高中数学 加练 专题4　第44练　高考大题突破练-解三角形

第44练高考大题突破练—解三角形(分值：50分)1.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-3bcosA=0.(1)求A；(5分)(2)若a=4，△ABC的面积为23，求△ABC的周长.(7分)解(1)asinB-3bcosA=0，由正弦定理可得sinAsinB-3sinBcosA=0，因为0<B<π，所以sinB>0，则sinA-3cosA=0，即tanA=3，因为0<A<π，所以A=π3(2)因为A=π3所以S△ABC=12bcsinA=34bc=2所以bc=8.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即16=b2+c2-2×8×12，所以b2+c2=24所以(b+c)2=b2+c2+2bc=24+16=40⇒b+c=210.则△ABC的周长为a+b+c=4+210.2.(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=(2c-a)cosB.(1)求角B的大小；(4分)(2)设△ABC的垂心为H，若BH·BC=2c2.①求ac的值；(4分②求cosA的值.(4分)解(1)因为bcosA=(2c-a)cosB，所以由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，即2sinCcosB=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC，因为C∈(0，π)，则sinC>0，故cosB=12因为B∈(0，π)，所以B=π3(2)①因为点H为△ABC的垂心，所以AH·BC=0，则BH·BC=(BA+AH)·BC=BA·BC+AH·BC=BA·BC=cacosB=12ac=2c2得ac=4②因为B=π3所以由余弦定理得cosB=a2+c将a=4c代入上式，得b=13c，所以cosA=b2+c2-3.(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tanA(cosC+sinB)=cosB-sinC.(1)证明：A+2B=π2；(6分(2)若a=2，求b+c的取值范围.(7分)(1)证明因为tanA(cosC+sinB)=cosB-sinC，所以sinAcosA(cosC+sinB)=cosB-sin即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cosAsinC，即sinAcosC+cosAsinC=cosAcosB-sinAsinB，所以sin(A+C)=cos(A+B)，即sinB=sinπ2又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以B=π2+A+B或B+π2+A+B即A=-π2(舍)或A+2B=π所以A+2B=π2(2)解由(1)得A+2B=π2因为asinA=bsin所以b=asinBsinA=2sinBc=asinCsinA=2sinC则b+c=2(sinB+cos=2cosB-sin又由0<B<π，0<π2所以π4<B+π4<π2，所以0<cosB所以b+c的取值范围为(2，+∞).4.(13分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α.(1)若a=b=c，求α；(4分)(2)若∠PBA=α，△ABC的周长为4，①求证：b2=ac；(4分)②求△ABC面积的最大值.(5分)(1)解方法一因为a=b=c，所以△ABC为等边三角形，因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，所以∠PBA=∠PAC=∠PCB=π3-α所以∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3所以△APB≌△BPC≌△CPA，所以PA=PB=PC，所以α=π6方法二由题意得，∠PBA=π3-α∠APB=∠CPA=2π3在△ABP中，由正弦定理得，APsinπ3在△APC中，由正弦定理得，APsinα=所以sinα=sinπ3又0<α<π3，所以α=π3-故α=π6(2)①证明因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，∠PBA=α，所以∠APB=π-2α，∠APC=π-A，∠B=2α.在△ABP中，由正弦定理得，APsinα=在△APC中，由正弦定理得，APsinα=所以ABsin(π-2α)即ABsinB=从而csinA=bsinB，故b2=ac.②解因为a+b+c=4，所以a+c=4-b≥2ac=2b，解得b≤43，当且仅当a=c又-b<c-a<b，则(c-a)2<b2，即(c+a)2-4ac<b2，即(4-b)2-4b2<b2，整理得b2+2b-4>0，解得b>5-1，故b∈5-1在△ABC中，由余弦定理得cosB=a2+=(4-b)2所以S△ABC=12acsinB=12b=12b2