能用尺规作图的方法，找到一个圆的圆心吗？请描述你的方法和依据。（综合应用线段垂直平分线作图）

  3.组织学生独立练习与思考，随后进行讲评与互动交流。重点讲评变式问题，引导学生从几何原理层面而不仅仅是操作步骤层面进行解释。

  学生活动：

  1.独立完成基础作图练习，注重操作规范性。

  2.动手尝试变式问题（1）（2），观察不同半径下的结果，并用几何知识解释现象。

  3.思考挑战题，尝试设计方案（如：在圆上任取三点，作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心），并说明依据（弦的垂直平分线经过圆心）。

  4.积极参与交流，分享自己的发现和推理。

  设计意图：通过分层练习，巩固基本技能。变式问题旨在引导学生深入反思作图条件，理解每一步“规定”背后的数学必然性，培养思维的深刻性和批判性。挑战题作为拓展，将新知识置于更综合的问题情境中，培养学生的问题解决能力和知识迁移能力。

  （五）第五阶段：综合实践，拓展思维（预计用时：8分钟）

  教师活动：

  提出一个微型项目任务：“尺规作图：设计一个等腰三角形”。

  要求：1.请至少提供两种不同的尺规作图方法，作出一个等腰三角形（底边和腰长不作具体数值限定，但需合理）。

  2.对于每一种方法，写出简要的作图步骤，并说明你依据的几何原理（是利用了垂直平分线的性质，还是角平分线的性质，或是其他？）。

  3.（选做）你能用尺规作图作出一个等边三角形吗？

  提供探究框架，组织学生以小组为单位进行设计与讨论。教师巡视，给予必要的提示（如：方法一：先作一条线段作为底边，再作它的垂直平分线，在垂直平分线上取一点作为顶点……）。

  学生活动：

  1.小组合作，brainstorm不同的设计方案。

  2.动手实践，验证方案的可行性。

  3.整理并记录作图步骤和原理说明。

  4.尝试挑战等边三角形的作图（可视为腰与底相等的特殊情况，或利用三个圆等方法）。

  设计意图：将基本作图技能应用于图形构造中，实现知识的综合与提升。开放性的设计任务鼓励学生创造性思维，不同方案的交流可以开阔视野。说明原理的要求促使学生内化新知，建立知识网络。项目式的小活动增加了学习的趣味性和挑战性。

  （六）第六阶段：总结反思，升华认知（预计用时：5分钟）

  教师活动：

  引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂小结：

  1.知识层面：今天我们系统学习了哪两种基本尺规作图？它们的步骤、原理（依据的全等条件）是什么？

  2.方法层面：我们是如何探索出这两种作图方法的？（从性质特征出发→设计构造方案→验证证明）两种作图方法在思路上有什么共同点？（利用轨迹交点确定关键点或线）

  3.思想层面：通过今天的学习，你对尺规作图有什么新的认识？（它不仅是技能，更是研究几何图形性质的有力工具；每一步操作都有严格的几何逻辑支撑，体现了数学的理性精神）。

  教师进行提炼总结，并强调规范作图的重要性。可以简要介绍尺规作图在数学史上的地位，从古希腊的几何学到近代的数学难题（如三大尺规作图不能问题），激发学生进一步探索的兴趣。

  学生活动：

  1.在教师引导下，回顾、梳理本节课的核心知识与技能。

  2.反思学习过程，提炼探究方法和数学思想。

  3.聆听教师总结，形成对尺规作图价值的整体认识。

  设计意图：系统化的课堂小结帮助学生构建清晰的知识结构，提炼学习方法，感悟数学思想。将课堂内容置于更广阔的数学文化背景中，提升课堂的深度与品位，实现情感态度价值观的目标。

  （七）第七阶段：分层作业，自主发展

  教师活动：

  布置分层作业，满足不同层次学生的发展需求。

  【必做题】

  1.课本对应练习：完成教材中关于线段垂直平分线和角平分线作图的习题。

  2.书面表达：任选一种今天学习的尺规作图，用几何语言写出完整的作图语句，并附上证明其正确性的推理过程。

  【选做题】

  3.探究报告：详细撰写你在“综合实践”环节中设计等腰三角形的方案（至少两种），包括步骤、图示和原理说明。

  4.拓展阅读：查阅资料，了解“尺规作图三等分任意角”为什么是一个历史难题（不可能问题），并写下你的理解（200字以内）。

  学生活动：

  根据自身情况，完成必做题，有选择地挑战选做题。

  设计意图：分层作业设计兼顾基础巩固、能力提升和兴趣拓展。必做题确保所有学生掌握核心知识与技能；选做题为学有余力的学生提供深入探究和接触数学文化的空间，促进个性化发展。

  七、板书设计（预设）

  左侧主板：

  课题：尺规作图（二）：线段的垂直平分线与角的平分线

  一、线段的垂直平分线

  1.作图步骤：

   （1）分别以A、B为圆心，>½AB长为半径画弧，交于C、D。

   （2）作直线CD。

   直线CD