动能定理、机械能守恒定律与耗散力的功

动能定理、机械能守恒定律与耗散力的功李学生（济南市长清第一中学山东济南250399）摘要：梁昆淼先生20世纪80年代在四川师范大学曾经指出滑动摩擦力做功与参照系存在不协调之处，文章针对这一表观矛盾，从质点与质点组两个层次重新审视了耗散力的功。滑动摩擦力的功本质上是一对滑动摩擦力的功，与单质点的功不同，原因在于质点组内部微粒之间的作用力参与了能量转换，是一种接触作用。为了解决这个问题，先给出了预备数学知识，首先证明了力的旋度等于0、环路积分为0和作用力F是某\o"位势"位势的\o"梯度"梯度三者是等价的，然后证明了稳定场都是保守力场，最后证明了力的保守型具有伽利略变换的不变性和惯性力都是保守力。dW=F.dS⇔F为保守力⇔F为稳定场⇔。基于稳定场的环路积分判据，论证dW=F·dS仅适用于保守力场，而耗散力的功因涉及微观接触作用下不可逆能量转换，其热量产生Q=f·s相对具有伽利略变换不变性，据此推论热力学中的功、热量、熵在同一物理过程中不同惯性系的测量值相同，热力学定律满足相对性原理。关键词：耗散力；保守力；势能；伽利略变换；功的定义耗散力是指作功与路径有关的力，对系统或物体作负功，而使之总机械能减少的力。耗散力包括滑动摩擦力、滚动摩擦力和阻滞力等，本文以滑动摩擦力为例分析，其它耗散力类似，不再赘述。1.预备知识1.1引理：力的旋度等于0、环路积分为0和作用力F是某\o"位势"位势的\o"梯度"梯度三者是等价的。设定F为在空间任意位置定义（或空间内单连通的区域）的\o"矢量场"矢量场，假若它满足以下三个等价的条件中任意一个条件，则可称此矢量场为\o"保守矢量场"保守矢量场：①F的\o"旋度"旋度是零：；②假设粒子从某闭合路径C的某一位置，经过这闭合路径C，又回到原先位置，则力矢量F所做的机械功W等于零：；③作用力F是某\o"位势"位势的\o"梯度"梯度：。①⇒②：设定C为任意简单闭合路径，即初始位置与终结位置相同、不自交的路径。思考边界为C的任意曲面S。\o"斯托克斯定理"斯托克斯定理表明。假设F的旋度等于零，方程左边为零，则机械功W是零，第二个条件是正确的。②⇒③：假设对于任意简单闭合路径C，F所做的随体功W是零，则保守力所做于粒子的随体功，独立于路径的选择。设定\o"函数"函数，其中x和o分别是特定的初始位置和空间内任意位置。根据\o"微积分基本定理"微积分基本定理，。所以第三个条件是正确的。③⇒①：假设第三个条件是正确的。思考下述方程：所以第一个条件是正确的，因此这三个条件彼此等价。由于符合第二个条件就等于通过保守力的闭合路径要求，所以只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力。如果作用在物体的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关，即不仅力有势，且在相应的势能表达式中不显含时间，该力则为保守力。势能定理为=-fdr，势能是位置的函数，环路积分必等于0。验证一个力是保守力，三个条件只要证明一个即可。环路积分等于0是判定力是保守力的充要条件。定理1：稳定场都是保守力场证明：对于一元实变量函数，只要是连续函数，就是单连通区域，因此环路积分为0。理由——（柯西-古萨积分基本定理）设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则。如果函数在的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理，其中C为邻域内的任意一条简单闭合曲线。下面换一个角度分析，由于在力学和物理学中对于稳定场F=F(r)而言，F=F(r)都是连续函数，因此黎曼可积，假设U(r)=F(r)，质点从A点沿任意路径从A点到B点，再从B点到A点环绕一周，力F对该质点所做的功为=+=U(B)－U(A)+U(A)－U(B)=0，因此稳定场都是保守力场。所有稳定场都是保守力场,这是因为在稳定场中，力不随时间变化，对于任意闭合路径，根据斯托克斯定理=，由于F只与位置有关，其旋度▽×F=0（在满足一定的数学条件下），所以满足保守力的定义=0。文献[1]证明了常力都是保守力，验证了上面的结论，常力是一种特殊的稳定场，所以一个滑块在斜面上自由下滑它受到斜面的支持力也是一个保守力。赵凯华编著的《新概念物理教程:力学》给出了保守力的一些充分条件:(1)对于一维运动,位置x单值函数的力是保守力,例如服从胡克定律的弹性力;(2)对于一维以上的运动,大小和方向都与位置无关的力是保守力,例如重力;(3)凡是有心力都是保守力.由于单摆中摆线拉力是有心力，所以是保守力。1.2显含时间力场定义：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场。例如磁场中的洛伦兹力（v×B）显含速度，而速度也是时间的函数——一个时刻只有速度，因此也是显含时间的力场，不稳定场。等时积分是一个数学概念，当力场F（r，t）是时间和空间的多元函数时，在指定时刻t和指定路线L，对力F的空间积分叫做等时积分.只有显含时间的力场（四维空间里的力场）中的等时积分才不等于0，对于重力场、引力场、弹力场等稳定场（三维空间里的力场）的等时积分都等于0，因为在稳定场（三维空间里的力场）中质点在任意时刻的位移是唯一的。对于耗散力，例如滑动摩擦力在每一个位置力场的方向不确定，因此也是不稳定场，是非保守力。从对称性角度看，保守力具有时间反演的不变性，非保守力不具有时间反演的不变性，能量守恒定律的普遍性在于它与时间的均匀性相关联。1.3力的保守性具有伽利略变换的不变性定理2：在两个相对匀速运动的惯性系o、O1中，如果o系中力f是保守力，那么在O1系中该力Ff也是保守力。证明：设0时刻惯性系o、O1完全重合，且O1系相对于o系以正常数u的匀速开始运动。设t时刻，质量为m的质点在惯性系o的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r，v，a，f，w，在O1系中分别为：R，V，A，F，W，则据微分运算有Rrut，Vvu，Aa0a，FmAmaf；(1)dRVdtvdtudtdrudt。(2)dWFdRf(drudt)fdrumadtdwmudvdwmd(uv)，（3）d(uv)，Wwmuvmuv0。（4）由dvadt和drvdt知，Wwmuvmuv0w1(t)muq(t)muv0j(t)，(5)由于Rrut=r(t)ut=φ(t)(6)是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此Rφ(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ-1(R)，在区间D上W=j(t)=j1(R)是位置的函数，对时间的偏导数等于0，F是保守力。由于在任意单调区间上成立，所以该结论在任何位置都成立，FmAmaf是O1系中的保守力。另证：F（r）=F1（R-ut），由于R=r+ut=r(t)+ut=φ(t)是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点做匀速直线运动，受到的力是恒力，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ-1(R)，所以F（r）=F1（R-ut）=F1（R-uφ-1(R)=F2（R）(7)仍然是位置的一元函数，对时间的偏导数等于0，不是显含时间的力。有些文献[42]仅仅从F=f（r）=F1（R-ut）出发得出显含时间的力，其实经过数学变换可以消去时间t，力经过伽利略变换后仍然可以表示为位置的函数，此时只能说是隐含时间的一元函数，文献[44]的观点是错误的。1.4惯性力都是保守力证明：假设质点在惯性系的加速度为a1，惯性加速度为a2，此时对于质点dv/dt=a1+a2=a(t)，所以质点的速度是时间t的函数v=f(t)，ds/dt=f(t)，位移也是时间t的函数s=φ(t)，是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此sφ(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ-1(s)，这样a=a(φ-1(s))，惯性力F=ma(φ-1(s))与时间t无关，不是显含时间的力，也不是耗散力，是一个保守力。只有力的大小是位移和时间的二元函数，并且时间t不能被消元的话，才是显含时间的力。1.5动能定理仅仅适用于稳定场由于dWFdR，显含时间的力场无法积分，因此力F必须是稳定场，功的定义式dW=F.dS和动能定理只适用于稳定场，对于稳定场动能定理与机械能呢个守恒定律等价。dW=F.dS⇔F为保守力⇔F为稳定场⇔。机械能守恒定律是动能定理的推论，此时不考虑耗散力的功，机械能守恒定律满足伽利略变换的不变性。因为所以机械能守恒定律是时间均匀性的体现。机械能守恒定律满足相对性原理的要求，机械能守恒定律对于所有参照系都协变。2.从机械能守恒定律的角度理解滑动摩擦力的功——质点角度2.1滑动摩擦力做功与动能定理首先分析这样一个实例：对于相互摩擦的两个物体来说，质点的动能定理成立，但是机械能守恒定律不成立了，否则会造成佯谬，例如一滑块在外力的作用下，沿水平移动了S。设外力F等于滑块摩擦力f，则滑块做匀速直线运动，根据动能定理F.S-f.S=0，如果把滑块看做质点，滑块的动能不变，质点动能定理成立。另一方面，由于摩擦力生热，滑块温度升高，内能增加。既然作用于滑块的外力做功与摩擦力做功相互抵消，那么滑块增加的内能从何而来?显然滑块增加的内能来自于摩擦力的功，滑块的机械能不守恒。分析：如果把滑块看做质点（质点没有内能），此时滑动摩擦力是显含时间的力，滑块的机械能不守恒，不能利用动能定理。如果仅仅考虑这一时间段：“一滑块在外力的作用下，沿水平移动了S”，也可以等效认为是保守力（在这段时间内是恒力，等效认为是保守力，不考虑内能，这是一种数学处理手段），此时不考虑内能，动能定理成立。在文献[2]例1中的严格讲两个小滑块不能视为质点，如果近似计算的话，可以把上面质量较小的滑块按照质点看待，下面的大滑块就不能视为质点、刚体了，必须考虑其内部粒子的运动问题。但是当相互摩擦的两个物体质量相差巨大时，如果研究对象仅仅是质量较小的物体的物体的话，较小的物体也可以视为质点，此时产生的热量必须看做被质量较大的物体（质量看做充分大）完全吸收，换句话说按照外场来处理，例如汽车在平直公路上行驶，汽车也可以视为质点，滑动摩擦力看做显含时间的外力，忽略滑动摩擦力对于汽车内能的影响，也可以利用质点动能定理，这只是一种简单化的处理方式。2.2滑动摩擦力做功与相对性原理梁昆淼先生20世纪80年代在四川师范大学曾经指出滑动摩擦力做功与参照系存在不协调之处[19]。本文分析另外一个实例——一个物体在两堵粗糙的墙之间匀速u下滑，滑动摩擦力恰好等于重力，在地面系看来机械能不守恒，但是如果从一个相对于地面匀速u降落的电梯系看来，滑动摩擦力不做功，重力也不做功，机械能守恒。有人认为滑动摩擦力做功必须是相互摩擦的两个物体之间的相对位移，因此在地面系和电梯系机械能都是不守恒的，这个问题可以参考文献[3—4]。笔者认为如果把研究对象视为质点，滑动摩擦力应该视为显含时间的力场，因此对于两个观察者而言滑块的机械能都不守恒，相对性原理成立。3.从能量守恒定律角度认识滑动摩擦力的功——质点组角度互相滑动摩擦的两个物体，它们的大小和形状以及内部结构和变化都不能略去不计，因此它们都不能当做质点．如果考虑到耗散力不是质量力和体积力，耗散力的功严格讲是对质点组的做功问题，与对单质点的功有区别，必须考虑它们之间的相互作用，通常说的滑动摩擦力的功是一个整体效应，也不能认为是刚体。文献[5—20]对于滑动摩擦力做功进行了详尽的分析，本文不再论述。对于转化变换而言，功转变成热是自然方向；热转变成功是非自然方向。“熵增加原理”——自然界里的一切自发过程，总是沿着熵不减小的方向进行的。熵增加原理表明，自然过程中的不平衡态可以自动的趋向平衡态，而平衡态却不能自动的转化为非平衡态，也就是说，不同运动形式的转化在一个方向上存在着限制。例如机械能可以完全转化为热，而热却不可能自动的完全转化为机械能。笔者认为，耗散力只所以无法定义势能，是熵增原理的要求。对于滚动摩擦力、非弹性碰撞中的弹力和流体的阻力等耗散力分析与滑动摩擦力类似不再说明，静摩擦力是保守力[21]，与一般的保守力相同。滑动摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关，如果考虑摩擦力做功的过程中与产生热能关系时，一个物体在另一个物体上相对滑动,摩擦产生的热量“Q=f·s相对”。此时是一对滑动摩擦力的功，与单质点的功不同，耗散力的功对不同参照系测量值相同，原因在于质点组内部微粒之间的作用力参与了能量转换，没有定义势能，是一种接触作用。dW=F.dS适用于对于单质点或者刚体做功，此时做功与路径无关，可以定义势能，动能与势能之和---机械能守恒，对于不同的参照系机械能之差是一个定值；dW=F.dS对于耗散力不成立，因为耗散力的功与做功的路径有关。【特点】①只有滑动摩擦力才能产生内能,静摩擦力不会产生内能；②摩擦产生的内能等于滑动摩擦力与相对路程的乘积；③两物体速度相同时，发热产生的内能最大。mMv0图1例1如图1所示，在光滑水平面上放一质量为M的长木板，质量为m的小物体从木板左侧以初速度vmMv0图1⑵系统发热产生的内能〖解析〗⑴物体滑上木板后受摩擦阻力作用做减速运动，而木板受摩擦动力作用做加速运动，当两者速度相同时，无相对运动，滑动摩擦力消失，以后系统以共同的速度匀速运动根据动量定理：mv0=（m+M）v解得：mMv0图2mMv0图2mvS2S1S相根据动能定理：对m：对M：解得：=可见：系统机械能的减少量全部转变成了内能。点评：一个物体在另一个物体表面上相对运动时，发热产生的内能等于滑动摩擦力与两物体相对位移的积。系统发热损失的能量Q=μmgS相对=E初-E末(E初和E末分别为系统始末状态的机械能)，所以耗散力的功对于不同参照系测量值相同。4.低速下热力学规律满足相对性原理耗散力的功是一个过程量，滑动摩擦力对物体做功与路径有关。如果考虑运动过程中产生的内能，那么耗散力的功是伽利略变换的不变量，由此可以验证能量守恒定律的一个推论：对于同一个物理系统，不同观察者（包括惯性系和非惯性系）测量的能量之差（对于保守力能量指的是机械能，不能单指动能或者势能）是一个定值，进一步我们可以得出热力学中功、热量、熵等物理量在不同惯性系的测量值相同，热力学定律对于所有惯性系都成立——满足相对性原理，但是不能利用伽利略变换表示，因为矢量力学不适用于热力学。现代物理学认为不同惯性系中热量、功并非不变量，例如Einstein在1907年及Ott在1963年关于相对论热力学的讨论都是在狭义相对论框架下接近光速情况下，他们的结论在低速下也是不变量。相对论热力学是一门尚未成熟的学科，从1963年奥托发表“热量与温度的洛仑兹变换”一文至今，相对论热力学关于热量变换的争论，形成了四大主要学派：普朗克一爱因斯坦学派T=γ-1T0、奥托一缪勒学派T=γ-1T0、Landsberg的理论T=T0以及Newburgh的T没有确定变换的理论，其中γ=（1-v2/c2)-0.5。熵S=klnΩ是否洛伦兹变换不变量也有争议。代表人体积压强温度熵爱因斯坦、普朗克V=γ-1V0P=P0T=γ-1T0不变李复龄、SutcliffeV=γ-1V0P=γ2P0T=γT0不变OttV=γ-1V0P=P0T=γT0变LandsbergV=γ-1V0P=P0T=T0变Newburgh没有确定变换关系变在低速状态下γ=1，本文与上述观点不存在矛盾。5.结语dW=F.dS不适用于耗散力，由于功的定义式dW=F.dS是对于保守力（稳定场）定义的，因此动能定理仅仅对于保守力（稳定场）成立，利用动能定理时如果存在耗散力，其实是在该时间段按照保守力处理，保守力的功不是伽利略变换的不变量，此时不考虑产生的内能。机械能守恒定律是动能定理的推论，此时不考虑耗散力的功，机械能守恒定律满足伽利略变换的不变性。[22-36]动能定理和机械能守恒定律仅仅适用于保守力——稳定场。dW=F.dS不适用于耗散力，由于功的定义式dW=F.dS是对于保守力（稳定场）定义的，因此动能定理仅仅对于保守力（稳定场）成立，利用动能定理时如果存在耗散力，其实是在该时间段按照保守力处理，功不是伽利略变换的不变量，此时不考虑产生的内能。参考文献[1]陈立群.常力势能及其在理论力学解题中的应用.大学物理，第44卷第12期，2025年12月：67—68，107.[2]徐行.关于功的定义.内蒙古大学学报（自然科学版）增刊，1980：6—9.[3]龚劲涛.关于摩擦力几个问题的商榷.绵阳师范学院学报，第26卷第11期，2007（11），147—149，154.[4]龚劲涛.对《滑动摩擦力做功问题再探》一文的质疑[J].物理教师，2007年第2期:27.[5]崔砚生.在能量转化问题中对滑动摩擦力做功的分析.工科物理（现：物理与工程），1992年第2期：14—18.[6]沈瑞清.再论滑动摩擦力做功的问题.物理教师，第26卷第9期，2005年9月：38—40.[7]陈敏华.一个滑动摩擦力做功的佯谬.物理教师，2004.8.[8]张之翔.不能用刚体模型处理滑动摩擦力做功问题.物理教师，2002.9.[9]扬子江.功与能的关系，物理教师，2002.12.[10]张之翔.传统处理中的两个问题.物理教师，2003.7:27.[11]张之翔.我们关于滑动摩擦力做功的观点摘要.物理教师，第27卷第2期，2006（2）：:32—34.[12]郑国安.滑动摩擦力做功问题再探.物理教师，2005.2.[13]张之翔.摩擦力做功与功能原理.大学物理，1983（2）:7.[14]张之翔.只滚不滑时摩擦力的做功问题.大学物理，1989（4）:14.[15]张之翔.对滑动摩擦力做功问题的分析.物理通报，2002（8）：14—17.[16]张之翔.不是动能定理而是赝功能原理.物理通报，2002（10）：19.[17]郑金.对刚体滚动过程中摩擦力做功问题的探讨.物理教师，2022,43（12）：56—57.[18]曾浩生，何思芳．再谈功的概念［Ｊ］．物理通报，２０２１，４０（９）：８９—９１．[19]梁昆淼．关于摩擦力的功的佯谬［Ｊ］．大学物理，１９８３，２（８）：１８—２０．[20]温诗铸，黄平．摩擦学原理［Ｍ］．２版．北京：清华大学出版社，２００２：２６５—２６８．[21]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113—114.[22]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷[J]．物理通报，2014(9)：119—120．[23]李学生.对一道困扰中国力学教学界60多年习题的思考[C].2026年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会,2026.LIXS.ThoughtsonanexerciseproblemthathastroubledChinamechanicsteachingcirclesmorethan60years[C].2026NationalSymposiumonBasicPhysicsCoursesinHigherEducation,2026.物理与工程（2026年增刊）：28-32.[24]李学生.正确理解功的定义.中国高新科技，2020年11月（下），2020年第22期，总第82期：145—147.[25]李学生.匀速圆周运动中的机械能守恒问题.论证与研究，2020年第8期：9.[26]李学生.动量守恒定律与角动量守恒定律的协变性疑难.国际教育学，2025年第7卷第7期：30－38.[27]李学生.内势能与外势能关系探微.现代物理学报，2026年第9卷第3期：1-16.[28]李学生.理想流体伯努利方程的协变性初探.科学发展研究，2025年第5卷第6期:83-92.[29]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237—238.[30]李学生.一个物理教师提出的理论物理问题[J].现代物理学报,2025,8(12):1-36.[31]刘明成.对一道困扰中国力学教学40多年习题的思考.2025年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会论文集.清华大学出版社，2025年7月：20—27.[32]刘文芳，刘明成.关于功能原理之来源之探索.吉林师范大学学报（自然科学版），2007（2）：119—120.[33]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123—124．[34]赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(3)：96—98．[35]张翠.斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115—117.[36]刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109—111．KineticEnergyTheorem,LawofConservationofMechanicalEnergyandWorkofDissipativeForcesLiXuesheng(JinanChangqingNo.1MiddleSchool,Jinan,Shandong250399,China)Abstract：Inthe1980s,Mr.LiangKunmiaopointedoutatSichuanNormalUniversitythattheworkdonebyslidingfrictionappearsinconsistentunderdifferentreferenceframes.Targetingthisapparentparadox,thispaperre-examinestheworkofdissipativeforcesatthelevelsofasingleparticleandasystemofparticles.Theworkofslidingfrictionisessentiallythetotalworkofapairofmutualslidingfrictionalforces,whichdiffersfromtheworkofaforceactingonasingleparticle.Theunderlyingcauseliesintheenergyconversioninvolvinginteractionsbetweenmicroscopicparticlesinsidetheparticlesystem,whichconstitutesacontactinteraction.Toresolvethisissue,preliminarymathematicalknowledgeisfirstpresented.Wefirstprovetheequivalenceofthreestatements:thecurlofaforceequalszero,thelineintegraloftheforce