电磁感应中的双棒问题（解析版）

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

专题65电磁感应中的双棒问题

导练目标导练内容

目标1无外力等距式双棒问题

目标2有外力等距式双棒问题

目标3无外力不等距式双棒问题

目标4有外力不等距式双棒问题

【知识导学与典例导练】

模型规律

1、电流大小：］

~R+R?~凡+&

2、稳定条件：两棒达到共同速度

3、动量关系：,%％=（仍多飞”

无外力等距式（导轨光滑）

4、能量关系：/1;门R

”2说=5（町+恤底+Q第=U

//Q2K2

有外力等距式（导轨光滑）

3、稳定条件：当az=ai时，V2-W恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。

4、够定时的物理关系:

;

F=(tnx+m2)aFA=

(R]+/?2刖/

22

Bl(rn}+m2)

1、动里关系：=〃?]匕_-in.v-y-0

2、愚定条件：BLM=BL2V2

3、最终速度：T2；TT

m.L,m.LL.

22y

V.=——T-~7VoV2=——,一।,Vo

肛后+用二myk2+m2L^

无外力不等距式

4、能量关系：]।।,

Q=片一片一2吗破

（导轨光滑）

5、电量关系：叫好〃?2匕-。

F为恒力,则:

1、稳定条件:/必=，2④，I恒定，两棒做匀加速直线运动

q=U

常用关系:

町

有外力不等距式=l「〃kp.F=F-

3、常用结果:4,-42

/>2+/>,，彳〃仔/；町•

（导轨光滑）

此时回路中电流为：与两棒电阻无关

一、无外力等距式双棒问题

【例1】如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为/,电阻不计。整个装置处于两

个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线，质量均为〃?的两根相同

导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上（两棒始终与导轨垂直且接触良好）。现使MN棒获得一个大小为心

方向水平向左的初速度，则在此后的整个运动过程中（）

A.两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反

B.两棒最终的速度大小均为蓝

2

C.MN棒产生.的焦耳热为外

4

D.通过PQ棒某一横截面的电荷量为等

281

【答案】D

【详解】A.根据右手定则知，回路中产生沿NMPQN方向的感应电流，根据左手定则可知，MN棒受到的

安培力水平向右，PQ棒受到的安培力也水平向右，且两棒受到的安培力大小相等，则两棒受到的安培力冲

量大小相等，方向相同，选项A错误；

B.当两棒产生的感应电动势大小相等，相互抵消，【可路中感应电流为零时.，两棒均做匀速运动，达到稳定

状态，稳定时.，有加刃=用丫2解得盯=也对PQ棒，根据动量定理得对MN棒，根据动量定理得

——〃[%）解得v/=U2=，选项B错误；

C.根据能量守恒定律得2Q=,3一夕叫+，冠）解得MN棒产生的焦耳热为。=等选项C错误；

D.对PQ棒，根据动量定理得B"f=/〃i，2—0通过PQ棒某•横截面的电荷量为夕=7,可得4=箸选项D

正确。故选Do

二、有外力等距式双棒问题

【例2】如图所示，U形光滑金属框而cd置于水平绝缘平台上，曲和de边平行，和〃c边垂直。ab>de足

够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力尸向右拉动金

属框，运动过程中，装置始终处「竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触且与A边保持平行。

经过一段时间后（）

XxxMxxxx

b

XXXXXXx

—

XXXXXxx

XxxNxxxx

①金属框的速度大小趋于恒定值②金属框的加速度大小趋于恒定值

③导体棒所受安培力的大小趋于恒定值④导体棒到金属框儿边的距离趋于恒定值

A.①②是正确的B.②③是正确的C.③④是正确的D.①④是正确的

【答案】B

【详解】由反边切割磁感线产生电动势，形成电流，使得导体棒MN受到向右的安培力，做加速运动，be

边受到向左的安培力，向右做加速运动。当MN运动时，金属框的从•边和导体棒MN一起切割磁感线，设

导体棒MN和金属框的速度分别为匕和匕，则电路中的电动势£=^（v2-v,）电路中的电/=£=则尸）

RR

金属框和导体棒MN受到的安培力F安框="2（：一北与运动方向相反F=行力?-匕）与运动方向相同

设导体棒MN和金属框的质量分别为州和，叫,则对导体棒加人「"如二比=叫《对金属框

R

F』L（「丁"生初速度均为零,则q从零开始逐渐增加，的从之开始逐渐减小。当〃产的时，相对

速陵W282Ml+叱）大小恒定。

整个运动过程用速度时间图像描述如下

综上可得，金属框的加速度趋于恒定值，安培力也趋于恒定值，②③正确；金属框的速度会一直增大，导

体棒到金属框枕边的距离也会一直增大，①④错误。故选B。

三、无外力不等距式双棒问题

【例3】两根相互平行、足够长的光滑金属导轨AC6A/。。/固定于水平桌面上，左侧4c-A/。轨道间距为

L,右侧CD-。。/轨道间距为2L,导轨所在区域存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为6。如图

所示，两横截面枳相同、由同种金属材料制成的导体棒。、〃分别置于导轨的左右两侧，已知导体棒。的质

量为〃?。某时刻导体棒”获得一个初速度血开始向右运动，导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。

关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（）

D

A

Ai

Cl1--------------Dx

A.导体棒4、力运动稳定后，相等时间内通过的位移之比是2即

4?

B.导体棒4、〃运动稳定后的速度分别为吃=三%,=-v0

JJ

C.从开始到运动稳定的过程中，通过导体棒4的电荷量为翳

5BL

D.从开始到运动稳定的过程中，导体棒力产生的热量为《相片

【答案】AD

【详解】A.设导体棒〃的电阻为R,则导体棒人的质量为2/〃、电阻为2心导体棒〃获得向右的初速度后，

导体棒。、〃与导轨组成的回路产生感应电流，根据楞次定律可判断出导体棒。受向左的安培力，开始向右

做减速运动；导体棒〃中电流方向与。相反，受到向右的安培力，开始向右做加速运动，同时产生与。相反

的感应电动势，因此电路中感应电动势为七匕23L%当〃、〃产生的感应电动势大小相等时，即

BLva=2BLvh；匕=2%电路中电流为零，此后导体棒〃、〃将分别以M、帅做匀速运动，相等时间内通过

的位移之比是2（31,故A正确：

B.在导体棒从开始运动到稳定运动的过程中，根据动量定理列方程，取向右为正方向，对导体棒。，有

__21

-BlLt=mva-mvQ.对导体棒小有2即h=2机％联立以上三式解得匕=可％，以=Q%故B错误；

C.由于通过导体棒的电荷量为g=7t根据以上分析可得=加心一机%解得“=普故C错误；

3BL

D.在整个过程中由能量守恒定律知，整个电路中产生的焦耳热为Q=《2〃就=工〃而

2226

由b棒产生的热量之比为今=；因此导体棒/，产生的热量且=:。=。?忧故D正确。故选AD。

必z39

四、有外力不等距式双棒问题

【例”如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，MN部分的宽度为2/，尸Q部分的宽度为/,金属

棒。和人的质量分别为2/〃和川，其电阻大小分别为2R和R,〃和。分别静止在MN和上，垂直于导轨且

相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为8。现对金属棒。施加水平向右

的恒力尸，两棒运动时始终保持平行且“总在MN上运动，力总在。。上运动，经过足够长时间后，下列说

法正确的是（）

Xb

A.回路中的感应电动势为零

流过金属棒a的电流大小为二

C.金属棒〃和〃均做匀速直线运动

D.金属棒〃和匕均做加速度相同的匀加速直线运动

【答案】B

【详解】ACD.对"整体分析，由于受恒定拉力作用，则经过足够长时间后最终达到稳定状态，此时回路

中的感应电动势保持恒定，则回路中的电流恒定，设两棒的加速度为曲、4,有

由于电动势恒定，则对上式两边求变化率有0=28。-4%则可得4=2q,

故ACD错误;

B.根据受力分析，由牛顿第二定律得/一％"=2〃仁；3叫;七产8〃联立解得/=与由于金属棒小

3Bl

力串联，则流过〃的电流大小也为工，故B正确。故选B.

3BI

【多维度分层专练】

1.如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，

磁感应强度大小为8。两导体棒4、〃均垂直于导轨静止放置。已知导体棒。质量为2〃?，导体棒〃质量为加；

长度均为/，电阻均为广；其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度如。除

磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（）

B

h

A.任何一段时间内，导体棒〃动能增加量跟导体棒。动能减少量的数值总是相等的

B.任何一段时间内，导体棒〃动量改变量跟导体棒“动量改变量总是大小相等、方向相反

C.全过程中，通过导体棒〃的电荷量为粤

3131

D.全过程中，棒共产生的焦耳热为嬖

6

【答案】BCD

【详解】AB.根据题意可知，两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段

时间内，导体棒〃动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反，根据能量守恒可知，。动能

减少量的数值等于〃动能增加量与产热之和，故A错误B正确；

CD.最终共速速度2〃?%=(2m+,n)v对。棒研-0=丽.f=80解得夕=驾根据能量守恒，两棒共产生的

焦耳热为。=gx2〃M-3(2/〃+，””=苧而由于两棒的电阻大小相等，因此〃棒声生的焦耳热为

竺L故CD正确。故选BCD。

26

2.如图所示，固定于水平面内的电阻不计的足够长光滑平行金属导轨间距为L质量均为〃?、阻值均为R

的金属棒而、〃垂在搁置于导轨上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上某一时刻同时给必、

源以平行丁导轨的初速度%、2绘。则两棒从开始运动至达到稳定速度的过程中()

B

A.ah中的最大电流为一1B.他达到稳定速度时，其两端的电压为0

C.速度为空时，其加速度比〃的小D.〃间距增加了微

【答案】AD

【详解】A.根据右手定则，回路产生顺时针的感应电流，根据左手定则，〃所受安培力向左做减速运动，

"所受安培力向右做加速运动，故回路中的感应电动势为七=%心-比匕〃所以，回路中感应电动势逐渐减

小，感应电流逐渐减小，稳定时回路中感应电流为零，两根杆以相同的速度运动。故初始时刻电流最大

（=&誓竺&=攀A正确；

3

B.两杆组成的系统合外力为零，动量守恒，可得机%+，小2%=2〃“解得丫=1%稳定时棒两端电压为

3

U=BLv=-BL\^,B错误：

C.根据牛顿第三定律，稳定前两棒所受安培力大小相等，方向相反，两棒的加速度也大小相等，方向相

反，C错误；

D.设出入”间距增加了羽对回路夕=7•加：7=与;后=孚；△6=8及故9=黑对/根据动量定

2AA/2A

理得应酎=8%=〃?・|%—加%解得工二^^,D正确。故选AD。

3.如图，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为心有两根完全相同的金属棒〃和〃垂直静置

于水平光滑平行金属导轨上。导轨间距为L电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒质量均为〃?，

电阻均为凡某时刻给。施加一个水平向右的恒力R关于。、6棒最终的状态，下列说法正确的是（）

XZ）XXaX

XXXXX

F

XXXXX

XXXXX

A.〃、6棒处于相对静止的状态R.〃棒受到的安培力与下是一对平衡力

c.人棒的加速度为:D回路中的电功率为黑

2m

【答案】CD

【详解】A.开始时。棒在拉力和安培力作用下加速运动，此时速度较小，安培力较小，加速度较大，A棒

在安培力作用下做加速运动，此时安培力较小，加速度较小，。速度增加的比力快，则根据

E=8L（匕-匕）回路电动势增加，安培力增加，则〃加速度减小，。加速度增加，最终稳定时，两棒的速度差

恒定即加速度相同，安培力不再变化，故。相对于〃向右运动，故A错误；

B.由上分析可知，拉力尸大于〃受到的安培力，故B错误；

C.最终稳定时，两棒受到的安培力等大反向，对整体根据牛顿第二定律尸=2〃以解得故C正确；

2m

D.对小根据牛顿第二定律=〃以对儿根据牛顿第二定律8/二〃以解得/=与回路中的电功率

2BL

RF2

P=2R〃=—r故D正确。故选CD。

2BL

4.如图所示，光滑金属导轨M、N互相平行，相距为L,两金属棒〃和垂直于导轨且紧靠着放置，它们

的质量均为机，在两导轨之间的电阻均为凡整个装置位于水平面内，处于磁感应强度大小为反方向竖直

向下的匀强磁场中，导轨电阻忽略不计，长度足够长。1=0时刻对棒。施加一平行于导轨的恒力E在/=

〃时刻电路中电流恰好达到稳定，然后在右乙+4时刻撤去力F,则（）

A."时刻两金属棒的加速度相同

FRZ

B.在ti（//+△，）时间内。、力两棒位移之差为

C.撤去力F后，导轨之间的电势差UMN逐渐增大

尸&+△，）

D.撤去力产后，两个导体棒最终速度为

【答案】ABD

【详解】A."棒在拉力/作用下向右做加速运动切割磁感线，与力棒组成回路，所以8棒在安培力作用下

向右做加速运动，电路中的总电动势为七二8乙匕-8人以：〃棒做加速度减小的加速，。棒做加速度增大的加

速，当加速度相等时，电路中的电流恒定，故〃时刻两金属棒的加速度相同，A正确；

尸

B.〃时刻由牛顿第二定律，对4：F-BIL=ma：对bBIL=ma故F—B/L=B/L即尸=2B/L其中I=丁

2A

PR

E=-8L以=BLAi，解得Au二万陪因为在〃~（Z/+Ar）时间内，两杆速度差保持不变，故〃、b两棒位

移之差为—=黑'B正确;

（匕-%）R_（匕,+】％）

C.撤去力尸后，由闭合电路欧姆定律可知UMV=E,「/R=A/%-由动量守恒可知

2R2

〃叫+〃即匕+所以恒定，错误;

n%=C5=KUMNC

D.撤去力尸后，两个导体棒水平方向合外力为零，动量守恒，最终二者共速，设共速速度为％全过程两

金属棒受到的安培力始终等大、反向，作用时间相等，故安培力对两金属棒的冲量等大、反向。设全过程

安培力对金属棒的冲量大小为/次规定向右为正方向，对金属棒。应用动量定理可得

安=m，-0对。应用动量定理可得/次=〃?”0联立可得）；=气产，D正确。故选ABD。

5.如图所示，导体棒〃、〃分别置于平行光滑水平固定金属导轨的左右两侧，其中。棒离宽轨道足够长，b

棒所在导轨无限长，导轨所在区域存在垂直导轨所在平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为瓦已知

导体棒的长度等于导轨间的距离，导体棒粗细均匀，材质相同，。棒的质量为机，电阻为R,"棒的长度为

心。棒的长度为2L。现给导体棒。一个水平向右的瞬时冲量/。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好,

不计导轨电阻，关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（）

Xxx

x-^yXXBb

a1

XXX

A.导体棒。稳定运动后的速度为丁

B.导体棒人稳定运动后的速度为g

C.从开始到稳定运动过程中，通过导体棒。的电荷量为占

3BL

D.从开始到稳定运动过程中，导体棒〃产生的热量为£

18w

【答案】AC

【详解】AB.导体棒a受向右的瞬时冲量I,由动量定理可知导体棒的初速度％=,导体棒开始向右运动后,

m

受安培力作用做减速运动，导体棒b受安培力作用开始向右做加速运动，当两棒产生的感应电动势大小相

等时，回路中的电流是零，两棒不在受安培力作用，均做匀速直线运动，达到稳定状态，则有BLv（l=B2Lvb

解得a=2跖对a棒，由动量定理得-8-小叼对b棒，由动量定理得B]2L&=2〃八力解得匕

3m

V=—,A正确，B错误;

b3/n

C.设从开始到稳定运动中，经导体棒a的电荷量为q,则有9=7♦Z结合-87£・△/=〃"%-〃?见解得

，/=翳=高，C正确;

D.从开始到稳定运动中，对整个电路，由能量守恒定律可得片=3m，：+:x2〃?n：+Q解得0=」二

2226m

r

QQ=:Qh=—Q=—»D错误。故选AC。

『；18mb39/n

6.如图，足够长的平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，虚线。。左侧导轨间距为2L,右侧导轨间距

离为心垂直导轨平面有竖直方向的匀强磁场，以。。为分界线，左侧磁感应强度大小为8、方向向下；右

侧磁感应强度大小为2B、方向向上。导体棒〃、垂直导轨放置，棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计。

现使棒。获得一向左的水平速度匕，在两棒之后的运动中，导轨M、N两端的电势差U,wv，导体棒〃、〃的

速度匕、以，以及棒。、沙受到的安培力乃、&与时间，的关系，下列图像大致正确的有（）

：C

【答案】AB

【详解】BC.导体棒。向左运动，穿过闭合回路的磁通量发生变化，产生感应电流，根据楞次定律和左手

定则可知，。受到的安培力向右、〃受到的安培力向右，故。向左做减速运动，。向右做加速运动，当穿过

闭合回路的磁通量不再变化，回路不再有感应电流，两棒均做匀速运动，匀速运动时应有=

即得匕=匕当定义向左为止方向，B图大致正确，故B1E确，C错误；

A.根据右手定则，导轨例、N两端的电势差UMN=-2/"%+引也.由于b棒开始做加速度减小的加速度运动,

当两棒产生的电动势大小相等时，回路中的电流为0,最后匀速运动，最后M、N间的电压为B小，A正确;

D.根据以上分析可知，两棒受到的安培力方向相同，故D错误。故选AB。

7.如图所示，历。/力和42历c2d2为竖直放置且共面的金属导轨，处在垂直导轨平面（纸面）问里的匀强磁

场中磁感应强度为瓦导轨的历段与42历段距离为/,々力段与C2心段距离为2/。p、q为两根用不可伸长

的绝缘轻线相连的金属细杆，质审分别为，"和2，〃，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨

构成的回路的总电阻为心尸为作用于金属杆q上的恒力，方向竖直向上。已知两杆运动到图示位置时，已

匀速向上运动，则此时（）

%可

A.p杆受到的安培力方向竖直向下

B.p杆受到的安培力大小为F-3/咫

C.p杆中的电流大小为上誓

D.p杆匀速运动的速度大小为勺潸'

【答案】BD

【详解】A.q杆和p杆在厂的作用下，竖直向上运动，两杆都切割磁感线，两杆上都产生感应电动势，若

将他们各自都看作电源，则根据右手定则，都是右边为正极，左边为负极，这样两杆产生的电动势要进行

抵消之后才是整个电路中总的电动势。即石=32/1，-4/»=卸1，闭合同路中的电流方向为逆时针（：电流大小处

处相等，根据左手定则判断，P杆受到的安培力方向竖直向上，记为/如A错误；

B.因为q杆长度是p杆的两倍，故其受到的安培力大2r玄，方向竖直向下。系统做匀速直线运动，受力平

衡，对P、q组成的系统进行受力分析可得：/+%=2七+3〃?g解得是/-3叫故B正确;

C.由F交=8〃二尸一3〃吆得/=与空，C错误；

Bl

D.由七=即=嘿1=F-3mg得v工一3叩R,D正确。故选BD。

8.如图所示，将两根质量均为，〃=2kg的金属棒〃、5分别垂直地放在足够长的水平导轨MNMM和PQPQ'

上，左右两部分导轨间距分别为0.5m和1m,左右两部分导轨间有磁感应强度8=10T,方向相反的匀强磁

场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，金属棒》开始时位于图中M尸位置，金属棒。在N。位置，

金属棒〃用绝缘细线绕过光滑定滑轮和一物块。相连，。的质量帆=3kg,c开始时距地面的高度〃二詈m。

物块c,由静止开始下落，触地后不反弹，物块c触地时两棒速率之比匕：％=1：2,物块c下落过程中〃棒上

产生的焦耳热为20J,设导轨足够长且两棒始终在磁场中运动，g=10m/s2,整个过程中导轨和金属棒接触

良好，且导轨光滑，求：

(1)物块c触地时，力棒的速度大小；

(2)从。开始运动到c落地的过程中通过方棒的电荷量；

(3)从物块c触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。

【答案】＜1)8m/s；(2)1.6C：(3)28.8J

【详解】(1)金属棒。、。的有效长度分别为L和2L,电阻分别为/?和2凡金属棒人人串联，在任何时

刻电流均相等，。棒产生的焦耳热Q=20J,根据焦耳定律。=尸心得。棒上产生的焦耳热为。/=10J

根据能量守恒定律有fngh=；〃”；+：(/〃+叫)V；+Q+(2,根据题意有y而叨,=1团2解得va=4m/s,vb=3m/s

（2）对〃，由动量定理由0乂4=小加解得“=1.6C,4与人串联，相同时间通过的电量相等,

所以从〃开始运动到c•落地的过程中通过〃棒的电荷量为1.6C。

（3）物块c触地后，。棒向左做加速运动，。棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电路中电流为零，即

两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设磁感应强度大小为B，则BIA，“'=B-26:得

对两棒分别应用动量定理，有BILt=mv^-mva;-BI-2Lt=-mvb解得---7=不联立以上各式解得M

匕>712

=6.4m/s,M=3.2m/s根据能量守恒定律，从物块c触地到两棒匀速运动的过程中系统产生的热量为

Q、+；〃?匕：一3机匕'2代入数据,解得0=28.8J

9.如图（a）所示，在水平面内固定有两根平行且足够长光滑金属导轨MM尸。，间距为L,电阻不计。以

P。上的。点为坐标原点，沿导轨建立如图所示的工轴。导轨间x>0区域内存在竖直向上的磁场，磁感应

强度B随位置坐标x的变化规律如图（b）所示（图中为，d已知）。金属棒。置于x=（）处，金属棒〃置于

的某处，两棒均与导轨垂直且始终接触良好，电阻均为凡质量均为小。/=0时，锁定人棒，。棒获

得瞬时初速度%并在拉力的作用下开始做匀速直线运动。

（1）求。棒运动到x=c/处回路中电流的大小；

（2）写出。棒从x=（）处运动到x=d处的过程中回路中电流，与时间的关系式并求出此过程中通过。棒的电

荷量：

（3）当。棒运动到x=d处时，撤去拉力，同时解锁力棒，假设。、沙棒不会相碰，求此后回路中产生的焦

耳热。

4，%

【答案】（1）

2R⑵毋符（。“彳〉字⑶那

【详解】（1）根据题意，由图（b）可知，“棒运动到x=d处时，此处的磁感应强度为晶，则感应电动势

为&=B°Lv。；“棒运动到x=4处|可路中电流的大小/。=枭=要

2A2A

（2）根据题意，由图（b）可知，磁感应皿度5与x的关系式为6=2综一4x（O0x5d）由于口棒获得瞬时

a

初速度％并在拉力的作用下开始做匀速直线运动，设运动时间为1,则有X=%Z则/时刻，磁感应强度为

8=28。一竿（04/W，感应电动势为E=8L%=2综L%-第感应电流为

，=华■-空¥（。4区4根据题意可知，感应电动势为石=丝感应电流为/=三=普通过〃棒的

R2Rd1%J