基本不等式(二)-高一上学期数学课时作业人教版A版（含解析）

PAGE基本不等式(二)(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2026·南京高一检测)已知x>0,y>0,xy=4,则x+2y的最小值为()A.4 B.42 C.8 D.822.(5分)若0<a<b,则下列不等式成立的是()A.ab<a<a+b2<b B.ab≤a+C.a<ab<a+b2<b D.a<3.(5分)将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m4.(5分)如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一5.(5分)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米,每平方米收费1元,请估算平整完这块场地所需的最少费用是()A.10000元 B.10480元C.10816元 D.10818元6.(5分)(多选)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是()A.a2+1>a B.(a+1a)(b+1C.(a+b)(1a+1b)≥4 D.a2+9>7.(5分)某公司要生产1000个玩偶,已知该公司每小时生产玩偶数量固定,且每小时的生产成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与生产速度x(个∕时)的平方成正比,比例系数为0.2,固定部分为720元.为使全程生产成本最低,该公司的生产速度是60个∕时.

8.(5分)在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若其中一个三角形“弦”的长度为4,则该矩形周长的最大值为.

9.(5分)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号).

①ab≤1;②a+b≤2;③a2+b2≥2;④1a+1b10.(10分)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b-1)(1c【综合应用练】11.(5分)设M=(n+1n)3,N=n3+1n3+6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为(A.M≥N B.M>NC.M≤N D.不能确定12.(5分)某学校计划新建校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1,该项目由图书陈列区ABCD(阴影部分)和四周休息区组成.图书陈列区ABCD的面积为1000m2,休息区的宽分别为2m和5m(如图所示).当校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1的面积最小时,则图书陈列区BC边的长为()A.20m B.50mC.1010m D.100m13.(5分)(2026·天津高一检测)如图,在半径为4cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为cm2.

14.(10分)已知x>0,y>0,z>0,求证:(yx+zx)(xy+zy)(x15.(10分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系:y=900vv2+5v+1000(

答案解析【基础全面练】1.(5分)(2026·南京高一检测)已知x>0,y>0,xy=4,则x+2y的最小值为()A.4 B.42 C.8 D.82【解析】选B.由于x>0,y>0,x+2y≥22xy=28=42当且仅当x=2yxy=4,即x=22y2.(5分)若0<a<b,则下列不等式成立的是()A.ab<a<a+b2<b B.ab≤a+C.a<ab<a+b2<b D.a<【解析】选C.由已知0<a<b,利用基本不等式得出ab<a+b2,因为0<a<b,则a2<ab<b2,a+b<2b,所以a<ab<b,a+b23.(5分)将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m【解析】选C.设两直角边分别为a,b的直角三角形的框架的周长为l,则12ab=2,所以ab=4l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=4+22≈64.(5分)如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一【解析】选A.因为正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,所以4=a+b≥2ab,即ab≤4,当且仅当a=b=2时,“=”成立;又4=cd≤(c+d2)2,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,“=”成立;综上得ab≤c+d,且等号成立时a,b5.(5分)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米,每平方米收费1元,请估算平整完这块场地所需的最少费用是()A.10000元 B.10480元C.10816元 D.10818元【解析】选C.设矩形场地的长为x米,则宽为10000x米,W=(x+4)(10000x≥24x·40000x+10016=10816,当且仅当4x所以平整这块场地所需的最少费用为1×10816=10816元.6.(5分)(多选)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是()A.a2+1>a B.(a+1a)(b+1C.(a+b)(1a+1b)≥4 D.a2+9>【解析】选ABC.A.根据基本不等式可知当a>0时,a2+1≥2a>a,即a2+1>a,故A正确;B.当a>0,b>0时,a+1a≥2a·1a=2,当且仅当a=1时等号成立,b+1b≥2b·1b=2,当且仅当b=1时等号成立,所以(a+1C.(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2baD.a2+9≥29a2=6a,当且仅当a2=9时等号成立,因为a>0,所以当a=3时等号成立,即a2+9≥6a7.(5分)某公司要生产1000个玩偶,已知该公司每小时生产玩偶数量固定,且每小时的生产成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与生产速度x(个∕时)的平方成正比,比例系数为0.2,固定部分为720元.为使全程生产成本最低,该公司的生产速度是60个∕时.

【解析】生产速度为x(个∕时)(x>0),生产时间为1则全程生产成本y=(0.2x2+720)·1000x=200y≥2200x·720000x=24000,当200综上,当该公司全程生产成本最低时,生产速度为60个/时.8.(5分)在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若其中一个三角形“弦”的长度为4,则该矩形周长的最大值为82.

【解析】设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则a2+b2=42=16,a,b>0,矩形周长为2(a+b),(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2(a2+b2)=32,故a+b≤42,当且仅当a=b=22时等号成立,故周长的最大值为82.9.(5分)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是①③④(写出所有正确命题的编号).

①ab≤1;②a+b≤2;③a2+b2≥2;④1a+1b【解析】对于①:因为a>0,b>0,所以a+b=2≥2ab,所以ab≤1,故①正确;对于②:平方得(a+b)2=a+b+2ab≤2+2=4,所以a+b≤2,故②错误;对于③:因为a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab,由①知ab≤1,所以a2+b2≥4-2=2,故③正确;对于④:1a+1b=a10.(10分)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b-1)(1c【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,代入得(1a-1)(1b-1)(1c-根据基本不等式可知a+b≥2ab,a+c≥2ac,b+c≥2bc,代入得b+ca当且仅当a=b=c=13时,等号成立,原命题得证【综合应用练】11.(5分)设M=(n+1n)3,N=n3+1n3+6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为(A.M≥N B.M>NC.M≤N D.不能确定【解析】选A.M-N=(n+1n)3-n3-1n3-6=n3+1n3+3n+3n-n3-1n3-6=3(n+1n)-6,因为n>0,所以n+1n≥2n·12.(5分)某学校计划新建校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1,该项目由图书陈列区ABCD(阴影部分)和四周休息区组成.图书陈列区ABCD的面积为1000m2,休息区的宽分别为2m和5m(如图所示).当校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1的面积最小时,则图书陈列区BC边的长为()A.20m B.50mC.1010m D.100m【解析】选B.设BC=xm(x>0),则AB=1所以阅读区A1B1C1D1的面积S=(x+10)(1000x+4)=1040+4x+10000x当4x=10000x,即x=50时取等号,当校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1的面积最小时,图书陈列区13.(5分)(2026·天津高一检测)如图,在半径为4cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为16cm2.

【解析】设BC=xcm,则在△OBC中,有OB=16-所以,矩形ABCD的面积S=2x16-因为边BC=x>0,OB=16-x2>所以,由基本不等式得,S=2x16-x2=2x2(16当且仅当16-x2=x2,即x=22时等号成立,所以矩形ABCD面积的最大值为16cm2.14.(10分)已知x>0,y>0,z>0,求证:(yx+zx)(xy+zy)(x【证