第四节 二次根式-2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块一教与式

第四讲二次根式

知识梳理夯实基础

知识点1:二次根式的相关概念

形如4（。以））的式子。

二次根式拉，亚,瓜

①被开方数不含分理

2向&+］，立

最简二次根式②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

2

③分母中不含二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相

同类二次根式—25/2和A/TS

同的二次根式。

知识点2:二次根式的性质

性质1右）0（420）,二次根式双重非负性

性质2(6)=a(〃^0)

性质3而用11」“产<0！）

知识点3：二次根式的运算

二次根式乘法4a-y/b=\fab(介0,杉0)

P(心0,b>0)

二次根式除法

二次根式加减先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

注意：

1.有理数的加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以

及多项式的乘法公式仍适用于二次根式的运算.

2.二次根式运算的结果一定要化为最简.

知识点4：二次根式的估值

用有理数估算二次根式的大致范围时，一般采用“相邻平方比较”法，却用

两个相邻数的平方与被开方数比较，若被开方数介于这两个相邻数的平方之间，

则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间，估算的精确度可由相邻数的精确度

来确定。

直击中考胜券在握

1.（2021•海南海口•九年级期中）若代数式且包有意义，〃的取值范围是（）

a

A.B.a>-2C.a>2D.4之一2且。工0

【答案】。

【分析】

根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案即可.

【详解】

解：由题意得：a+2之0,且〃工0,

解得；。士―2且axO,

故选：。.

【点睛】

本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非

负数、分母不为。是解题的关键.

2.（2021-杭州中考）下列计算正确的是（）

A.7F=2B・J（-2/=-2C.后=±2D,卜2（=±2

【答案】A

【分析】

由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：亚=«=2，故A正确，。错误；

卮［=2,故8、。错误；

故选:A.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断.

3.（2021•武威中考）下列运算正确的是（）

4.73+75=3B.4石一百=4C.x/3xx/2=x/6D.寂+唬=4

【答案】C

【分析】

直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案.

【详解】

G+\f3=2&.故A错；

4亚-=3亚,故8错：

6x6,=瓜,C正确；

寂+酶=2,故。错.

故选：C.

【点睛】

此题考杳的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键.

4.（2021•河南辉县•九年级期中）下列计算正确的是（）

A.x/2xx/3=>/6B,730=3710C.a+亚=屈D.J（_5>=-5

【答案】A

【分析】

由二次根式的乘法运算可判断A,由二次根式的化简可判断8,。，由二次根式的加法运算

可判断C,从而可得答案.

【详解】

解：血X6=后5="，故4符合题意；

国是最简二次根式，不能化简，故3不符合题意；

次+&=2a+衣=3右手加，故C不符合题意；

斤斤=6=5,故。不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法运算与加法运算，熟悉二次根式的化简与

加法，乘法的运算法则是解本题的关键.

S.（2021.上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）若后三7二？-?.一则x的取值范围

是（）

2222

A.x>-B.x>—C.x—D.x<一

3333

【答案】C

【分析】

由题意利用二次根式的性质行=同，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围.

【详解】

解：©J(3x-2)2=|31-2|=2-3x,

03x-2<O,

2

0x<—.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质。=同是解决问题的关键.

6.(2021•黑龙江•哈尔滨市萧红中学八年级阶段练习)下列计算中，正确的是()

A.26+2石=5石B.(x/3+77)-Vi0=V10->/i0=10

C.(3+20)(3—2道)=一3D.(无。+C)(6a+b)=2a+b

【答案】C

【分析】

根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案.

【详解】

解•：4、2石与2石不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；

B、+行)=而+屈,此选项错误，不符合题意；

C、(3+2>/3)(3-2x/3)=9-12=-3,此选项正确，符合题意；

D、«a++b)=2/+Cab+同a+bR,此选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考杳了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法

则.

7.(2021•四川省隆昌市第一中学八年级期中)已知实数。满足条件

|2011-«|+^-2012=«,那么〃一201r的值为()

A.2010B.2011C.2012D,2013

【答案】C

【分析】

由题意可知a-201220,可得a-2011+52012=a,移项后平方得4-2012=20112,变形得

4-20112=2012.

【详解】

解：回，.2012有意义,

团。-201220,

0«>2012,

02Oll-a<O,

团”2011+JCL2012=",

07«-2012=2011

团4-2012=20112,

加-20112=2012.

故选C.

【点睛】

本题考查二次根式有意义条件，化简绝对值，代数式的值，掌握二次根式有意义条件得出

碓2012,化简绝对值得出«-2012=20112是解题关键.

8.（2021•上海市徐汇中学八年级期中）下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

A.&和B.后和府C.0不和栏27^］和而T.

【答案】c

【分析】

根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可.

【详解】

解：A、J行=26，故相和应不是同类二次根式；

B、后=J|=¥，故石和历不是同类二次根式：

C、行二记咨故痂和杵是同类二次根式;

D、7^7和，币不是同类二次根式;

故选：c

【点睛】

本题考杳的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式

后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.解题关键是掌握

同类二次根式的概念、二次根式的化简.

9.（2021•陕西高陵•八年级阶段练习）实数明匕在数轴上的位置如图所示，则

m+1）、7^7=（）

-2-1012

A.Q-bB.a-b+2C.ci+bD.a+b+2

【答案】B

【分析】

先根据数轴上两点的位置确定。+1和匕-1的正负，再根据二次根式的性质化简计算即可.

【详解】

解：观察数轴可得，

团a+l>0,Z?-l>0.

J(a+1)2_[(、_]1

=a+l-(Z?-l)

=a+l-b+\

=a-b+2

故选&

【点睛】

本题主要考查了结合数釉上点的位.置化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关

键.

10.(2021・全国•九年级专题练习)实数”，力在数轴上的位置如图所示，化简：

J(a+1)2+\a-b\+2j(i)2-1a+b|的结果是()

--------------------S---------------------------------J

-101

A.2a-b+1B.a・2b+lC.-a+2b-1D,2a+b・1

【答案】C

【分析】

根据二次根式的定义先化简，再根据绝对值的意义进行计算即可.

【详解】

解：观察实数小〃在数轴上的位置可知：

”+1>0,a-b<0,1-h<0fa+b>0,

团J(a+1)2+\a-b\+2y](\-b)2-1a+b\

=|tz+11+1«-/?|+211-/?|-|a+b|

=a+l+b-a+2(Z?-1)-(.a+b)

=a+l+b-a+2h-2-a-b

=-a+2b-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握绝对值的意义.

11.（泸州中考）已知三角形的三边长分别为。、仄C,求其面积问题，中外数学家曾经进

行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年）给出求其面积的海伦公式

S=H心p-lXp-c）,其中我国南宋时期数学家秦九韶（约

1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九酩公式

S=*2J2一小?一［,若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是

（）

4亚B.巫c.巫。.姮

8422

【答案】B

【分析】

将三角形的三边长2,3,4代入题目中的秦九韶公式，，从而可以解答本题.

【详解】

0S=1卜2b2_（至上”一｝）?,

2V2

回若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是：S=*2x32_（22+；―42）:字

【点睛】

解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积.

12.（2021・贵州毕节•八年级期中）计算：（2+6）2021（2-73）2。2。=.

【答案】2+6

【分析】

先把原式写成（2-白广°乂（2+6广'<（2+@,然后再运用积的乘法法则的逆用和平方

差公式运算即可.

【详解】

解：（2+同由（2->/3）『

=（2一可飞2+可力（2+网

=［（2-V3）（2+^）px（2+73）

=12020X（2+>/3）

=2+5

故答案为；2+6

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用积的乘方法则和平方差公式是解答本题的关

键.

13.（2021•四川达州•中考真题）已知”，〃满足等式</+6a+9+Jb-±=0,则/S62⑶=

【答案】-3

【分析】

先将原式变形，求出。、儿再根据同底数暴的乘法、积的乘方的逆运算即可求解.

【详解】

解：由/+6。+9+^1=0,变形得33)，「^=0,

Qla+3=0,b——=0,

3

［

z、X20=(-3)x(—产z.、2020=(-3)x^Z-3x-.J、2020=-3.

团产产=（一3）

故答案为：-3

【点睛】

本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数骞的乘法、积的乘方的逆

用等知识，根据题意求出。、人的值，熟知同底数昂的乘法、积的乘方是解题关键.

14.（2020・全国•八年级单元测试）已知、=J（X-4）2T+5,当分别取1,2,3,

2020时，所对应）'值的总和是,

【答案】2032

【分析】

先化简二次根式求出1y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得.

【详解】

y=\l（x-4）2-x+5=|x-4|-x+5

当x<4时、y=4-x-x+5=9-2x

当xN4时，y=x-4-x+5=\

则所求的总和为（9-2xl）+（9-2x2）+（9-2x3）+l+l+…+1

=7+5+3+1x2017

=2032

故答案为：2032.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简求值、绝对•值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题

关键.

15.（2021•山东蒙阴•八年级期末）对于任意不相等的两个实数a,b（）定义一种新

运算源从2^^,如3既=2^^,那么1204=______

4a-bV3^2

【答案】a

【分析】

按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可.

【详解】

解一2m=辱=半=及

V12-4瓜

故答案为，72

【点睛】

此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键.

16.（2018•湖北沙洋•八年级阶段练习）把。中根号外因式适当变形后移至根号内得

【答案】S

【解析】

团—>0>

a

067<0,

故答案为：Q.

17.（2021•北京•北大附中八年级期中）当工=一时，代数式Q+1取最小值为_

【答案】21

【分析】

根据二次根式有意义的条件，可求出x的物质范围，根据二次根式的性质求解即可.

【详解】

解:（3x-2>0,

解得42,

当应2时，VT3>o,

取=2,代数式g+1取最小值1,

故答案为：2,1.

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质，关键是明确二次根式的被开方数越大，值越大.

18.（2021•山西•九年级专题练习）计算厂的结果是__________・

73+\02

【答案】g

【分析】

先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可.

【详解】

V3+VI2

73

一6+2万

二正

~343

1

故答案为：g.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键.

19.（2021・河南•九年级专题练习）在函数y=^^+—［中，自变量x的取值范围是

【答案】且彳工5

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的

范围.

【详解】

x-3>0

根据题意得:x+l>0,

x-5w0

解得：

故答案为：x23且工工5.

【点睛】

本题考杳了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数

表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不

能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

2020

20.（2021•全国•九年级专题练习），〃=一1贝I-I---M-----2/w4-2020加+nr-2m-2021的

V2021-1

值是________

【答案】-1

【分析】

先根据二次根式的分母有理化呜导〃?=廊T+1，从而可得（〃1）2=2021,再利用完全平

方公式进行运算求值即可得.

【详解】

2020(72021+1)

2020

由/〃=得:=72021+1,

V2021-1(V2021-1)(72021+1)

则(m-1『=(J2021+1-1)=2021,

42

因此nr-2m-202()〃，+/?2-2m-2021，

=m5-2m4+-202lw3+m2-2m+1-2022,

=〃?'(，/-2/n+1)-202+(/M2-2m+1)-2022,

=w3(w-l)2-202Im3+(//t-l)3-2022,

=202lw3-2021谭+2021-2022，

=-l，

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了二次根式的分母有理化、完全平方公式，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是

解题关键.

21.（浙教版八年级下册第一章数的开方与二次根式综合练习题）用教材中的计算器进行

计算，开机后依次按下■■B80,把显示结果输入右恻的程序中，则输出的结果是

是_________.

I**x(3+J2)\-

输入显示结果i--»4^u

【答案】7

【分析】

先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式：(9+3)-a；

接卜来判断计算结果是否大于L可得出⑶&冈3+a),由此计算即可.

【详解】

由题意知输入的值为3?=9,

则输出的结果为(9+3)-72=3-72>1

(3-72)x(3+721=9-2=7.

故答案为7.

【点睛】

本题考查计算器•基础知识，二次根式混合运算，解题的关键是根据程序框图列出算式，并

熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则

22.(2021•四川省巴中中学八年级期中)计算：

(1)V32+V50+|x/45-V18;

(2)底G—*+3麻)+2&.

【答案】(1)6&+显(2)y

【分析】

(1)先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可;

(2)先计算并化简括号内的，合并结果，再算除法.

【详解】

解：(1)屈+标+；屈一回

=4\/2+5>/24—x3\/5-35/2

3

=4夜+5夜+6-3尤

+3x2\/2]+2>/2

=3x/2-4x

=(3&-20+6夜)+2夜

=7a+2&

7

2

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

23.（2021•山东•枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1）

(x/6-2x/15)xV3-6J^

(2)

(3)。484-5/3—xy/12+，24

V20+V5

(4)gx疝+（75+1）（6・1）

【答案】(1)1;(2)-575-2;(3)4+76；(4)3.

【分析】

（1）直接利用一次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则

计算得出答案:

（2）宜接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简，先算乘法，再化简二

次根式，去绝对值，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;

（3）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则

计算得出答案:

（4）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，先算乘除，再利用有理数的加减运算法则计

算得出答案.

【详解】

解:（1）卜2）2_居+;「一口

=26++1

244+I

(2)(^-2715)x73-6J^+|2-5/5

=V6^3-25/15x3-6x—+V5-2

2

=3&-6石-3a+G-2

=-5^-2：

(3)屈+6-gx旧十而

=J48+3-Jgxl2+2卡

=4—>/6+2指

=4+>/6；

(4)同j61x8+(6+])(6-1)

\J5V3

=J20+5+1-秒12+3-1

=2+l-2+3-I

=3.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键.

24.(2021・河南•郑州枫杨外国语学校八年级期中)计算：

(1)廊-(2-府+10.；

(2)(1-2>/3)(1+2>/3)-(^-1)2.

【答案】(1)8x/5-9；(2)273-15.

【分析】

(1)根据二次根式的混合运算的法则计算即可：

(2)利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可.

【详解】

解:(1)同一(2一石)2+1(@

=2方-4+4石-5+26

=8>/5-9；

(2)(1-2X/3)(1+2>/3)-(>/3-1)2

=1-12-3+2>/3-1

=26-15.

【点睛】

本题考杳了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

25.（2021・河南舞钢•八年级期中）计算：

（1）舄-用

（2）（后_J）+G+（2及-i）G+（75-1）2.

【答案】（1）、-7&；⑵一旦+2限-m+3.

106

【分析】

（1）先算乘法，化成最简二次根式，再算加减即可；

（2）先算乘除和运用完全平方公式计算，再合并.

【详解】

解:（1）岛一场+员.+24

=吟-2员尾+2x当

=迈_2凡1+&

10

10-772

-10：

(2))土6+(2&-1)6+(夜-1)2

=72473-^3

+2>/2xx/3-V3+2-2>/2+l

=2叵-叵+2瓜->/3-2>/24-3

6

=--+2>/6->/3+3.

6

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的法则

进行解答.

26.（2011年汕头市九年级第一学期期末考试数学卷）矩形的两条边长分别是2百+总和

2百-x/2,求该矩形的面积和对角线的长.

【答案】解：面积S=（2、自+&）（26-&）=（26）2_（&）2=12-2=10

对角线长/="（26+&）2+（26-扬2=J|2+4>/5-2+12-4石+2=而=2不

27.（山东省邺城县2020—2021学年八年级上学期期中数学试题）已知。，b,c满足

|«-x^|+x/^5+（c-V18）2=0.

（1）求。、b、。的值

（2）试问以。、b.c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若

不能，请说明理由.

【答案】（1）4=2&，b=5,C=3&；（2）能，5+5近

【分析】

（1）根据非负数的性质可求出。、b、c的值；

（2）根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解.

【详解】

解：（1）由题意得：a-布=0，。-5=0,c-V18=0»

解得：。=册=26,b=5,。=屈=30.

（2）根据三角形的三边关系可知，a、b、c能构成三角形

此时三角形的周长为a+〃+c=2忘+5+3夜=5+5忘.

【点睛】

本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；

（3）二次根式（算术平方根）.当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于

0.根据这个结论可以求解这类题目.

28.（贵州省黔西南州兴义市鲁屯中学2018学年七年级下学期期中测试数学试卷）化简求

值：

（1）已知〃是的整数部分，y/h=3,求，必+54的平方根.

（2）已知：实数。，〃在数轴上的位置如图所示，化简：痴+1八2"1）2加..

ab

III」」>

-401

【答案】（1）±3；（2）2a+b-1.

【详解】

分析：（1）由于3VJBV4,由此可得的整数部分a的值：由于扬=3,根据算术平

方根的定义可求。，再代入计算，进一步求得平方根.

（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即

可.

详解：（1）03<x/l3<4,团4=3.

0^=3,勖=9,0yJab+54=73x9+54=9,Oj“〃+54的平方根是±3：

（2）由数轴可得：-lVaVOVIVZ?,则a+l>0,b-1>O,a-b<0,则

J（a+1）2+2J（〃--Ia-回

=<7+1+2（b-1）+（a-b）

=4+1+2。-2+a-b

=2a+b-1.

点睛：本题考杳了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先

判断所给的无理数的近似值是解题的关键.

29.（2021・全国•九年级专题练习）已知a,8是有理数，若=三速逵一4,求岫

a-2

的平方根.

【答案】t2&

【分析】

672-4>0

根据二次根式及分数的意义，可得：4-〃2之（），可求出〃=-2,此时》=-4,即可得出

a-2工0

答案.

【详解】

解：若要使〃=叵二+/匚7一4有意义，

£7-2

a2-4>0

则,4-«2>0,

〃一2二（）

解得a=-2,此时b=-4,

则。〃的平方根=±J-2x（y）=±2\/2.

【点睛】

本题考查二次根式的意义及平方根的求法，属于基础题型.

30.（河北省唐山市开平区2019年中考数学一模试卷）在学习二次根式时，思思同学发现

一个这样的规律行=2白痔3岛同=出

（1）假设说思发现的规律是正确的，请你写出片=提后面连续的两个等式;

（2）用字母表示思思发现的规律；

（3）请你给出这个结论的一般性的证明.

【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析.

【分析】

（1）利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式;

（2）写出第〃+1个等式即可；

（3）根据二次根式的性质进行证明.

【详解】

⑶后二月手保存82的整数）.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根

式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择

恰当的解题途径，往往能事半功倍.

31.阅读下面的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将Ja+2G化简,若你能找到两个数和〃，使机2+〃2=〃且，

则。+2的可变为〃产+M+2〃〃I,即变成5任〃）2,从而使得&+2力化简.

例如：05+276=3+2+276=（G）2+（a）2+276=（G+75）2

回『5+26=+夜）=6+\[2

请你仿照上例将下列各式化简

（1）4+2J，⑵布_2M.

【答案】⑴1+73：（2）石-

【分析】

参照范例中的方法进行解答即可.

【详解】

解：（1）04+2百=产+2石+（石）2=（1+百产，

团J4+26=«1+厨=1+氐

(2)团7—2旧=(逐)2—26.夜+(&)2=(逐一应产,

团17—2而=J（逐一&）2=亚-

32.（四川省遂宁市射洪中学外国语实验学校2020-2021学年八年级上学期第三次月考试数

学试题）下面是一个按某种规律排