高中数学 加练 专题8　第81练　定值问题

第81练定值问题(分值：30分)1.定值问题的解法①常规解法：选定参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行化简、消参、计算，从而得到定值.步骤为一选(选好参数)、二求(化简消参)、三定值(得到定值).②特殊解法：曲线系法、仿射变换法等.2.常见的定值问题①斜率为定值；②斜率之和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离为定值；⑤面积为定值；⑥数量积为定值；⑦系数和为定值.1.(15分)已知动点M(x，y)与定点F(32，0)的距离与它到定直线l：x=322的距离的比是常数(1)求动点M的轨迹；(5分)(2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与直线y=x与y=-x分别交于A，B两点，证明：△AOB的面积是定值.(10分)(1)解根据题意得(x-32则可得(x-32将上式两边平方，得(x-32)2+y2=2x-整理得x2-62x+18+y2=2x2-62x+9，所以x2-y2=9，所以动点M的轨迹为双曲线，对应方程为x29-y(2)证明设点P的坐标为(x0，y0)，当切线的斜率存在时，设曲线在点P处的切线方程为y-y0=k(x-x0)，与双曲线方程联立y消去y，可得x2-[k(x-x0)+y0]2=9，整理得(1-k2)x2+(2k2x0-2ky0)x-k2x02+2ky0x0-y所以1-k2≠0，且Δ=(2k2x0-2ky0)2-4(1-k2)(-k2x02+2ky0x0-y02-9)=4(ky0-x0解得k=x0代入y-y0=k(x-x0)，得y0y-y02=x0x-所以切线方程为x0x-y0y=9，当切线的斜率不存在时，即点P为(3，0)或(-3，0)，切线方程分别为x=3和x=-3也满足上述切线方程，故在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x-y0y=9，与y=x联立得xA=9x与y=-x联立得xB=9x故S△AOB=12|2xA·2xB|=81x02即△AOB的面积是定值.2.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，O为坐标原点，椭圆C：x22+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线D：x2=-2py(p>0)的焦点为F，|FF1|+|FF2|=22，△FF1(1)求椭圆C、抛物线D的标准方程；(5分)(2)过点(0，3)的直线l分别与抛物线D交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与椭圆C交于M(x3，y3)，N(x4，y4)两点，设直线OA，OB，OM，ON的斜率分别是k1，k2，k3，k4.证明：k1+k2+k3+k4为定值.(10分)(1)解根据题意作图，由已知得a=2，又F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且|FF1|+|FF2|=22，则|FF1|+|FF2|=2a，所以点F0，-p2在椭圆C上，所以又S△FF1F2=12且c2=2-b2，解得b=c=1，所以p=2b=2.所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1，抛物线D的标准方程为x2=-4(2)证明根据题意作图，当直线l的斜率不存在，即x=0时，直线l与抛物线D只有一个交点，不符合题意.设直线l的方程为y=kx+m，联立y消去y得x2+4kx+4m=0，所以x1+x2=-4k，x1x2=4m，且Δ1=16k2-16m>0，联立y消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，所以x3+x4=-4km1+2k2，x3x且Δ2=8(2k2-m2+1)>0.故k1+k2+k3+k4=kOA+kOB+kOM+kON=y1x1+y2=-x124x1=-x1+x24+=-x1+x2