高中数学选修2-3讲学稿

高中数学选修2-3讲学稿同学们，欢迎进入高中数学选修2-3的学习。本册书的内容主要围绕计数原理、概率以及统计案例展开，它们不仅是数学学科的重要组成部分，在解决实际问题中也有着广泛的应用。学好这部分知识，将帮助我们更理性地分析和处理不确定性问题，培养逻辑思维和数据分析能力。第一章计数原理计数，通俗地说就是数数。但当数量较大或情况复杂时，简单的数数就显得力不从心了。本章我们将学习两种基本的计数原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理，以及它们的重要应用：排列与组合。1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.1分类加法计数原理我们先从一个简单的问题入手：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。如果一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题不难回答。因为从甲地到乙地，乘火车有3种选择，乘汽车有2种选择，每一种选择都能独立完成从甲地到乙地这件事。所以，总的走法数就是火车的班次与汽车的班次之和，即3+2=5种。由此，我们可以抽象出分类加法计数原理：完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。这里的“完成一件事”是核心，而“两类不同方案”意味着这两类方案中的方法是互斥的，即选择了第1类方案中的任何一种方法，就不能再选择第2类方案中的方法，反之亦然。思考与辨析：如果完成一件事有三类不同方案，第1类有m种方法，第2类有n种方法，第3类有p种方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？（答案：m+n+p）这个原理可以推广到完成一件事有n类不同方案的情况。1.1.2分步乘法计数原理再看另一个问题：从甲地到乙地，要先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。如果一天中从甲地到丙地的火车有3班，从丙地到乙地的汽车有2班，那么两天中，从甲地经丙地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题与前一个不同。从甲地到乙地需要分两步：第一步，从甲地到丙地，有3种方法；第二步，从丙地到乙地，有2种方法。只有这两步都完成了，才能从甲地到达乙地。对于第一步的每一种火车班次，都可以与第二步的每一种汽车班次搭配，所以总的走法数是3×2=6种。由此，我们得到分步乘法计数原理：完成一件事，需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。这里的“两个步骤”是关键，这两步是相互依存的，只有完成了所有步骤，才算完成了这件事。思考与辨析：如果完成一件事需要三个步骤，第1步有m种方法，第2步有n种方法，第3步有p种方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？（答案：m×n×p）同样，这个原理也可以推广到完成一件事需要n个步骤的情况。1.1.3两个计数原理的比较与应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。它们的区别在于：*分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事。其核心是“或”字。*分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事。其核心是“且”字。在实际应用中，要根据具体问题的特点，准确判断是“分类”还是“分步”，从而正确选择使用哪个原理。有时，一个复杂问题可能需要同时运用两个原理。例题分析：例1：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解析：（1）要完成“任取1本书”这件事，有三类方案：第1类是从第1层取计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取文艺书，有3种方法；第3类是从第3层取体育书，有2种方法。根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N=4+3+2=9。（2）要完成“从第1、2、3层各取1本书”这件事，需要分三步：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N=4×3×2=24。练习：1.某班级有男生25人，女生20人。从中选1人担任班长，有多少种不同的选法？2.从A地到B地有2条路，从B地到C地有3条路，从A地直接到C地有1条路。那么从A地到C地共有多少种不同的走法？1.2排列与组合有了两个基本计数原理作为基础，我们就可以学习更复杂的计数问题了——排列与组合。1.2.1排列问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？这个问题，我们可以这样思考：要完成的“一件事”是“选出2名同学分上下午参加活动”。可以分两步：第1步，确定参加上午活动的同学，有3种选法；第2步，确定参加下午活动的同学，此时还剩下2名同学，有2种选法。根据分步乘法计数原理，共有3×2=6种不同的选法。我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是，所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示（或P(n,m)）。上面问题1中，从3个不同元素中取出2个元素的排列数就记为A(3,2)，且A(3,2)=3×2=6。那么，排列数A(n,m)的计算公式是什么呢？从n个不同元素中取出m个元素排成一列，可以分m个步骤完成：第1步，确定第1个位置的元素，有n种方法；第2步，确定第2个位置的元素，此时剩下n-1个元素，有n-1种方法；第3步，确定第3个位置的元素，有n-2种方法；……第m步，确定第m个位置的元素，有n-(m-1)=n-m+1种方法。根据分步乘法计数原理，排列数A(n,m)=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)。这个公式叫做排列数公式。特别地，当m=n时，排列称为全排列，排列数为A(n,n)=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。这个乘积叫做n的阶乘，记作n!，即A(n,n)=n!。为了使公式在m=n时也成立，我们规定0!=1。于是，排列数公式还可以写成：A(n,m)=n!/(n-m)!例题分析：例2：计算：（1）A(5,3)（2）A(4,4)（3）A(6,2)解析：（1）A(5,3)=5×4×3=60（2）A(4,4)=4!=4×3×2×1=24（3）A(6,2)=6×5=30或A(6,2)=6!/(6-2)!=720/24=301.2.2组合问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？这个问题与问题1的区别在于，这里只需要选出2名同学，而不需要考虑他们参加活动的顺序。比如，“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”在问题1中是两种不同的选法，但在问题2中，“甲和乙”被选出来就算一种选法。因此，问题2的答案是3种：甲和乙，甲和丙，乙和丙。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C(n,m)表示。上面问题2中，从3个不同元素中取出2个元素的组合数就记为C(3,2)=3。如何计算组合数C(n,m)呢？我们来分析排列与组合的关系。从n个不同元素中取出m个元素的排列，可以分两步完成：第1步，从n个不同元素中取出m个元素，有C(n,m)种方法；第2步，将取出的m个元素进行全排列，有A(m,m)=m!种方法。根据分步乘法计数原理，A(n,m)=C(n,m)×A(m,m)。因此，组合数公式为：C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=[n!/(n-m)!]/m!=n!/[m!(n-m)!]这就是组合数的计算公式。此外，组合数还有两个重要的性质：1.C(n,m)=C(n,n-m)2.C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)（杨辉恒等式）性质1可以直接由组合的定义得出，它表明从n个元素中取m个元素的组合数，等于从n个元素中取n-m个元素的组合数。性质2则反映了组合数之间的内在联系，在计算和证明中很有用。例题分析：例3：计算：（1）C(5,2)（2）C(7,3)（3）C(6,6)解析：（1）C(5,2)=5!/(2!(5-2)!)=(5×4×3!)/(2×1×3!)=10或利用性质1：C(5,2)=C(5,3)=10（2）C(7,3)=7!/(3!4!)=(7×6×5×4!)/(3×2×1×4!)=35（3）C(6,6)=6!/(6!0!)=1/1=1（规定C(n,0)=1）思考与辨析：排列与组合的根本区别是什么？（答案：是否与顺序有关。排列与顺序有关，组合与顺序无关。）练习：1.从5名同学中选3名参加座谈会，有多少种不同的选法？2.计算C(10,4)和C(10,6)，观察结果，验证