高中数学 加练 专题8　第87练　阿基米德三角形

第87练阿基米德三角形(分值：31分)如图所示，AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作抛物线的切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边.(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(x0，y0)，则另一顶点P的轨迹为一条直线.(3)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.(4)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a3(5)若阿基米德三角形的底边即弦AB过焦点，则顶点P的轨迹为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2.(6)点P的坐标为x1(7)底边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0.(8)△PAB的面积为S△PAB=|x(9)若点P的坐标为(x0，y0)，则底边AB的直线方程为x0x-p(y+y0)=0.(10)若弦AB过抛物线的焦点，则PA⊥PB；当F点为焦点时，PF⊥AB.(11)抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为()A.43 B.2 C.4 D.4答案C解析由题知，弦AB过抛物线焦点，则由“阿基米德三角形”性质知，点P在抛物线的准线上，△PAB的面积的最小值为S=p2=4.2.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，顶点为O，斜率为43的直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OP|等于(A.11 B.23 C.13 D.14答案C解析依题意，F(2，0)，直线l：y=43(x-2)，联立则y2-6y-16=0，解得y1=8，y2=-2.方法一不妨设M(8，8)，N12设直线PM的方程为y-8=k(x-8)，与C：y2=8x联立得，k(x-8)+82=8x，整理得k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0，解得k=12，故直线PM的斜率k=1故直线PM：y=12x+4同理可得，直线PN的斜率k'=-2，故直线PN：y=-2x-1，联立y=1即P(-2，3)，则|OP|=13.方法二由阿基米德三角形性质得点P的坐标为y1y22p，y1+y223.若抛物线方程为y2=2px(p>0)，且直线x=p2与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p等于(A.1 B.2 C.32答案D解析由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴，即x=p2时，如图，设直线x=p2与抛物线交于点A，B，以AB为底边的阿基米德三角形为△PAB，则23S△PAB=2312·p·2p二、多项选择题(共6分)4.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过其准线上的点T(t，-1)作C的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.p=2B.TA⊥TBC.当t=1时，直线AB的斜率为2D.△TAB面积的最小值为4答案ABD解析对于A，易知抛物线的准线方程为y=-1，所以p=2，C：x2=4y，故A正确；对于B，点T在准线上，根据阿基米德三角形的性质，知TA⊥TB，故B正确；对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1=x124，y2=x224.由y=x24，得y'=x2，则TA：y-x124=x12(x-x1)，即y=x12x-y1.代入点(1，-1故AB：x-2y+2=0，故kAB=12，故C对于D，根据阿基米德三角形的性质，因为点T在抛物线的准线上，故△TAB面积的最小值为p2=4，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知点M(2，-1)和抛物线C：x2=4y，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB=90°，则k=.答案1解析由题意，M在抛物线C的准线上，直线AB过点F且∠AMB=90°，所以△MAB是阿基米德三角形.如图，由阿基米德三角形性质得MF⊥AB，而kMF=-1-12-0=-1，所以直线AB的斜率为16.我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.已知直线l：y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的顶点P的坐标为.答案(-1，2)或(-1，-2)解析抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y得k2x2-(4+2k2)x+k2=0，由Δ=(4+2k2)2-4k2·k2=16k2+16>0，所以x1+x2=4+2k2k2，x1所以|AB|=x1+x2+p=4+2k2解得k=1或k=-1，当k=1时，因为PF⊥AB，所以kPF=-1，所以直线PF的方程为y=-(x-1)，因为P点必在抛物线的准线x=-1上，所以xP=-1，所以yP=-(xP-1)=-(-1-1)=2，所以P(-1，2)，当k=-1