2026高二数学暑假提升讲义（沪教）预习专题09 球(解析版)

预习专题09球

1.了解并掌握球的体积和表面积公式．

2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)

3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点)

知识点1球的定义

名称定义图形表示相关概念

球心：半圆的圆心

半圆以它的直径所在直线为旋

半径：连接球心和球面上任意一

转轴，旋转一周形成的曲面叫做球

球点的线段

面，球面所围成的旋转体叫做球体，

直径：连接球面上两点并经过球

如图可记作：球

简称球O心的线段；

给出下列命题，其中真命题的个数是（）

球面上四个不同的点一定不在同一平面上；

①球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面；

②一个平面截球，截面是一个圆．

③A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】C

【分析】根据球的概念逐一判断即可.

【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，

故①错误；

对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确；

对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确.

故选：C

如图，将圆心为O的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做，

记作．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做．点O到球面上任意一点的距离都，

点O叫做，原半圆的半径和直径分别叫做球的和．

【答案】球球O球面相等球心半径直径

知识点2球的对称性

球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都

是球的直径；

所有经过的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球

的．

【答案】球心直径

【分析】根据球的性质即可得答案.

【详解】解：因为球是半圆绕直径旋转一周所成的几何体，

所以只要经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面的交点之间的线段都是球的直径.

故答案为：球心；直径.

知识点3平面截球

球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球

的小圆．

过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（）

A．1；B．2；C．3；D．2．

2223

【答案】C

【分析】根据球的截面圆半径r、球半径R、球心与截面圆距离d满足的关系式R2=r2+d2即可求解.

【详解】设球的半径为R，过球O半径OP中点O1且垂直于半径OP的球O的截面圆O1半径为r，

12

O=2æRö3

则由题球心与截面圆距离为OO1R，故截面圆O1的半径为r=R-ç÷=R，

2è2ø2

3

所以截面圆O1的半径是球O半径的.

2

故选：C.

球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为

【答案】49pcm2

【分析】根据勾股定理可以求出截面的半径，进而求出截面的面积.

【详解】假设截面半径为r，球半径为R=25，球心到截面的距离为d=24

所以r=R2-d2=252-242=7

所以截面面积为π´72=49π

故答案为：49pcm2.

知识点4地球的经纬度

用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过

球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０

度经线；

我国首都靠近北纬40°纬线，求北纬40°纬线的长度等于多少km（地球半径大约为?6370km）

（答案精确到个位）

【答案】30660

【分析】利用球截面的大圆计算出半径，再求解纬线长度即可.

【详解】

如图，A是北纬40°上一点，由题意得OK^AK，OB//AK，

所以ÐAOB=ÐOAK=40°，故AK=OA´cosÐOAK=OA×cos40°，

设l是北纬40°的纬线长，l=2π×AK=2π×OA×cos40°»30660km．

知识点5球的体积公式

4

设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.

3

表面积为12π的球的体积是.

【答案】43π

【分析】设球的半径为RR>0，根据表面积求出R，再由球的体积公式计算可得.

【详解】设球的半径为RR>0，则4πR2=12π，解得R=3，

4πR34π3

所以球的体积V==´3=43π.

33

故答案为：43π

如图，已知平面a截球O所得截面圆的半径为3，该球面的点到平面a的最大距离为3，

则球O的体积为()

4p8p16p32p

A．B．C．D．

3333

【分析】根据条件求出球O的半径即可．

【解答】解：依题意得：截面圆半径r=3，设球O的半径为R，则球心O到截面圆的距离d=3-R．

如图，由勾股定理得：R2=(3-R)2+(3)2，解得R=2，

4pR332p

所以球O的体积为=．

33

故选：D．

【点评】本题考查球体的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

知识点6球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；

4

若一个球的体积是p，则这个球的表面积是.

3

43

【分析】根据球的体积V=pR得到R，再根据S=4pR2，计算表面积．

3

444

【解答】解：由球的体积V=pR3，可得pR3=p，

333

所以R3=1，解得R=1，

所以S=4pR2=4p´12=4p．

故答案为：4p．

【点评】本题考查球的表面积和体积公式，属基础题．

若球的半径为1，则其表面积为.

【答案】4π

【分析】利用球体表面积公式求已知球的表面积.

【详解】由球体表面积为4πr2=4π´12=4π.

故答案为：4π

棱长为a的正方体内切球体积为，外接球体积为．

π33π

【答案】aa3

62

1

【分析】由正方体的性质可知正方体内切球的半径为a，正方体的体对角线长等于外接球的直径，从而可

2

求出外接球的半径，进而可求出球的体积.

【详解】设棱长为a的正方体内切球的半径为r，外接球的半径为R，则

1223

r=a，(2R)=3a，得R=a，

22

441π

所以棱长为a的正方体内切球体积为πr3=π´a3=a3，

3386

3

44æ3ö4333π

333.

外接球的体积为πr=π´ça÷=π´a=a

33è2ø382

π33π

故答案为：a，a3

62

题型一、球的结构特征辨析

例1下列几何体是旋转体的是（）

A．五棱柱B．六棱锥C．八棱台D．球

【答案】D

【分析】根据旋转体、多面体的定义，判断即可．

【详解】根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转

体；

一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多

面体．

故选：D

变式1-1以下说法正确的是（）

A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球；

B．球的大圆的半径等于球的半径；

C．球面和球是同一个概念；

D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.

【答案】B

【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D

【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，

所以A错误，

对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确，

对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，

而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误，

对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误，

故选：B

变式1-2A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是个．

【答案】1或无数

【分析】合理对两点分类讨论，并结合球的性质求解即可.

【详解】当两点与球心不共线时，可作1个大圆，

当两点与球心共线时，可作无数个大圆.

故答案为：1或无数.

题型二、球的截面的性质及计算

例2已知球O的半径为5，球心到平面a的距离为4，则球O被平面a截得的截面面积为．

【答案】9π

【分析】利用勾股定理可求得截面的半径，即可求解

【详解】

设截面圆的半径为r，球O的半径为R，球心到平面a的距离为d，

则r2+d2=R2，

即r2+16=25

可得r=3，

所以截面面积为πr2=9π，

故答案为：9π.

变式3-1若球的半径为5，平面a与球心的距离为3，则平面a截球所得的圆面面积为．

【答案】16π

【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可.

【详解】设所截圆面的半径为r，

由题意可知，52=32+r2，解得r=4，

所以截面圆的面积为S=πr2=16π，

故答案为：16π.

变式3-2若球O的半径为5，圆M为该球的一个小圆且面积为16π，则线段OM的长度是.

【答案】3

【分析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案.

【详解】设小圆的半径为r，则πr2=16π，解得r=4，

又球O的半径为5，故线段OM=52-42=3.

故答案为：3

题型三、求球面距离

例3球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点

的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体ABCD的外接球直径为

CD，且CD=2，AB=3，则A、B两点在外接球上的球面距离为（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】C

【分析】设球O，再求出A、B所在球大圆所对应的圆心角，进而利用弧长公式即可求出A、B两点之间的

球面距离.

CD

【详解】球的半径为=1，设球心为O，OA=OB=1，

2

12π

所以在△OAB中，由于AO=1,OB=1,AB=3，cosÐAOB=-，所以ÐAOB=，

23

2π2π

所以A、B两点之间的球面距离为1´=

33

故选：C

变式4-1如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB

与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为．

π

【答案】

3

【分析】先求出EF的长度，再求出大圆中EF对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离.

【详解】

如图，在平面AOB内过点E作EN^OB，在平面AOC内过F作FM^OC，垂足分别为M,N，连接MN，

p2

在扇形AOB中，E为大圆弧AB的中点，则ÐEOB=，且EN=ON=，

42

2

同理可得FM=OM=，

2

2

在VOMN中，MN=´2=1，

2

在平面∴AOC中，由AO^OC，FM^OC，则FM//OA，

同理可证EN//OA，故EN//FM，即四边形ENMF为平行四边形，

p

EF=MN=1，故VOEF为等边三角形，故ÐEOF=，

3

∴pp

点E,F在该球面上的球面距离为´1=.

33

∴p

故答案：

3

1

变式4-2设地球半径为R，北纬30°圈上两地A,B的经度差为q0°<q<90°，若cosq=，则A,B两地的球

3

面距离为．

pR

【答案】

3

【分析】由已知及余弦定理计算|AB|=R，可确定球心角，再由球面距离定义即得答案．

【详解】由题意知及余弦定理得

222

æöæöæö

233312，，

|AB|=çR÷+çR÷-2çR÷×=RAB=R

è2øè2øè2ø3

π

则球心角为，

3

pR

\A,B两地的球面距离为

3

pR

故答案为：.

3

变式4-3已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、

北纬39°．若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为小时．（飞机飞

行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）

【答案】1.2

【分析】设上海、大连分别为点A,B，先求出AB，再计算时间即可.

【详解】

由题意知：上海与大连在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上，设地球球心为O，上海、大连分

别为点A,B，

8o

则ÐAOB=39o-31o=8o，地球半径约为6371千米，则AB=6371´p´»889.56千米，889.56¸720»1.2

180o

小时，

故从上海到大连的最短飞行时间约为1.2小时.

故答案为：1.2.

变式4-4上海地处东经120o52¢至122o12¢，北纬30o40¢至31o53¢之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区

域纬线所在两平面的距离为千米.（结果保留到1千米）

【答案】135

【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长

公式求解即可.

73

【详解】上海在北纬30°40¢至31°53¢之间，则纬度差为31°53¢-30°40¢=1°13¢=度，

60

上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为1°13¢所对应的弧长，

73π

于是´´6371»135km，

60180

所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为135km.

故答案为：135

变式4-5在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为BB1中点.

(1)求DE与平面AD1E所成角的大小；

(2)求A，C两点在长方体ABCD-A1B1C1D1所在外接球上的球面距离.

214

【答案】(1)arcsin

21

æ1ö3

(2)çp-arccos÷×

è9ø2

【分析】（）利用等体积法V=V求得点到平面的距离，然后计算即可

1D-AD1EE-AD1D,DAD1E.

（2）先计算该长方体的外接球的半径，然后使用余弦定理得到cosÐAOC，并得到ÐAOC，根据弧长公式

计算即可.

1

【详解】（1）S△=´1´2=1，点E到平面ADD1的距离为2

ADD12

2222

AE=DB=AD1=1+2=5,D1E=DE=DB+BE=6

2

所以△为等腰三角形，点到DE的距离为2æD1Eö14

AD1EA1AE-ç÷=

è2ø2

11421

所以S△=´DE´=，设点D到平面AD1E的距离为h

AD1E2122

由V=V，所以11421

D-AD1EE-AD1D´S△´h=´S△´2Þh=

3AD1E3ADD121

又设DE与平面AD1E所成角为q，

h214214

所以sinq==,所以q=arcsin

DE2121

（2）该长方体的外接球的球心为正方体的中心O,

1+22+223

外接球的半径为R==

22

R2+R2-AC21

AC=1+22=5，所以cosÐAOC==-

2R×R9

1

所以ÐAOC=p-arccos

9

æ1ö3

所以所求结果为çp-arccos÷×

è9ø2

题型四、直线与球、平面与球的位置关系

例4已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若AB=AC=1，则BC的最大值为（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】C

【分析】设球心为O，连接OA,OB,OC，则可得△AOC和VAOB均为等边三角形，所以ÐBAC£120°，再

在VABC中利用余弦定理可求出BC.

【详解】设球心为O，连接OA,OB,OC，由OA=OB=OC=AB=AC=1，

所以△AOC和VAOB均为等边三角形，

所以ÐCAO=ÐBAO=60°，

所以ÐBAC£ÐOAC+ÐOAB=120°，当且仅当O,A,B,C共面时取等号，如图所示，

此时BC取得最大值，

在VABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC×ABcosÐBAC

æ1ö

=1+1-2´1´1´ç-÷=3，

è2ø

所以BC=3，

所以BC的最大值为3，

故选：C

变式5-1已知圆锥的侧面积是4π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）

A．26B．3C．23D．6

3333

【答案】D

【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.

【详解】

ìπrl=4π

设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意知：í，

îπl=2πr

两式相除解得r=2，l=22；

π22

所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高h=22-2=6，

3

226

设圆锥的内切圆半径为R，6-R=R2+2，解得R=.

3

故选：D.

变式5-2北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的

圆形，运行周期T与轨道半径R之间关系为T2=K×R3（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平

面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为akm，A,B分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道

上的动点，则A,B之间距离的最大值为（）

175

A．akmB．akm

44

3

C．akmD．5akm

2

【答案】B

a

【分析】根据题设条件得到r=，再根据图形，利用AB£a+r，当且仅当三点共线时取等号即可求出结

4

果.

23

æT甲öæaöa

【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为rkm，因为ç÷=ç÷，且T甲=8T乙，所以r=，

èT乙øèrø4

5

设地球的球心为O，则AB£a+r=a，当且仅当A,B与O共线且位于O两侧时取得等号，

4

故选：B．

变式5-3若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为2π，3π，且球心O到平面α的距离为3，则球心O

到平面β的距离为（）

A．22B．2C．23D．4

【答案】A

【分析】设平面a，b截球O所得截面圆的半径分别为r1，r2，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理

列式求解即可.

a2222

【详解】设平面，b截球O所得截面圆的半径分别为r1，r2，则πr1=2π，πr2=3π，则r1=2，r2=3.

22222

设球O的半径为R，球心O到平面b的距离为d，则r1+3=r2+d=R，所以d=22.

故选：A

变式5-4半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（）

3

A．2B．2+1C．+1D．3+1

2

【答案】D

【分析】根据球与相切面的几何特点即可得到最远距离.

【详解】设球心到墙角的距离为d，球心半径为R，则R=1，

则距离d为棱长为1的正方体的对角线长，即d=12+12+12=3，

则墙角顶点到球面上的点的最远距离等于d+R=3+1.

故选：D.

题型五、球的体积的有关计算

例5某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为86π，则圆柱的表面

积为．

【答案】36π

【分析】根据球的体积公式可得r=6，即可根据圆柱的体积公式求解.

【详解】可设球的半径为r，则根据题意可知圆柱的底面半径也为r，

圆柱的高等于球的直径，即为2r，由球的体积为86π，

4

利用球的体积公式可得：πr3=86π，解得：r=6，

3

再由圆柱的表面积公式得：

S=πr2´2+2πr×2r=6πr2=6π´6=36π．

故答案为：36π.

变式6-1若一个球的半径为3，则其体积为.

【答案】36π

【分析】根据球的体积公式计算即可.

【详解】因为球的半径为r=3，

44

所以球的体积为πr3=π×33=36π.

33

故答案为：36π

变式6-2已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是．

4p4

【答案】/p

33

【分析】求出正方体的棱长，再利用球的体积公式求出体积.

【详解】设正方体的棱长为a，由正方体的表面积为24，得6a2=24，解得a=2，

1

因此与正方体的各个面均相切的球半径R=a=1，

2

4π4π

所以该球的体积是V=R3=.

33

4π

故答案为：

3

变式6-3已知矩形ABCD中，AB=3，BC=1，现将VACD沿对角线AC向上翻折，得到三棱锥D1-ABC，

则三棱锥D1-ABC的外接球的体积为.

44p

【答案】p/

33

【详解】设O为AC为中点，连接OD1,OB，由于AB=3，BC=1，故AC=2,

1

则由ÐADC,ÐABC为直角可得DO=BO=AO=CO=AC=1，

112

故外接球半径为1，

44

故三棱锥D-ABC的外接球的体积为π´13=π，

133

4

故答案为：π

3

,

变式6-4如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注

水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度.

(1)求球的体积；

(2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个

圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积.

500

【答案】(1)π

3

1

(2)2pR×R-h-pR3-h3.

3

【分析】（1）设球的半径为R，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离

2

为R-2和过正方体上底面截球所得截面圆的半径r=4，再根据R2=R-2+r2即可求解.

（2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体

积.

【详解】（1）设球的半径为R，

则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为R-2，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为r=4，

22

所以R2=R-2+r2即R2=R-2+42，ÞR=5，

44500

所以球的体积为πR3=π´53=π.

333

1111

（2）圆柱体的体积为2pR×R-h,小圆锥的体积为´h´ph2=ph3.大圆锥的体积为´R´pR2=pR3.圆台

3333

111

的体积为pR3-ph3=pR3-h3.

333

1

则劣球缺的体积为2pR×R-h-pR3-h3.

3

题型六、球的表面积的有关计算

例6在三棱锥A-BCD中，AB^平面BCD，BC^CD，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且

AB=BC=CD=1，则球O的表面积为.

【答案】3π

【分析】由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥A-BCD补成正方体，正方

体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解.

【详解】

由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，

将三棱锥A-BCD补成正方体，棱长为1，

则该正方体的外接球的直径为12+12+12=3，

3

即三棱锥A-BCD的外接球的直径为3，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为，

2

2

æö

则球的表面积为3

O4πç÷=3π.

è2ø

故答案为：3π.

变式7-1已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB^平面BCD，BC^CD，且

AB=CD=3，BC=2，则球O的表面积为.

【答案】10π

【分析】依题意可通过构造长方体求出外接球的半径，即可得出其表面积.

【详解】根据题意分别以AB,CD,BC为棱长构造长方体如下图所示：

易知三棱锥A-BCD的外接球与长方体的外接球相同，设其半径为R，

2

因此2R=AB2+CD2+BC2=10，

所以球O的表面积为4πR2=10π.

故答案为：10π

变式7-2已知A，B，C是表面积为36π的球O的球面上的三个点，且AC=AB=BC=3，则球心O到平面

ABC的距离为．

【答案】6

【分析】根据题意可得球的半径为R和VABC的外接圆半径，结合球的性质运算求解即可.

【详解】设球的半径为R，

则4πR2=36π，解得R=3，

3

r==3

由题意可知：VABC是边长为3的等边三角形，其外接圆半径π，

2sin

3

所以球心O到平面ABC的距离为d=R2-r2=6.

故答案为：6.

变式7-3将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为．

【答案】400π;

【分析】根据球的体积和表面积公式，即可求解.

445

【详解】设小球的半径为r，则64´πr3=π´53，得r=，

334

所以这些小球的表面积之和为64´4πr2=400π.

故答案为：400π

变式7-4如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面

上）.

(1)若正四棱柱的各棱长均为6（即为正方体），求半球的表面积和体积；

(2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值.

【答案】(1)表面积27π，体积18π；

(2)200(3+1).

【分析】（1）根据给定条件，求出半球半径，再借助球的表面积及体积公式列式计算即得.

（2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，求出a,b的关系，再求出正四棱柱表面积的关系，借助

三角代换求出最大值.

【详解】（1）依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心，

2

而正方体下底面正方形外接圆半径为×6=3，

2

因此半球的半径R=(3)2+(6)2=3，

14

所以半球表面积S=πR2+2πR2=3π×32=27π，体积V=×πR3=18π.

23

（2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，

ïìa=52cosqπ

依题意，(2a)2+b2=102，即2a2+b2=100，令í，0<q<，

îïb=10sinq2

该正四棱柱的表面积S¢=2×(2a)2+4×2ab=8a2+8ab

=8×52cosq2+8×52cosq×10sin()q

1+cos2qsin2q

=400×+4002×=200×2sinq+cos2q+1)2(

22

12

=3sin2q+j)+1](200[，其中锐角j由sinj=,cosj=确定，

33

π

q+j=π16

则当2，即q=-arccos时，Smax¢=200(3+1)，

2423

所以正四棱柱表面积的最大值200(3+1).

题型七、多面体与球体内切外接问题

例7防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个

防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为16cm的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半

球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为cm.（结果取整数）

【答案】19

【分析】结合半球的知识计算出正确答案.

162+162

【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为8+=8+82»19cm.

2

故答案为：19.

变式7-1如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径

r

为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则=.

a