高中数学 加练 专题6　第59练　高考大题突破练-数列

第59练高考大题突破练—数列(分值：60分)1.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=32且Sn=2an+1-3(1)求数列{an}的通项公式；(6分)(2)若bn=n2+nan，求使bn取得最大值时的n解(1)由Sn=2an+1-3，可得Sn-1=2an-3(n≥2)，两式相减得an=Sn-Sn-1=2an+1-2an，即an+1an=32(又因为S1=2a2-3且S1=a1=32所以a2=94，所以a2a综上，an+1a所以{an}为首项和公比均为32的等比数列所以an=32(2)由(1)可得，bn=23n(n2+n当n≥2时，由bnbn-1=2(n2+n)b4=b5，当n>5时，b5>b6>b7>…，因此b1<b2<b3<b4=b5>b6>b7>…，综上，当n=4或n=5时，bn取得最大值320812.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a3=8，2Sn=n(an+1-1).(1)证明：an+1n是常数列；(2)设bn=13Sn-1，求数列{bn}的前n项和(1)证明已知数列{an}的前n项和为Sn，a3=8，2Sn=n(an+1-1)，当n=2时，2(a1+a2)=2×(8-1)，得a1+a2=7，当n=1时，2a1=a2-1，∴a1=2，a2=5.当n≥2时，2Sn-1=(n-1)(an-1)，∴2an=2Sn-2Sn-1=n(an+1-1)-(n-1)(an-1)，即(n+1)an=nan+1-1，等式两边同时除以n(n+1)，得ann=an∴an+1n=an+1+1n+1(n即当n=1时也符合上式，故an+1n=an+1+1∴数列an+1(2)解由(1)知an+1n=∴an=3n-1，∴Sn=n(3∴bn=13Sn-1=23∴数列{bn}的前n项和为b1+b2+…+bn=2=23123.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n+3-8.(1)求{an}的通项公式；(6分)(2)若bn=log2an，n为奇数，an，n为偶数，求数列{bnb解(1)当n=1时，a1=S1=24-8=8，当n≥2时，由Sn=2n+3-8，得Sn-1=2n+2-8，则an=Sn-Sn-1=2n+3-2n+2=2n+2，因为a1=8=21+2也符合上式，所以an=2n+2.(2)由(1)可得bn=n当n为偶数时，bn-1bn+bnbn+1=(n+1)2n+2+(n+3)2n+2=(n+2)×2n+3，则Tn=4×25+6×27+8×29+…+(n+2)×2n+3，则4Tn=4×27+6×29+8×211+…+(n+2)×2n+5，则-3Tn=4×25+2×(27+29+211+…+2n+3)-(n+2)×2n+5=128+2×271-4n-221-4-(=128+2n+6-2563-(n+2)=128-(3n则Tn=(3n当n为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1bn+2=(3n+7)×2n+6-1289-=(15n故Tn=(154.(17分)若数列{an}满足|ak|≤M(k=1，2，…，n)，M为给定的正数，则称{an}为“M-有界数列”.(1)若bn=nsin1n，n∈N*，证明：{bn}为“1-有界数列”；(5分(2)设f(x)=x3+(a+1)x2+(a-2)x-2，对∀x∈[-2，2]，均有f(x)≤0，求实数a的值；(7分)(3)设数列{cn}是“2-有界数列”，n=1，2，…，99，且99Σk=1ck=0，求99Σk=1c(1)证明因为n∈N*，则1n∈(0，1]，对于函数g(x)=x-sinx，x∈(0，1]，g'(x)=1-cosx>0则g(x)在(0，1]上单调递增，g(x)>g(0)=0，即x>sinx，x∈(0，1]，从而1n>sin1n，即nsin1又nsin1n>0，n∈N*则|bn|<1，即{bn}为“1-有界数列”.(2)解f(x)=x3+(a+1)x2+(a-2)x-2=(x+1)(x2+ax-2).因为f(-1)=0，又∀x∈[-2，2]，均有f(x)≤0，则∀x∈[-2，-1)，x2+ax-2≥0，即a≤2-x2x=2因为函数y=2x-x在[-2，-1)上单调递减，则-1<2x-x≤1，则a≤∀x∈(-1，2]，x2+ax-2≤0.当x=0时，-2<0恒成立，则a∈R；当x∈(-1，0)时，x2+ax-2≤0⇒a≥2x-x因为函数y=2x-x在(-1，0)则2x-x<-1，则a≥-1当x∈(0，2]时，x2+ax-2≤0⇒a≤2x-x，因为函数y=2x-x在(0，2则2x-x≥-1，则a≤-1综上可得，a=-1.(3)解由题意可得|cn|≤2，n=1，2，…，99