小学四年级数学《除数是两位数的除法》竖式算理深度探究教案

小学四年级数学《除数是两位数的除法》竖式算理深度探究教案一、基本信息与设计理念（一）课题定位与核心目标本课为小学四年级数学上册（北师大版）第六单元《除法》中的关键课例，课题定为“竖式的‘根’——除数是两位数的除法算理探究”。【核心】本设计旨在超越单纯的技能训练，引导学生追溯除法竖式产生与发展的“根”，即理解其为何如此书写，每一步运算背后的数学逻辑是什么。通过将抽象的符号语言与具体的情境操作、口算经验深度融合，帮助学生建立起坚不可摧的算理基础，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越，为后续学习更复杂的除法（如三位数除以两位数、小数除法）奠定坚实的认知根基。（二）学情分析：基于前测的精准定位在教学之前，通过简短的前测环节，精准把握学生的认知起点至关重要。教师可以设计一个开放性问题：请用尽可能多的方法表示“84÷4”的计算过程和结果。根据以往的教研经验【4】【10】，学生的反馈通常呈现以下三种层次：1.操作表征层：部分学生会通过画图（如画4个圈，往里面分点）或模拟分物的方式来呈现。这显示了他们对于除法“平均分”本义的朴素理解。2.横式表征层：大多数学生会正确写出横式，并能通过口算（80÷4=20，4÷4=1，20+1=21）解释过程。这构成了本节课最重要的知识迁移基础。3.竖式尝试层：极少数学生可能通过预习或课外班，尝试写出除法竖式。但他们的竖式往往存在格式错误，或者仅仅是机械模仿，并不理解每个数字的来历和含义。常见的错误有：将除法竖式写成加、减法竖式的形式，或者商的位置书写错误，如将商“21”的“2”写在十位，但下面的乘积和减法过程混乱【4】。基于此学情，本课的教学起点不应是“零”，也不应是“规定”，而应是学生多样化的原生态思维。教学的使命，就是将这种朴素、零散甚至错误的认知，引导、提升至科学、规范且富含逻辑的数学符号系统之中。（三）设计理念：追溯本源，法理相容本课的设计摒弃“重算法轻算理”的传统模式【4】，确立“以理驭法，法理相容”的核心理念。除法竖式不是凭空产生的符号游戏，而是人类文明史上为了高效、清晰地记录“逐次平均分”过程而发明的伟大工具【10】。因此，教学流程将严格遵循“实物分（动作表征）→口算分（语言/抽象表征）→竖式记（符号表征）”的认知路径。每一步的竖式书写，都能在分物操作和口算步骤中找到对应的“根”。通过这样的设计，让看似“规定”的竖式格式，成为学生思维发展的必然选择，从而实现深度学习。二、教学目标与重难点（一）教学目标1.【基础】知识与技能：通过在具体情境中“分物”的过程，理解除数是两位数的除法的算理（即为什么这样算），掌握用“四舍五入”法把除数看作整十数进行试商的方法，并能正确地进行竖式计算。2.【核心】过程与方法：经历“实物操作—口算分解—竖式记录”的探究过程，通过对比、分析、沟通不同表征方式之间的联系，发展初步的抽象、推理和模型思想，培养几何直观和运算能力。3.【重要】情感态度与价值观：在探究除法竖式“根源”的过程中，体会数学符号的简洁美与逻辑美，感受数学与生活的紧密联系，培养严谨、求实的科学态度和克服困难的勇气。（二）教学重难点1.教学重点：理解除数是两位数除法竖式每一步的含义，掌握试商的方法（“四舍五入”法）和竖式的书写格式。2.教学难点：【难点】理解“试商”的原理，即为什么要把除数看作整十数来试商，以及当商不合适时（偏大或偏小）如何进行调商。【非常重要】理解除法竖式从高位算起的独特逻辑，并能清晰解释其优越性【10】。三、教学准备教师准备：多媒体课件（PPT），包含分物动画、错误算式辨析等；磁性教具（代表人民币的大面额纸币或代表书籍的卡片）；学习任务单（每人一份）。学生准备：每人准备若干小棒（可用牙签或计数棒代替），每10根一捆，共准备20捆左右（即200根），以建立位值概念。四、教学实施过程（核心环节）（一）唤醒经验，引出“根”的问题（约5分钟）1.创设情境，引发思考教师利用多媒体课件出示情境图：学校图书馆为四年级班级图书角购买了一批新书。其中，《寓言故事》每捆30本，《童话大王》每套20本。负责搬运的同学们遇到了问题：如果我用竖式计算，这个结果应该怎么写呢？2.复习迁移，暴露前概念教师出示第一层次问题：有60本《寓言故事》，每班分20本，可以分给几个班？学生很快列出算式60÷20=3（个）。教师引导学生用多种方法解释：方法一（口算）：因为20×3=60，所以商3。方法二（分物）：60本，每20本一份，可以分成3份。方法三（竖式尝试）：请一名学生尝试板演竖式。教师不急于评价，而是将学生可能出现的正确或错误竖式保留在黑板上，作为后续探究的素材。3.聚焦核心，提出问题教师指着黑板上的竖式（无论是正确还是错误），提出本节课的核心问题：“同学们，除法竖式长得和我们以前学的加、减、乘法竖式都不一样。它为什么要这样写？这里面每个数字都代表了什么？它的‘根’到底在哪里呢？”由此引出课题——竖式的“根”。（二）操作体验，探寻竖式之“根”（约15分钟）本环节是整节课的核心，通过两个递进的活动，让学生亲手“种”下竖式的根。1.活动一：分“整十数”，初探“根”的形态（1）问题深化：将问题改为“有80本《童话大王》，每班20本，可以分给几个班？”【非常重要】这比60÷20稍有难度，因为80÷20=4，需要学生理解8个十除以2个十等于4的道理。（2）动手操作：学生利用手中的学具（每10根一捆的小棒）模拟分书过程。80根小棒是8捆，每20本（2捆）一份。学生动手圈一圈、分一分，得出可以分成4份。（3）口算对应：教师引导学生口述分的过程和口算思路。“我们是先看80里有几个十？（8个十）除数是20，是几个十？（2个十）8个十里面有几个2个十？有4个，所以商4。”（4）竖式建构：此时，教师引导学生在学习任务单上，尝试用竖式把这个“分”的过程记录下来。教师巡视，选取有代表性的作品展示。重点讨论：商“4”应该写在哪里？为什么？（引导学生结合操作理解：因为是4个“份”，对应的是8个十和2个十的商，所以应该写在个位上。如果写在十位上，就成了40份，显然不对。）竖式下面的“80”是怎么来的？它表示什么？（20×4=80，表示实际分掉了80本。）为什么最后要画一条横线写“0”？（表示全部分完，没有剩余。）（5）小结：至此，学生初步体会到，竖式中的每一个数字，都能在刚才分小棒的过程中找到对应的动作和结果。2.活动二：分“非整十数”，深扎“根”的脉络【难点突破】（1）问题深化：继续情境，“如果《寓言故事》有92本，还是每班30本，可以分给几个班？”列出算式92÷30。（2）制造冲突：学生尝试用刚才的经验口算和试商。92里面有9个十和2个一，除数是3个十。学生可能会想到商3或商4。（3）操作验证：引导学生用92根小棒（9捆零2根）动手分一分，每30本（3捆）一份。学生操作后发现，最多能分成3份，还剩下2根（2本）。这个操作过程至关重要【4】。（4）深度对应：在操作的基础上，教师带领学生将竖式的每一步与操作步骤一一对应：第一步：看被除数的前两位“92”，表示一共有92本。第二步：试商“3”。这是怎么来的？引导学生结合操作解释：92本里有3个30本，所以商3。这个“3”表示3份，写在个位上。【非常重要】第三步：计算“30×3=90”，这个“90”在操作中表示什么？（表示分掉了90本。）在竖式中，为什么是90而不是30×3=90写在下面？引导学生看被除数“92”的下面，对应着被分掉的部分。第四步：做减法“9290=2”。这个“2”在操作中是什么？（表示分完后剩下的2本。）【难点】为什么能直接落下个位的2来减？因为十位的9个十被分掉了9个十（即90），所以十位没有剩余，只剩下个位的2。（5）对比辨析：将92÷30的竖式与80÷20的竖式进行对比。引导学生发现，当被除数的前两位够除时，商写在个位上；当有余数时，余数必须比除数小【2】【6】。至此，学生通过两次具体的操作，不仅学会了如何计算，更重要的是，他们亲眼“看”到了竖式的生长过程，每一个数字、每一个步骤，都牢牢地扎根于分物的现实土壤之中。（三）迁移类推，构建竖式之“干”（约10分钟）1.进阶挑战，独立尝试教师出示第三个问题：“如果有178本《寓言故事》，还是每班30本，可以分给几个班？”算式178÷30。【高频考点】2.思维可视化要求学生先不急于动笔，而是思考：这道题和刚才的92÷30有什么不同？（被除数变成了三位数。）然后，在任务单上，先用简单的示意图（如用大圈代表10本）或语言描述自己的分法，再列竖式。3.互动研讨，聚焦核心组织学生汇报交流。重点讨论以下问题：（1）被除数的前两位“17”比除数“30”小，怎么办？【基础】引导学生结合“分物”经验理解：17个十（即170本）不够每班30本分一次（因为170＜30×？），所以不能直接在十位商，必须看前三位，用178本去分。（2）商应该写在哪一位？为什么？引导学生得出：既然是用178本（即完整的单位“一”）去除以30，那么商就应该表示有多少个“一”，所以商要写在个位上。（3）如何试商？30×（）接近178且小于178。学生尝试得出30×5=150，30×6=180（太大了），所以商5。这个过程就是“试商”。（4）完整写出竖式，并解释每一步的含义：150是怎么来的？（30×5=150，表示分掉了150本。）余数28表示什么？（还剩28本，比除数小。）4.归纳建模师生共同总结除数是整十数的除法法则：先看被除数的前两位，如果不够除，就看前三位；除到哪一位，商就写在那一位的上面；每次除得的余数要比除数小【6】【8】。通过这样的迁移，学生将前两个活动获得的感性经验，上升为理性的、可操作的算法模型。（四）深化探究，揭秘调商之“理”（约10分钟）【热点】当学生掌握了用整十数除的基本方法后，将除数由整十数变为一般两位数，便引出了本单元的又一核心——试商与调商。这一环节依然是紧扣“根”的理念，即“为什么需要调”。1.创设复杂情境图书管理员遇到了新难题：她想给一个班的同学每人发一本《童话大王》作为奖励，这本书单价是29元，她现在有196元，最多能买几本？算式196÷29。2.初试“四舍”法，发现矛盾学生根据已有经验，会用“四舍”法把29看作30来试商。30×6=180接近196，所以初商6。引导学生用竖式计算29×6=174，=22。余数22比除数29小，说明商6是合适的。如果换成196÷28呢？把28看作30试商6，28×6=168，余28，余数等于除数（28），说明商6小了，应该商7。3.深入探究，揭示调商根源【非常重要】以196÷28为例，组织小组讨论：为什么把28看作30来试商，会出现初商偏小的情况？引导学生从“根”上思考：我们把除数看大了（28→30），相当于把每份的数量估计得比实际多了。那么，在总数不变的情况下，每份估得越大，能分的份数（商）自然就会估得越小。因此，当我们用估大的除数试出一个商后，这个商可能会偏小，需要调大。同理，对于23÷4（把23看作20试商），因为把除数看小了，每份估得小，能分的份数就估得大，所以初商可能偏大，需要调小【5】。4.操作验证，巩固认知对于196÷28，可以用小棒演示。196根小棒，如果每28根一份，到底能分几份？通过实际圈一圈，发现能分7份，而不是6份。从而验证了调商的必要性。这一环节，将抽象的“调商”规则，还原为基于数量关系的逻辑判断，让学生知其然，更知其所以然。（五）对比辨析，规范竖式之“形”（约5分钟）1.错例分析，强化认知教师展示学生在练习中可能出现的几种典型错误【4】【9】：错误类型A：商的位置写错，如将196÷28的商“7”写在十位上。错误类型B：减法步骤错误，如忘记减去分掉的部分，或减法计算错误。错误类型C：余数比除数大，却没有继续除或调商。引导学生化身“小老师”，辨析这些错误背后的原因，指出这些错误违背了除法“分物”的基本规则。2.对比正误，深化理解将正确的竖式与错误的竖式并列展示，让学生在对比中加深对正确书写格式和计算逻辑的记忆。特别是对于商的位置，通过提问“如果商写在十位上，表示多少？符合我们分的结果吗？”来强化认知。（六）分层练习，巩固内化（约5分钟）1.基础练习（必做）：计算下面各题，并说说你是如何试商的。80÷40，97÷30，140÷20，324÷50【设计意图：巩固除数是整十数，商是一位数的基本笔算方法。】2.综合练习（核心）：列竖式计算，并验算。192÷24，288÷36，198÷28【高频考点】【设计意图：练习用“四舍五入”法试商及简单的调商过程，强化算理。】3.拓展练习（选做）：想一想，下面的括号里最大能填几？20×（）＜85，30×（）＜175，50×（）＜406【设计意图：为更复杂的试商和心算能力打基础。】五、板书设计：竖式的“根”——除数是两位数的除法竖式的“根”——除数是两位数的除法情境一：分书92÷30=3（个）……2（本）