高中数学 加练 专题8　第72练　椭　圆

第72练椭圆(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.过点(-3，2)且与椭圆x29+y24=1A.x210+y215=1 B.C.x220+y225=1 D.答案B解析依题意知，椭圆的焦点坐标为(±5，0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2a2-5=1a>5，将点(-3，2)代入，得a2=15(a22.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，若|F1F2|，|PF2|，|PF1|成公差为2A.x225+y216=1 B.C.x281+y29=1 D.答案D解析由题意知，|F1F2|=2c，|PF2|=2c+2，|PF1|=2c+4，又PF2垂直于x轴，所以(2c)2+(2c+2)2=(2c+4)2，解得c=3(负值舍去)，又由椭圆定义可得2a=2c+2+2c+4=18，即a=9，所以b2=a2-c2=81-9=72，所以椭圆C的方程为x281+y3.已知动圆C与圆(x+1)2+y2=1外切，同时与圆(x-1)2+y2=25内切，则动圆C的圆心的轨迹方程为()A.x29+y28=1 B.xC.x225+y224=1 D.x答案A解析设圆(x+1)2+y2=1的圆心为C2且与圆C相切于点P，圆(x-1)2+y2=25的圆心为C1与圆C相切于点Q，由题意得圆C1与圆C2内含，则|C1C|=5-|CQ|，|C2C|=1+|CP|，其中|CQ|=|CP|，所以|C1C|+|C2C|=5-|CQ|+1+|CP|=6>2=|C1C2|，由椭圆定义可知，动圆圆心C的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(则2a=6，c=1，解得a=3，b2=a2-c2=9-1=8，故动圆圆心C的轨迹方程为x29+y4.已知椭圆M：x2a2+y22=1(a>2)，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|=2|BF|，则椭圆A.x23+y22=1 B.C.x25+y22=1 D.答案A解析由于坐标原点O在以AF为直径的圆上，故可设A为上顶点，F为右焦点，F1为左焦点.则|AF|=|AF1|=a，|BF|=12a，|BF1|=32cos∠F1AF=cos∠F1AB，由余弦定理的推论得a2+a则a2=3c2，结合b2=2，a2=b2+c2，解得a=3，c=1.所以椭圆M的方程为x23+y5.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为32，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为A.1 B.2 C.4 D.8答案C解析由题意知ca=3∴3a2=4c2，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，由F1P⊥F2P得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，∵△PF1F2的面积为4，∴12|PF1|·|PF2|=4，即|PF1|·|PF2|=8∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4c2，即4a2-16=3a2，解得a2=16，即a=4.6.设椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1交M于另一点B，△ABF2的内切圆与AB相切于点C，若|BC|=|F1F2|A.34 B.14 C.1答案D解析由题意，如图，设P，D分别是△ABF2的内切圆与BF2，AF2的切点，因为左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，由椭圆的定义得|BF1|+|BF2|=2a，结合对称性、圆的切线性质，令|CF1|=|DF2|=|PF2|=n，且|F1F2|=|BC|=|BP|=2c，所以|BF1|+|BP|+|PF2|=|BC|-|CF1|+|BP|+|PF2|=2a，所以2c-n+2c+n=2a，可得2c=a，故e=ca=1二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点PA.F1，F2的坐标分别为(-2，0)，(2，0)B.椭圆的短轴长为10C.|PF1|的最小值为1D.当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值答案ACD解析椭圆x29+y25=1，其中a2=9，∴c2=a2-b2=4.对于A，c=2，F1，F2的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，故A正确；对于B，椭圆的短轴长为2b=25，故B错误；对于C，a-c≤|PF1|≤a+c，∴|PF1|的最小值为1，故C正确；对于D，当P是椭圆的长轴端点时，∠F1PF2=0；当P不是长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知cos∠F1PF2=P=4=2b2PF=2b2当|PF1|=|PF2|，即P是椭圆的短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大，故D正确.8.椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，则下列说法正确的是(A.过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8B.椭圆C上存在点P，使得PF1·C.椭圆C的离心率为1D.M为椭圆C上一点，Q为圆O：x2+y2=1上一点，则点M，Q间的最大距离为3答案ABD解析对于选项A，由椭圆定义，可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4，因此△ABF1的周长为AF1+BF1+|AB|=A对于选项B，设P(m，n)，则m24+n2=1，且-2≤m≤2.又F1(-3，0)，F2(3，0)，所以PF1=(-3-m，-n)，PF2=(3-m，-n)，因此PF1·PF2=(-3-m)(3-m)+n解得m=±263∈[-2，2]，故对于选项C，因为a2=4，b2=1，所以c2=4-1=3，即c=3，所以离心率e=ca=32，故对于选项D，设M(x1，y1)，则点M到圆x2+y2=1的圆心的距离为|MO|=x12+y12=4-4y12+y12=4-3y12.因为-1≤y1≤1三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A(0，b)，点B在椭圆C上，AF1=2F1B，D，E分别是AF2，BF2的中点，且△答案x24+解析如图，因为AF1=2F1B，所以A，F1，B三点共线，且|AF1|=2|F1因为D，E分别为AF2和BF2的中点，所以4a=|AB|+|AF2|+|BF2|=2(|DE|+|DF2|+|EF2|)=8，所以a=2，设B(x0，y0)，F1(-c，0)，A(0，b)，由AF1=2F可得(-c，-b)=2(x0+c，y0)，解得x0=-3c2，y0=-b2，所以因为点B在椭圆C上，所以9c216+14=1，得c2=43，所以椭圆C的方程为x24+310.已知F1，F2为椭圆C：x2m+y2=1的两个焦点，若C上存在点M满足MF1·MF2答案0，12∪[2，解析当焦点在x轴上时，如图，a2=m，b2=1，m>1，当M为上、下顶点时，∠F1MF2最大，因为存在点M满足MF1·M所以此时π2≤∠F1MF2<π，即π4≤∠F1MO<所以tan∠F1MO=cb≥tanπ4=1，即