高中数学 加练 专题8　第84练　齐次化

第84练齐次化(分值：30分)齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式(即各项次数相等)来简化计算和提高求解效率.在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系.通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易求解斜率之和或斜率之积等问题.1.(15分)已知椭圆C：x24+y23=1过点A1，32，设(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；(7分)(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.(8分)证明(1)当直线EF的斜率存在时，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线EF的方程为y=kx+m，即y-32=k(x-1)+k+m-3从而y-3又椭圆过点1，32，可得[(整理可得3(x-1)2+4y-322+6所以3(x-1)2+4y-322+6(则4k+m+32·y-32x-12+6(1-2显然这是一个关于y-32由韦达定理得y1-32x1所以-3(1-2k)=4k+4m+6，故m=2k则y=kx+m=kx+2k-94=kx所以直线EF过定点-1当直线EF的斜率不存在时，设E(x0，y0)，则F(x0，-y0)，则kAE+kAF=y0-32x0解得x0=-12，直线EF的方程为x=-1综上，直线EF恒过定点-1(2)由(1)知当直线EF的斜率存在时，由韦达定理得y1-32x1所以m=-11k+3325，则y=kx+m=kx-11k所以直线EF过定点115当直线EF的斜率不存在时，由(1)知kAE·kAF=y0-32整理得y02=94-2(x0-1)2又点E在椭圆C上，所以x024+y0由①②解得x0=115(x0=1舍去)所以直线EF的方程为x=115综上，直线EF恒过定点1152.(15分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点(1)求C的方程；(5分)(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.(10分)(1)解由题意可得c解得a2=6，b2=c2=3，故椭圆C的方程为x26+y(2)证明方法一设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0，Δ=8(6k2-m2+3)>0，可得x1+x2=-4km1+2k2，x1x因为AM⊥AN，所以AM·AN=0，即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0，根据y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入整理可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0，所以(k2+1)2m2-61+2k2+(km-k-2)-4km1+2k2+(m-1)2+4=0，整理化简得(2k+3因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k+m-1≠0，故2k+3m+1=0，k≠1，于是直线MN的方程为y=kx-23-13(k≠1)，所以直线MN当直线MN的斜率不存在时，可得N(x1，-y1)，由AM·AN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0，得(x1-2)2+1-y12=0，结合x12可得3x12-8x1解得x1=23或x1=2(舍去)此时直线MN过点P23又AD⊥MN，所以AD⊥DP，则D点的轨迹是以AP为直径的圆.由于A，P均为定点，则|AP|为定值，则Q点为AP的中点，此时|DQ|为定值.所以Q43，13，|DQ|=12方法二将原坐标系平移，原来的坐标原点O平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为(x+2)26+(y+1)23=1，化简得x2+4设直线MN的方程为mx+ny=4， ②联立①②，即x2+(mx+ny)x+2y2+(mx+ny)y=0，化简得(n+2)y2+(m+n)xy+(1+m)x2=0，即(n+2)y2x2+(m+n)yx+(1+设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为AM⊥AN，则kAM·kAN=y1x1·y2x2=m+1代入直线MN的方程得n(y-x)-3x-4=0.则在新坐标系下直线MN过定点-4则在原坐标系下直线MN过定点P23又AD⊥MN，则D在以AP为直径的圆上，AP的中点为43，13，即为圆心Q.经检验，当直线MN故存在Q43使得|DQ|=12|AP|=2方法三A点处的切线方程为2×x6+即x+y-3=0.当直线AM，AN，MN的斜率都存在时，设直线AM的方程为k1x-y-2k1+1=0，直线AN的方程为k2x-y-2k2+1=0，直线MN的方程为kx-y+m=0.由题意得k1k2=-1.则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线AM，AN可表示为x26+y23-1+λ(k1x-y-2k1+1)(k2x-y-2k2+1)用直线MN及点A处的切线可表示为μ(kx-y+m)(x+y-3)=0(其中μ为系数).即x26+y23-1+λ(k1x-y-2k1+1)(k2x-y-2k2+1)=μ(kx-y+m对比xy项、x项及y项系数得λ将①代入②③，消去λ，μ并化简得3m+2k