小学数学北师大版四年级上册 4 有趣的算式

小学数学北师大版四年级上册4有趣的算式小学数学四年级上册核心知识清单：探索与发现《有趣的算式》一、核心概念与学科本质（一）课程定位与数学思想【非常重要】本课隶属于“数与代数”领域的“探索规律”板块，是小学数学课程中首次系统性地引导学生运用计算器进行大数目的计算，并通过对计算结果的观察、比较、归纳，发现隐含在算式背后的数学模型与规律。其核心数学思想是“归纳推理”与“函数思想”。学生需经历“计算—观察—猜想—验证—归纳—应用”的完整探究过程，体会从特殊到一般的抽象化思维，为后续学习乘法运算定律、简算以及代数知识奠定坚实的经验基础。（二）学科核心素养渗透1.数学运算：借助计算器进行复杂计算，理解算理，同时通过发现的规律进行简便运算，体会算法多样化。2.逻辑推理：通过对算式结构和结果的横向、纵向比较，发现共同特征和变化趋势，发展合情推理能力。3.数学抽象：将具体的数字算式用语言或符号模型（如“n个1组成的数乘n个1组成的数”）进行概括，初步感知数学模型。4.直观想象：在“奇妙的宝塔”中感受数字排列的对称美，建立数与形的初步联想。二、核心探究模块与规律精析【高频考点】（一）第一模块：奇妙的宝塔——由“1”组成的乘法规律1.算式组呈现：【基础】1×1=11\times1=11×1=111×11=12111\times11=12111×11=×111=12321111\times111=12321111×111=123211111×1111=1111\times1111=1111×1111=.规律精析：【非常重要】【难点】（1）结构特征：两个乘数相同，且每个数位上的数字都是“1”。（2）积的数字排列规律：当两个乘数由n个1组成时（n≤9），它们的积是一个回文数（从左读和从右读完全一样）。积的排列是：从1开始，按自然数顺序依次递增到n，然后再依次递减回到1。即：111…1⏟n个×111…1⏟n个=123…n…321\underbrace{111\ldots1}_{n\{个}}\times\underbrace{111\ldots1}_{n\{个}}=123\ldotsn\ldots3216l66h17c12..313..6l66h17c12....3138.3101335.31351.380.81393.8136.5127.555.68833.7117.18855.8184.566.5.68802.34118.6882.7764.31725hv120H429l61c124.688823561.7C60..732.31299.3754L041V6z"><pathd="M199572214c100.78...428010855..793139153l914c2.745.78.791453.386.7123.715321119966..356.hv120Hc178.311.7311.778.3403201689..7.76.71181s17.3.3181c1.30.759.3101.3106.s145.354.H0V214z"><pathd="Ml66v35l611c.3181.323823257.328.71174517950H300V214hc43.37811511326100.733179.1742..717.31201h17z">111…1​​×n个<pathd="M06l66h17c12..313..3138.3101335.31351.380.81393.8136.5127.555.68833.7117.18855.8184.566.5.68802.34118.6882.7764.31725hv120H429l61c124.688823561.7C60..732.31299.3754L041V6z"><pathd="M199572214c100.78.3195.34428010855..793139153l914c2.745.78.791453.386.7123.715321119966..356.hv120Hc178.311.7311.778.3403201689..7.76.71181s17.3.3181c1.30.759.3101.3106.s145.354.H0V214z"><pathd="Ml66v35l611c.3181.323823257.328.71174517950H300V214hc43.37811511326100.733179.1742..717.31201h17z">111…1​​=123…n…321（3）积的位数规律：积的位数等于2n1。例如，111×111（n=3），积是5位数（2×31=5）。1.规律拓展与局限性说明：【热点】按照此规律，可以推出：11111×11111=12345432111111\times11111=12345432111111×11111=123454321但当n=10时，即：1111111111×11111111111111111111\times11111111111111111111×1111111111此规律被打破。因为数字排列到10时，涉及到进位，积不再是单纯的连续自然数排列，这是十进制计数体系的必然结果。此探究点旨在培养学生严谨的数学思维，理解规律的适用范围。（二）第二模块：神奇的“9”——同数相乘的规律1.算式组呈现：【基础】9×9=819\times9=819×9=8199×99=980199\times99=980199×99=×999=999\times999=999×999=.规律精析：【重要】（1）结构特征：两个乘数相同，且每个数位上的数字都是“9”。（2）积的数字排列规律：积可以拆分为两部分：前半部分是（n1）个“9”，紧接着是一个“8”，后半部分是（n1）个“0”，最后一个数字是“1”。用公式表述为：99…9⏟n个×99…9⏟n个=99…9⏟n−1个800…0⏟n−1个1\underbrace{99\ldots9}_{n\{个}}\times\underbrace{99\ldots9}_{n\{个}}=\underbrace{99\ldots9}_{n1\{个}}8\underbrace{00\ldots0}_{n1\{个}}1n个<pathd="M06l66h17c12..313..3138.3101335.31351.380.81393.8136.5127.555.68833.7117.18855.8184.566.5.68802.34118.6882.7764.31725hv120H429l61c124.688823561.7C60..732.31299.3754L041V6z"><pathd="M199572214c100.78.3195.34428010855..793139153l914c2.745.78.791453.386.7123.715321119966..356.hv120Hc178.311.7311.778.3403201689..7.76.71181s17.3.3181c1.30.759.3101.3106.s145.354.H0V214z"><pathd="Ml66v35l611c.3181.323823257.328.71174517950H300V214hc43.37811511326100.733179.1742..717.31201h17z">99…9​​×n个<pathd="M06l66h17c12..313..3138.3101335.31351.380.81393.8136.5127.555.68833.7117.18855.8184.566.5.68802.34118.6882.7764.31725hv120H429l61c124.688823561.7C60..732.31299.3754L041V6z"><pathd="M199572214c100.78.3195.34428010855..793139153l914c2.745.78.791453.386.7123.715321119966..356.hv120Hc178.311.7311.778.3403201689..7.76.71181s17.3.3181c1.30.759.3101.3106.s145.354.H0V214z"><pathd="Ml66v35l611c.3181.323823257.328.71174517950H300V214hc43.37811511326100.733179.1742..717.31201h17z">99…9​​=n−1个<pathd="M06l66h17c12..313..3138.3101335.31351.380.81393.8136.5127.555.68833.7117.18855.8184.566.5.68802.34118.6882.7764.31725hv120H429l61c124.688823561.7C60..732.31299.3754L041V6z"><pathd="M199572214c100.78.3195.34428010855..793139153l914c2.745.78.791453.386.7123.715321119966..356.hv120Hc178.311.7311.778.3403201689..7.76.71181s17.3.3181c1.30.759.3101.3106.s145.354.H0V214z"><pathd="Ml66v35l611c.3181.323823257.328.71174517950H300V214hc43.37811511326100.733179.1742..717.31201h17z">99…9​​8n−1个<pathd="M06l66h17c12..313..3138.3101335.31351.380.81393.8136.5127.555.68833.7117.18855.8184.566.5.68802.34118.6882.7764.31725hv120H429l61c124.688823561.7C60..732.31299.3754L041V6z"><pathd="M199572214c100.78.3195.34428010855..793139153l914c2.745.78.791453.386.7123.715321119966..356.hv120Hc178.311.7311.778.3403201689..7.76.71181s17.3.3181c1.30.759.3101.3106.s145.354.H0V214z"><pathd="Ml66v35l611c.3181.323823257.328.71174517950H300V214hc43.37811511326100.733179.1742..717.31201h17z">00…0​​1例如：999×999（n=3），积为99（2个9）+8+00（2个0）+1=。1.与乘法运算律的联系：此规律可借助乘法分配律理解。将999看作(10001)，则999×999=(10001)×999=999000999=，揭示了规律背后的代数原理。（三）第三模块：奇怪的——循环数字的奥秘1.算式组呈现：【热点】计算并观察分别乘1、2、3、4、5、6的结果。×1=\times1=×1=142857142857×2=\times2=×2=285714142857×3=\times3=×3=428571142857×4=\times4=×4=571428142857×5=\times5=×5=714285142857×6=\times6=×6=.规律精析：【非常重要】【难点】（1）数字组成不变：所有的积都是由“1、4、2、8、5、7”这六个数字组成的六位数，只是数字的顺序发生了循环移位。（2）循环周期规律：观察积的排列顺序，可以发现它们是按照的排列顺序进行循环往复的。例如，乘2得到，相当于将原数的前两位“14”移到了末尾；乘3得到，相当于将原数最前面的“1”移到了末尾……这是“走马灯数”的典型特征。（3）特殊情形——乘7：【易错点】×7=\times7=×7=当乘数为7时，规律发生质变，不再是六个数字的循环，而是变成了六个“9”，这是一个非常特殊且重要的临界点，常常作为考点出现。（四）第四模块：寻找神秘的数——卡普列加（Kaprekar）常数1.操作规则：【基础】在0~9这十个数字中，任意选出四个不同的数字（允许有重复，但通常选不同数字效果更明显），组成一个最大的四位数和一个最小的四位数。然后用最大的四位数减去最小的四位数，得到一个新的四位数。再对这个新得到的四位数的数字重复上述操作（即重排成最大数和最小数，再相减）。2.规律发现与结论：【重要】【热点】反复进行上述操作，最终都会收敛到一个固定的数：6174。这个数被称为“卡普列加常数”或“6174黑洞”。例如：选1、3、7、8。第一次：=7353第二次：=4176第三次：=6174第四次：=6174（从此陷入6174的循环，不再变化）。3.考查要点：不仅考查学生的计算能力，更考查学生在重复计算中保持耐心、观察数据收敛趋势的能力。需注意，若四个数字完全相同（如7777），则差为0，不进入6174黑洞，这是该规律的边界条件。三、学科思想方法与解题策略【重中之重】（一）“以退为进”的探究策略在面对复杂、庞大的算式时（如求×），不要直接硬算，而是“退”到最简单的同类算式（9×9、99×99）开始研究。通过研究“简单个体”发现规律，再将规律“进”阶应用到“复杂群体”中去。这是解决此类问题的通用策略，也是重要的数学元认知能力。（二）观察的维度与视角在寻找算式规律时，必须建立多维度的观察习惯：1.横向看：比较等号左右两边的关系（因数和积的关系）。2.纵向看：比较不同算式之间，因数是如何变化的（如每次增加一个“1”），积又是如何随之变化的。3.结构看：积的数字组成、数位、对称性、递增递减趋势。（三）不完全归纳法的应用与验证根据前三四个算式的特点，推断出第五六个算式的答案，这个过程就是“不完全归纳法”。需强调的是，归纳出的结论必须通过再计算一个算式（或利用计算器）进行“验证”，以确保规律的正确性。教学中强调“猜想—验证”的科学探究闭环。四、考点、考向与常见题型剖析（一）直接应用规律填空【高频考点】题型示例：已知12×101=1212，13×101=1313，那么14×101=（），根据规律写出24×101=（）。解析：考查学生能否敏锐发现“一个两位数乘101，积是这个两位数连续写两遍”的规律。答案是1414；2424。（二）根据前式，直接写得数题型示例：根据你的发现，直接写出下面各题的得数。1×1=111×11=121111×111=12321那么1111×1111=（）11111×11111=（）解析：直接套用“数字宝塔”规律。答案：；123454321。（三）寻找“黑洞数”的操作题【热点】题型示例：用5、6、8、9四个数字，按规则“重排求差”，写出计算过程，并说明最后得到的固定数是多少。解析：考查操作步骤的完整性和对6174的认知。最大数9876，最小数5679，差4197；最大数9741，最小数1479，差8262；最大数8622，最小数2268，差6354；最大数6543，最小数3456，差3087；最大数8730，最小数3078，差5652；最大数6552，最小数2556，差3996；最大数9963，最小数3699，差6264；最大数6642，最小数2466，差4176；最大数7641，最小数1467，差6174。最终固定到6174。（四）阅读理解与规律创造题型示例：先观察下面各算式，找出规律，再按规律写一个类似的式子。9×91=8098×92=880987×93=8880解析：观察发现，第一个乘数是从9开始依次递减的连续自然数，减数与乘数的位数相同，结果是由若干个8和一个0组成的数。可创作：9876×94=88880。五、思维拓展