2026年中考数学二轮复习专练：几何三大变换综合（平移、旋转、折叠）原卷版

专题08几何三大变换综合（平移.旋转.折叠）

A题型01单一变换（平移璇转4斤叠）基础应用V

♦典例引领，

【典例01］如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABC。沿着对角线AC方向平移，得到菱形4*C7）',

A0,AD分别交8C,CD于点G,H,连接GH,若A4，=x（O<x<AC）,GH=yt则y与工之间的关

系大致可以用函数图象表示为（）

（3D选项符合题意

【典例。2】在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线产/-〃-3与），轴交于点A,与x轴正半轴

交于点B,连接A8,将放一048向右上方平移，得到心‘O'A'E,且点O',N落在抛物线的对称轴匕点8,

落在抛物线上，则直线A5的解析式为（）

A.)'=xB.y=x+-C.y=x+\D.y=x+2

》方法透视

考向每年必考，多以小题（选择、填空）或解答题第一问形式出现，核心考查平移、旋转、

折叠的基本性质，侧重“变换前后的对应边、对应角相等，图形的形状、大小不变”。

解读

考向特点是“场景简单，性质明确”，难度偏低，重点考查三大变换的核心定义，容易

因性质记忆不牢、对应关系找错丢分

平移核心：牢记“两不变、一对应”一一形状、大小不变，对应边平行（或在同一直线）

方法

且相等，对应角相等；平移方向和距离是关键，解题时先确定平移的方向（水平、垂直

或斜向）和距离（对应点连线的长度），可通过网格或线段长度计算平移距离。

技能

旋转核心：牢记“三不变、一对应”一一形状、大小不变，对应点到旋转中心的距离相

等，对应角相等（旋转角相等）；旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度

是三大关键，解题时先找准旋转中心，通过对应点连线的垂直平分线确定旋转中心，再

计算旋转角度（对应边的夹角）。

折叠核心：牢记“轴对称性质”一一折叠前后对应边相等、对应角相等，对应点的连线

被折痕垂直平分；折痕是对应点连线的垂直平分线，折叠后形成的图形是轴对称图形，

解题时优先找“重合的边和角”，利用轴对称性质转化线段和角度。

易错点规避：混淆三大变换的性质（如误将平移的对应边垂直，误将旋转的对应点到旋

转中心的距离不相等）；找错对应边、对应角；折叠问题中，忽略折痕的垂直平分性质，

无法转化线段关系

♦变式演练

【变式01】以下是四款常用的人工智能人模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

DeepSeekCtiatGPT

C,纳米AID.微云人工智能

【变式02］如图，四边形ABCD是菱形，8C=1,且/8=60。，作QEJLDC,交3。的延长线于点E.现将ACDE

沿的方向平移，得到△GA£.设△CRg与菱形4区8重合的部分（图中阴影部分）的面积为y,平

移距离为x,则y与x的函数图像为（）

生O|12

【点睛】本题主要考查了动点问题于函数图象，解题的关键是正确找出不同情况下阴影部分面积的求法

【变式03］如图，。A8co的顶点8,C在坐标轴上，点A的坐标为（-1,2石）.将0A8co沿x轴向右平移

得到oA夕CD,使点A落在函数,，=士叵的图象上.若线段BC扫过的面枳为9,则点9的坐标为（）

A.（263）B.（3,3）C.仅夜,2&）D.（3,20）

»题型02平移与三角形/四边形综合《

♦典例引领，

【典例01］如图，在平面直角坐标系中，点4，3的坐标分别为（3,5）,（3,0）.将线段AA向下平移2个单

位长度再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD；

3

备用图

⑴直接写出坐标：点C(,)，点D(,)

(2)M,N分别是线段AB,C。上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从

点。出发向点。运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后〃工轴？

⑶点P是直线3。上一个动点，连接PC,PA,当点。在直线8。上运动时，请直接写出NCPA与NPCO,

NPA8的数量关系.

【典例02】在平面直角坐标系中，。为原点，点4(0,2),B(-2.0),C(4,0).

⑴如图①，三角形ABC的面积为:

⑵如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点。，求三角形AC。的面

积；

⑶在(2)条件下，点夕(m,3)是平面内一动点，若三角形丛。的面积等于三角形AC。的面积的一半，求点

〃的坐标.

》方法透视

考向中考常考，多以解答题形式出现，核心考查平移与三角形(全等、等腰、直角三角形)、

四边形(平行四边形、矩形、菱形、止方形)的综合应用，设问多为“证明线段相等/

解读

平行”“求线段长度/角度”“判断图形形状”。考向特点是“平移转化线段，联动图

形性质”，难度中等，重点考查平移的性质与几何图形性质的结合，容易因平移方向判

断错误、线段转化不灵活丢分

核心思路：利用平移的性质，将分散的线段、角集中到一个图形中(如将三角形平移，

方法

使一组对应边重合，构造全等三角形)，再结合三角形、四边形的性质(如平行四边形

的对边相等、直角三角形的勾股定理)求解。

技能

分场景解题：①平移与二角形综合：通过平移构造全等二用形，利用对应边相等、对

应角相等，证明线段平行或相等，求角度或边长；②平移与四边形综合：平移四边形

的一边或对角线，构造平行四边形或矩形，利用平行四边形的性质转化线段，求周长、

4

面积或线段长度。

辅助线技巧：遇平移问题，可连接对应点，明确平移距离和方向；若图形分散，可通过

平移某条线段，将图形拼接，简化计算和证明；牢记“平移不改变图形的形状和大小，

仅改变位置”，大胆利用对应关系转化。

易错点规避：平移方向判断错误，导致对应边、对应角找错；未利用平移性质构造全等

或特殊四边形，无法联动图形性质；计算线段长度时，忽略平移距离的转化

♦变式演舸

【变式01］如图，已知点P(2,4)在反比例函数)，='(x>0)的图象上，点｛4,0),4(0,3),将VAO8沿OP

X

方向平移，使点O与点夕重合，得到_4%'.过点4作AC〃y轴交反比例函数图象于点c.

⑴直接写出加的值；

(2)求直线PC的解析式；

⑶求平移前后线段A8扫过的图形面积.

【变式02】作为几何三大变换的轴对称，平移和旋转，有着神奇魅力，它不仅考验学生的逻辑思维能力,

更考验学牛.的空间思维能力.

如图1,VABC是直角三角形，2B90?.

【初步研究】

(1)把图1中的VA8C沿线段A8的垂直平分线作轴对称变换后得到.84。，与原图形组成了图2所示的

图形；连接CO,请从下面两种方法中选择其中一种证明：四边形A8C。是矩形;

【法一】有一个角是直角的平行囚边形是矩形；【法二】对角线相等的平行四边形是矩形;

【绊续探索】

(2)在图1中，已知A8=3cm,4D=2cm,把图2中的沿3。向右平移，得到一，A?与

AC交于点O,47y与AC交于点凡求线段的氏;

5

【深度探索】

（3）把图2中的-BAD绕点A逆时针旋转得到，EAD,如图3所示，分别取AB、AE的中点M、N,连接MN,

CO,MN与C。交于点P.问：点尸是否是线段。。的中点？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.

【变式03］如图，在边长为4的菱形ABC。中，对角线4C与8。用交于点E,边"在x轴上，NB4£）=60。,

3（-1,0）,点C在反比例函数），=々人0）的图象上.

⑴直接写出C,D,£的坐标及2的值；

⑵将菱形八〃C”向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边〃。与反比例函数图象交于点尸，求点

产到大轴的距离.

>►题型03旋转与三角形/四边形综合<

♦典例引领

【典例01］如图，在RtAABC中，N4C8=90。，点。为边5c上一点，ZCAD=a,

⑴如图1,若CO=1,A£）=2,80=3,求点6到直线A。的距离；

⑵如图2,点E为线段A8中点，点尸为线段AE上一点，将线段E尸绕点E顺时针旋转2a得到线段9，

若点尸恰好在线段AO上，连接C",与线段A8交于点G,连接EG,判断线段EG8。的数量关系，并证

明.

【典例02］如图（1）,将三角板A8C与三角板ADE摆放在一起，其中ZAC8=30。，ND4E=45。，

ZMC=ZD=90°；如图（2）,固定三角板ABC,将三角板AQE绕点A按顺时针方向旋转，记NC4E=a

（00<«<180°）.

【操作发现】

6

（1）在旋转过程中，当。为_度时，ADA.BC；

（2）当8c与心的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角a的所有可能的度数；

【拓展应用】

（3）当0。＜1＜45。时，连接30,利用图（3）探究N8OE+NC4E+NO8C的值的大小是否变化，并说明

理由.

》方法透视

考向中考高频考查，多以解答题（20-21题）或压轴题形式出现，核心考查旋转与三角形（全

等、相似、等腰直角三角形）、四边形（正方形、菱形）的综合，侧重”旋转构造全等

解读

/相似，利用旋转角转化角度”。考向特点是“综合性强，模型固定”，难度中等偏上，

重点考查旋转的性质与全等、相似的联动，常见模型有“90°旋转”“1800旋转”“旋

转型全等”，容易因旋转中心找错、旋转角计算错误、模型识别不熟练丢分

核心模型识别：①90°旋转模型（高频）：多见于正方形、等腰直角三角形中，旋转

方法

后形成新的等腰直角三角形，利用“旋转角为90°”和“对应边相等“，结合勾股定理

求线段长度；②180。旋转模型（中心对称）：多见于平行四边形、矩形中，旋转后对

技能

应点连线经过旋转中心，且被旋转中心平分，可构造全等三角形；③旋转型全等：旋

转后两个三角形全等，对应边相等、对应角相等，用于证明线段和差、角度转化。

解题步骤：①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；②利用旋转性质，找到全等/相

似三角形，转化线段和角度；③结合几何图形的性质（如正方形的边长相等、直角三

角形的勾股定理），计算未知量；④检验结果是否符合图形特征。

辅助线技巧：遇旋转问题，优先连接旋转中心与对应点，明确旋转角；若题目中无明确

旋转中心，可通过对应点连线的垂直平分线确定旋转中心；构造旋转型全等时，可将某

条线段绕某点旋转一定角度，使线段重合，简化证明

♦甄演绮

【变式01］在VABC中，AB=AC=5,BC=6,将VA8C绕点A按逆时针方向旋转，得到VAOE,旋转角

为“（0。＜。＜180。），点8的对应点为点。，点C的对应点为点£.如图所示，设边A。与8c交于点M,

边DE分别交8cAe于点EN.

7

AA

⑵当△MD"为等腰三角形时，请直接写出。尸的长;

【变式。2】将VA3c绕点4顺时针旋转90。得到VAOE,点B的对应点为点D,点、C的对应点为点E,连

接CE.将线段C8绕点C逆时针旋转90。得到线段CM,连接加。交CE于点N.

⑴如图1,若NZME=40。，NB=125。,求N8CE的度数；

（2）如图2,若NABC=90。，/W=5,BC=\2,求线段ON的长度.

【变式03］在平面直角坐标系中，。为坐标原点，正方形Q48C的顶点A的坐标为（4,0）,点8在第一象限,

点。在＞轴正半轴上.

⑴如图①，点8的坐标为，点。的坐标为:

⑵将正方形。48c绕点。逆时针旋转，得到正方形OAB'C,A,B,C的对应点分别为A,B',C.旋

转角为以0。＜。＜45。），8W的延长线交x轴于点。，U仁与V轴交于点E.

①如图②，当。=30。时，点A的坐标为，点E的坐标为；

②如图③，在旋转过程中，连接EO,设AO=〃z,△次小的面积为S,求S关于加的函数表达式，并直接

写出加的取值范围.

8

A题型04折叠与三角形/四边形综合<

♦典例弓I领

【典例01】【问题情境】

折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动.

活动一：矩形可折叠

矩形纸片A5CO中，在AD边上取一点。沿3P翻折，使点A落在矩形内部W处；再次翻折矩形，使。。与尸4

所在直线重合，点力落在直线PA上的点N处，折痕为PE.翻折后的纸片如图1所示.

活动二：折叠可得矩形

如图2,将一A8C纸片沿中位线四折叠，使点人的对称点。落在BC边上，再将纸片分别沿等腰:瓦）和

等腰..OHC的底边上的高线所，/£折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进

行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为"叠合矩形"，如图3和图

4.

【提出问题】

（1）如图1,NBPE伯度数为；

（2）如图1,若A£>=32cm,AB=24cm,求OE的最大值；

（3）uABCD纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形EFG”，若EF=9,EH=\2,直接写出4。的

长—;

【解决问题】

（4）如图5,一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形MNPQ,其中Z/MP的一边与矩形纸片的

一边重合，NM=NP=90。，NP=4cm,MN=35cm,MQ=30cm,求该矩形纸片较长边的长度.

【典例02］如图，在等腰VA8C中，AB=BC.

⑴尺规作图：作VA8C关于AC所在直线对称的ZUDC（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接4。，交4C于点。，若4。=4,四边形AAC。周长为4万,求四边形4AC。的面积.

9

》方法透视

考向中考压轴题常考・，核心考查折叠与三角形（等腰三角形、直角三角形、全等三角形）、

四边形（矩形、正方形、菱形）的综合，侧重”折叠的轴对称性质与几何图形性质的联

解读

动”，设间多为“求线段长度/角度/面积”“探究线段关系”“判断图形形状”。考向

特点是“图形复杂，隐蔽性强”，难度较高，重点考查折叠后对应边、对应角的转化，

以及直角三角形的构造，容易因折叠后图形分析不清晰、线段转化错误丢分

核心思路：折叠的木质是轴对称，优先利用“对应边相等、对应角相等”“折痕垂直平

方法

分对应点连线”，找到相等的线段和角度，构造直角三角形（如折叠矩形的一个角，形

成等腰直角三角形或含特殊角的直角三角形），结合勾股定理、全等三角形求解。

技能

分场景解题：①折叠与三角形综合：折叠三角形的边，利用轴对称性质构造等腰三

角形，结合三角形内角和、勾股定理求角度或边长；②折叠与四边形综合（高频）：

折叠矩形、正方形的边或角，利用对应边相等、直角相等，构造全等三角形或直角三角

形，列方程求解线段长度（如设未知数，利用勾股定理列方程）。

辅助线技巧：遇折叠问题，可连接对应点，画出折痕，利用折痕的垂直平分线性质，转

化线段长度；若折叠后有直角，优先构造直角三角形，利用勾股定理列方程（安徽中考

高频考法）；注意折叠后点的位置（是否在图形内部/外部），避免漏解

♦变式演舸

【变式01］如图，已知一次函数1=公+〃的图象与反比例函数y='的图象交于4（1,〃）1（-2.-1）两点，与

⑴求一次函数与反比例函数的解析式；

⑵若点。与点。关于X轴对称，求△44。的面积.

【变式（）2】如图，矩形ABC。中，AB=3,AD=4.

⑴点£是边8c上一点，将AABE沿直线AE翻折，得到△APE.

①如图1,当AF平分NE4。时，求跖的长;

10

②如图2,连接。“，当4£=1时，求尸的面积；

⑵点E为射线8c上一动点，将雉形A8CO沿直线AE进行翻折，点。的对应点为C',当点E,C,。三点

共线时，求跖的长.

【变式03】【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题

情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片48CZ)(AB>A。)，引导同学们进行折叠探究.

操作一：如图1,点E为边4c上一点，将4A5E沿直线AE折叠，点4的对应点5,恰好落在边CD上.

(1)求证：△QCES2X/M*

操作二：如图2,将矩形纸片先沿对角线AC对折，再展开，折痕为AC.点尸为边48上一点，将△斗所沿

直线E尸折叠，使点4的对应点A落在对角线AC上.

(2)若A8=6,BC=8,当点4为AC的三等分点时，求A尸的长.

题•型•训•练

一、解答题

1.在平面直角坐标系中，将一块含有45。角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的

坐标为(0,2),顶点8恰好落在第一象限的双曲线上.

⑴确定反比例函数的关系式；

(2)现将直角三角板沿“轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点C的对应点C的

坐标.

2.如图，点A是反比例函数y=4的图象上一点，8是直线OA延长线上的一点，且OA:A3=1:2,过点H

x

作二轴的平行线交反比例函数y=与的图象于点C,连接oc,若s..=4.

X

11

⑴求反比例函数的解析式；

3k

（2）尸是线段A8的中点，将△OBC沿x轴向左平移彳个单位长度后，点P恰好落在反比例函数），=上的图象

2x

上，求平移前点。的坐标.

3.如下图，点。在/AOB内，M,N分别是点P关于。4,08的对称点，MN分别交。人，0B于点E,F,

连接PE,PF.若！庄户的周长等于20cm,求MN的长.

4.如图，直线y=x+5与直线＞="+/?交于点A（-3,a）,交x轴于点8,直线y=也+力分别与x轴、），轴交

于点C、3（0,1）,连接40.

⑴求鼠b的值;

⑵点P（〃7,〃）是线段C。上的一动点，点尸是点P关于y轴的对称点，当〃在一430内部时（不含边界），

求〃?的取值范围.

5.在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图

①，点P在等边VAAC内部，且PA=2",PC=5,N4PC=150。，求PB的长.

12

A

【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△从2（:绕点A

按顺时针方向旋转60。，得到连接PP,寻找Q4,P4,PC三边之间的数量关系，即可求得P3

的长为二

【理解应用】（2）如图②，在等腰直角VABC中，ZACfi=9Oc,P为7ABe内一点,ZAPC=135°,判

断以，PB,PC之间的数量关系，并说明理由：

【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地A8C,其中A8=8C,ZABC=90°,实践

工具存放点位于基地的尸点，通过测量%=16m,PB=6&m，NAP8=45。求线段PC的长.

6.在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，

知一类”的目的.

【题根分析】例如：如图1，点£尸分别在正方形相C。的边8C、C。上，ZMF=45°,连接历，试猜想

EF、BE、。产之间的数量关系.解题思路：把一ABE绕点A逆时针旋转90。至△AQG,可使AB与重合，

由NAOG=N8=90。，得N/7）G=180。，即点尸、D、G共线，易证石RBE、之间的数量关系为

EF=BE+FD.

【类比引申】

（1）如图2,VA4c中，4B=AC,N84C=90°,点。、七是4c边上两点，/DAE=45。.试猜想&XDE、EC

之间的数量关系.（直接写出你的猜想,不必写出讦明过程）

【联想拓展】

（2）如图3,在V48C中，A3=AC,N3AC=60。，点。、E均在BC边上，且ND4E=30。，若5。=4,反?=6,

求DE的长.

7.在平面直角坐标系中，一OOE是等腰直角三角形，ZODE=90°,DO=OE=3,点。在》轴的负半轴上,

点E在第二象限，矩形ABCO的顶点8（4,2）,点C在“轴的正半轴上，点A在），轴的正半轴上,将DOE沿

x轴向右平移，得到点DO,E的对应点分别为〃'，O,炉.

13

⑵设00=3△DO'E与矩形ABC。重叠部分的面积为S；

①如图②，当△DO'£与矩形ABCO重叠部分为五边形时，斤£与48相交于点加，分别与AB,BC

交于点N,P,用含有f的式子表示S；直接写出，的取值范围」

②请直接写出满足5=（的所有，的值

8.如图1,在平面直角坐标系中，四边形Q4AC是菱形，且8点坐标是（0,3）,/。4/?=60。，延长84,与

（2）将菱形Q4BC沿%轴向右平移得菱形OWB'C,设。。二1（0金"36），菱形O'A^C与aOBD重叠部分

的面积为S.

①如图2,当点C在），轴上时，求S的值；

②当5=善6时，请直接写出，的值.

16

9