陕西省2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（三）北师大版（含答案）

陕西省2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2024•连州市二模）以下是某些地区建筑的外形图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（）

2.（3分）（2025春•高碑店市期末）对于题目“如图，BC=6cm,NP8C==,点.“在线段

C8上以3c〃泳的速度由点。向点8运动，同时，点N在射线CQ上以的速度运动，它们运动的

时间为/（s）（当点M运动结束时，点N运动也随之结束）.在射线8P上取一点4,在点M,N运动到

某处时，存在4ABM与4MCN全等,求此时/的值.”甲的结果是0.5,乙的结果是1,丙的结果是1.5,

则下列说法正确的是（）

A.甲、乙两人的结果合起来才对

B.乙、丙两人的结果合起来才对

C.甲、丙两人的结果合起来才对

D.甲、乙、丙三人的结果合起来才对

3.（3分）（2024春•嘉兴期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）

A.（x+3）（x-3）=f-9B.（x+y）2=9+29吗7

C.2x+1=x（2+i）D.a2-2a+\=（a-1）2

4.（3分）（2025春•武城县期末）关于x不等式x-a>2有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是

（）

A.-5，V-4B.-5<a<-4C.-5，W-4D.-5<a^-4

5.（3分）（2025秋•台州期中）如图，CE平分NBCQ且CE_LBO于点E,NDAB=NDBA,AC=22,△

BCD的周长为32,则BD的长为（）

6.（3分）（2025春•白银期末）若9/+（4-2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）

A.±24B.±26C.26或-22D.-26或22

7.（3分）（2024春♦洪山区期末）如图，函数y=|履-〃|（%#（））的图象与x、y轴分别交于点8和4（0,

3）两点，与函数尸上交于点。、。，若。点纵坐标为1，则依・/）区分的解集为（）

8.（3分）（2023春•郊县期中）如图，在△月6。中，AB-AC-5,8。一8,点。是边，一点（点。不

与点8,点。重合），将4c绕点4顺时针旋转至4。，ACi交BC于点、”,且力。平分NC4。，若。。

//AB,则点B到线段AD的距离为（）

3l7V10「

.-V10B.-^―C.2V5

二,填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

9.（3分）（2025秋•南昌期末）多项式3标方2_6/c的公因式是.

10.（3分）（2025春•齐齐哈尔期末）如图/出=3°*BC=5cni,AC=4cm,将△48C沿8c方向平移2所,

得到△OEF,连接力。，则阴影部分周长为cm.

II.（3分）（2025秋•温江区校级期中）如果不等式组5+1>3的解集是》>2,则。的取值范围

是.

12.（3分）（2023秋•确山县期中）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”.芾出绶

溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.如

图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形力8C,AB=AC,。是边8c上的一点.请你添加一个条件说明

力。是△力8c的角平分线的是.

13.（3分）（2025•惠州二模）如图，等腰Rt△48c中N4C8=90°,48=4,点尸为斜边中点，点。在

C8上且。。=1,将C。绕点。在平面内旋转，点。的对应点为点。，连接P0.则P0的最大值

为•

14.（5分）因式分解:

(1)2尔+6。2X2；

(2)炉z-3xy：

(3)-5abe•1OabI15«；

(4)27a2hc-9ab2c+3ahc2.

2x4-1x+2

15.（5分）（2024•雁塔区校级模拟）解一元一次不等式:

3

16.（5分）（2024秋•东台市期中）如图，已知点。、E在48上，RAB=AC,BE=CD.求证：AADE

是等腰三角形.

BDEC

17.（5分）（2025秋•长春期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结

合图象研究函数性质的过程.下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数y=

x+3(x<0)的图象与性质，并解决如下问题.

|x-l|+2(x>0)

(1)当x=-3时，y=；当x=4时，y=

（2）在平面直角坐标系中画出函数图象;

（3）已知点（a,2）在这个函数图象上，求a的值;

1

（4）当一段工工工3时，歹的取值范围为；

（5）点P、。是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为力、・b+l.小明对P、。之间（含尸、Q

两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随b的变化而变化时，直接写出b的取

值范围.

yA

r-n6--

6x

18.（5分）如图，在Rt△44c中，Z/iCZ?=90°,ZJ=30°,CO是斜边力4上的高，40=2.求力8的

长度.

B

D

--------------------

19.（5分）如图，将三角形力5c先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形出团Ci，

写出各顶点平移前后的坐标.

20.（5分）（2024秋•原州区校级月考）如图，某地有如图所示的三条公路OB,AB,计划修建一座

物资仓库，希望仓库到三条公路的距离相等，你能确定出仓库。应该建在什么位置吗？请在图中画出

你的设计.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

21.（6分）（2025春•铁西区期中）如图，在平面直角坐标系中，△力8C的三个顶点坐标分别为力（-1,

1）,8（-2,3）,C（-5,2）.

（1）画出△力4c向右平移6个单位长度后得到的△力归I。，并写出点。的坐标:

（2）画出△力8。绕点力逆时针旋转90°后得到的△力例。2，并写出点。2的坐标.

22.（7分）（2024春•崂山区期末）某校学生会组织七年级和八年级共50名学生参加环保活动，七年级学

生平均每人收集16个废弃塑料瓶、八年级学生平均每人收集24个废弃塑料瓶，请你根据以上信息，设

计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案.

23.（7分）已知：如图，△力6c的边力4的中垂线与边4C的中垂线相交于点O.求证：AO=BO=CO.

24.（8分）（2025春•市北区期中）【猜想】

两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值.

【验证】

（1）设两个相邻的整数为-2,-1,则它们平均数的平方为;它们平方的平均

数为;-2,-1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差

为.

【说明】

（2）设两个相邻整数分别为“，。+1,用代数式说明猜想成立，并求出这•定值.

25.（8分）（2024秋•黔西南州期末）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，黔西南州某中学走

进某企业，开展了“舌尖上的刺梨，研究中的成长”实践活动.巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知

识解决下列问题：

每盒刺梨原汁定价120元，每盒刺梨干定价20元，优惠方案有以下两种：

方案一：买一盒刺梨原汁送一盒刺梨干；方案二：刺梨原汁和刺梨干都按定价打八点八折.

现某客户需要购买刺梨原汁30盒，刺梨干x盒.（x>30）

（1）若该客户按方案一购买，需付款（用含x的式子表示），若该客户按方案二购买，

需付款元（用含x的式子表示）；

（2）试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的.

26.（1（）分）（2025•扬州三模）在Rt△川5c中，ZACB=9（）°,点。为斜边力3上的动点（不与点4B

重合）.

c

C

E

图①图②

(l)操作发现：如图①，当4c=8C时，把线段CO绕点。逆时针旋转90°得到线段。£,连接

BE.

①NC8E的度数为；

②力。和8E有什么数量关系，请写出你的探究过程；

(2)探究证明：如图2,当月。=2力。时，把线段C。绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍,

记为线段CE.

①在点。的运动过程中，请判断力。与8E有什么数量关系？并证明；

⑦若4c=&.在点。的运动过程中,当△以£1的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CAE的面积.

参考答案

选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2024•连州市二模）以下是某些地区建筑的外形图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（）

【考点】中心对称图形：轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】D

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,

如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，

进行逐一判断即可.

【解答】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意：

故选：Q.

【点评】本题主要考查了轴而称图形和中心对称图形的识别,熟练掌握相关定义是解答本题关键.

2.（3分）（2025春•高碑店市期末）对于题目,‘如图，BC=6cm,NPBC=/QCB=60"，点A/在线段

C3上以3c〃/s的速度由点。向点8运动，同时，点N在射线。。上以的速度运动，它们运动的

时间为/(s)(当点M运动结束时，点N运动也随之结束).在射线8P上取一点力，在点M,N运动到

某处时，存在丛ABM与AMCN全等,求此时Z的值.”甲的结果是0.5,乙的结果是1,丙的结果是1.5,

则下列说法正确的是()

A.甲、乙两人的结果合起来才对

B.乙、丙两人的结果合起来才对

C.甲、丙两人的结果合起来才对

D.甲、乙、丙二人的结果合起来才对

【考点】全等三角形的判定.

【专题】三角形：图形的全等；几何直观；推理能力.

【答案】B

【分析】依题意得CM=3/C7〃，CN=tcm,BM=BC-CM=(6-3/)cm,再分两种情况讨论：①当力8

=CM,8M=CN时，则由氏W=CN得6-3/=3由此解得1=1.5,②当4B=CN,

4A/-CA/时，则匕△NCA/,由得6-3f=3f,由此解得，=1,综上所述即可得出答案.

【解答】解：依题意得：CM=3tcm,CN=tcm,

•：BC=6cm,/PBC=/QCB=6D0,

:,BM=BC-CM=(6-31)cm,

当在与△MCN全等时，有以下两种情况：

①当力8=CM,BW=CN时，则△彳8Mg△MCN(S力S),

由6M-CN,得：6-3r-n

解得：f=1.5,

②当力8=CM时，则△48”名△NCM(S49),

由8M=CM,得：6-3z=3/,

解得：z=l,

综上所述：乙、丙两人的结果合起来才对•.

故选:B.

【点评】此题土要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解次问题的关健.

3.(3分)(2024春•嘉兴期末)下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是()

A.(x+3)(x-3)=W-9B.(x+y)2=x1+2x)^-y2

C.2x+l=x(2+i)D.a2-2a+l=(a-1)2

【考点】因式分解的意义.

【专题】整式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可.把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分

解.

【解答】解：(x+3)(x-3)=/-9,是整式的乘法，不是因式分解，故选项/不符合题意；

(x+y)2=f+2盯+/，等式右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故选项3不符合题意；

(a+b)(a-b)=a2-b2,等式右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故选项C不符合题意；

『-2a+l=(a-1)2,从左到右是因式分解，故选项。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义.

4.(3分)(2025春•武城县期末)关于x不等式x-a>2有且只有2个负整数解，那么。的取值范围是

()

A.・5WaV・4B.-5<a<-4C.・5WaW-4D.-5VaW・4

【考点】一元一次不等式的整数解.

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】由x-a>2得x>a+2,根据不等式有且只有2个负整数解，知-3W"2<-2,解之即可得出

答案.

【解答】解：由x-。>2得x>〃+2,

•・•不等式有且只有2个负整数解，

:.-3<a+2V-2,

解得—V-4,

故选：A.

【点评】本题主要考直一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不

等式的基本性质.

5.（3分）（2025秋•台州期中）如图，CE平分/BCD且CELBD于点、E,NDAB=NDBA,AC=22,△

8CQ的周长为32,则8。的长为（）

A.10B.IIC.12D.16

【考点】等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】先证明△C£。丝（4S4）,得至lj8C=QC,再■由ND4B=NDB4,得至故AC

=AD+CD=BD+CD=22,再根据△8CQ的周长为32,BPBC+CD+BD=32,可求出8c=10=CO,从

而40=32-10-10=12.

【解答】解：・・・以平分N8CD且CE_L8。于点E,

•:NDCE=NBCE,NCED=/CEB=90°,

在ACED和ACER中，

ZDCE=乙BCE

CE=CE,

Z.CED=乙CEB

:.XCED在XCEBCASA）,

:.BC=DC,

■:NDAB=NDBA,

:.DA=DB,

：,AC=AD+CD=BD+CD=22.

又,：2BCD的周长为32,即BC+CD+BD=32,

:・BC=10=CD,

••・80=32・10・10=12.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分析图形并熟练运用这些性

质是解题关键.

6.（3分）（2025春•白银期末）若9『+（八2）x+16能用完全平方公式因式分解，则上的值为（)

A.±24B.±26C.26或-22D.-26或22

t考点】因式分解-运用公式法.

【专题】整式：运算能力.

【答案】C

【分析】根据完全平方公式的结构特征解答即可.

【解答】解：若9f+a-2）x+16能用完全平方公式因式分解,

则A-2=±2X3X4,

解得4=26或4=-22,

故选：C.

【点评】本题考查了因式分解■运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

7.（3分）（2024春•洪山区期末）如图,函数y=|京-b\（攵W0）的图象与x、y轴分别交于点8和4（0,

若D点纵坐标为1,则欧-b\<的解集为（）

665

A.-<x<-B.-<x<2C.-<x<2D.-<x<-

626

【考点】一次函数与一元一次不等式;两条直线相交或平行问题；一次函数的性质.

【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式：几何直观；运算能力.

【答案】C

【分析】由题意可知b=3,D（2,1）,然后求得点C的坐标，根据图象即可求解.

【解答】解：设8（〃?，0）,

kx-b(x>m)

则尸

—kx+h(x<m')

把y=l代入尸%得，-x=1

解得x=2,

:,D(2,1),

*：A(0,3),

:・b=3,

把。的坐标代入歹=依-3中，得2k-3=1,

解得去=2,

：,y=\2x-3\,

ry=-2x+3（x=^

解1,得！t

卜=尹[y=l

63

C（—»-）,

JJ

16

观察图象，依-b\<会的解集为二<x<2.

乙5

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，两条直线相交问题，求得C、。的

坐标是解题的关键.

8.（3分）（2023春•郊县期中）如图，在△/BC中，AB=AC=5,BC=8,点、D是边BC上一点、（点。不

与点8,点。重合），将彳。绕点4顺时针旋转至4G，ACi交BC于点、H,且彳。平分NC/G，若。。

〃彳乱则点夕到线段力。的距呼为（）

3I—7V10厂l

A.-<10B.――C.2V5D.3V10

【考点】旋转的性质：平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】A

【分析】过点8作8尺L4。于R过点4作4£_LBC于£,由等腰三角形的性质可得。：=8E=4,ZC

=ZABC,由勾股定理可求力E的长，由“S4S”可证△4CO空△/Ci。，可得NC=/Ci，可求4B=DB

=5,由面积法可求解.

【解答】解：如图，过点8作4凡L/O于产，过点力作《El8c于E,

'：AB=AC=5,8c=8,AELBC,

:.CE=BE=4,ZC=ZABC,

:,AE=y/AB2—BE2=V25-16=3,

V将4c绕点A顺时针旋转至AC\,

：.AC=ACi，

•••力。平分NO。，

：,ZCAD=ZC\AD,

在△力CO和△AGO中，

AC=4cl

（CAD=Z.CrAD^

AD=AD

^\ACD^/XAC\D（SAS）,

AZC=ZCi，

*：DC\//AB>

:・/C尸NH4B,

•；N4DB=NC+/C4D,ND.4B=/DACi+NH4B,

:・NDAB=NADB,

工AB=DB=5,

:.DE=BD-BE=\,

：.AD=>JAE2+DE2=A/9+7=V10,

11

Sj\ABD=2xBD・AE=2xAD，BF,

A5X3=VlOx^F,

.・.RA"F=-37-1-0.

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求

出力。的长是本题的关键.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

9.（3分）（2025秋•南昌期末）多项式3“3b2・6『c的公因式是二足.

【考点】公因式.

【专题】因式分解：运算能力.

【答案】32

【分析】系数部分：系数3和6的最大公约数是3；字母部分：。的最小指数为2,故公因式为3次.

【解答】解：多项式3/庐-6『。的公因式是3a2.

故答案为：3『.

【点评】本题节食了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键.

10.（3分）（2025春、齐齐哈尔期末）如图4B=3cm5c=5cm,ZC=4cm,将△Z8C沿5c方向平移2cm,

得到△/）£「，连接力。，则阴影部分周长为12cm.

【考点】平移的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】12.

【分析】先利用平移的性质得到/=2。〃，DF=AB=3cm,则CE=3。〃，然后计算阴影部分的周

长.

【解答】解：由平移的性质可知，AD=BF=2cm,DF=AB=3cm,

,:CF=BC-BF=5-2=3c〃i,

/.阴影部分的周长为AD+CF+AC+DF=2+3+4+3=12（cm）.

故答案为：12.

【点评】本题考查的平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

U.（3分）（2025秋•温江区校级期中）如果不等式组”的解集是x>2,则。的取值范围是a

A-x<-a

--2.

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】aW-2.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小，结合不等式组的解集可得答案.

【解答】解：由x+l>3,得：x>2,

[±I4-x<-a,得:x>a+4,

•・•不等式组的解集为x>2,

••・a+4W2,

解得“W-2.

故答案为：aW-2.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同

小取小：大小小大中间找：大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

12.（3分）（2023秋•确山县期巾）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”.莆田绶

溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.如

图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形力8C,AB=AC,。是边8c上的一点.请你添加一个条件说明

AD是AABC的角平分线的是4D±BC（答案不唯一）.

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】AD±BC（答案不唯一）.

【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可求解.

【解答】解：添加一个条件为

•・•△ABC是等腰三角形，AB=AC,且/IDLBC,

・・・/。是△48c的角平分线（底边上的中线，•岛.线，顶角的平分线是同一条线），

故答案为：ADLBC（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键.

13.（3分）（2025•惠州二模）如图，等腰。中/4。8=90°,48=4,点尸为斜边中点，点。在

CB上且CO=1,将CQ绕点。在平面内旋转，点。的对应点为点。，连接尸。.则P0的最大值为3.

【考点】旋转的性质；等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【答案】3.

1

【分析】连接C尸，因为点P为RtZ\/8C斜边44的中点，AB=4,所以CP=R4=2,由旋转得CQ=

CD=\,由PQWC尸+CQ,得PQW3,则P0的最大值为3,于是得到问题的答案.

【解答】解：连接CP,

是等腰直角三角形，ZACB=90a，点〃为斜边的中点，AB=4,

1

：.CP=^AB=2,

•・•点。在C8上且CO=1,将CO绕点C在平面内旋转，点Z)的对应点为点°,

：,CQ=CD=\,

，：PQ&CP+CQ,且CP+CQ=3,

:・PQ03,

，夕。的最大值为3,

故答案为：3.

【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、两点之间线段最短等知

识，正确地添加辅助线是解题的关键.

三.解答题(共13小题，满分81分)

14.(5分)因式分解：

(1)2ax3+6a2x2；

(2)3/尹6疗z・3xy；

(3)-5abc+\0ab+\5a；

(4)27a2bc-9ab2c+3ahc2.

【考点】因式分解■提公因式法.

【专题】因式分解：运算能力.

【答案】(1)2a?(x+3a)；

(2)3xy(x+2yz-I)；

(3)-5a(be-2b-3)；

(4)3abc(9a-3b+c).

【分析】(1)先确定公因式2.x2,再提取即可;

(2)先确定公因式3孙，再提取即可；

(3)先确定公因式・5a,再提取即可；

(4)先确定公因式3"c,再提取即可.

【解答】解；(1)2(^3I6a2x1=2ax2(A-I3CZ)；

(2)3x2y+6x)^z-3xy=3xy(x+2yz-1)；

(3)-5abc+\0ab+\5a=-5aChe-2b-3)；

(4)27a~be-9ab2c+3ab(r=3abc(9a-3b+c).

【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关健.

2Y+1Y4-2

15.（5分）（2024♦雁塔区校级模拟）解一元一次不等式：——--<2.

36

【考点】解一元一次不等式.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】x<4.

【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答,

2x+lx+2

【解答】解:<2,

夫分母.得2(2x+1)-(x+2)<12.

去括号，得4x+2・x・2V⑵

移项，得4.LXV12-2+2,

合并同类项，得3xV12,

系数化为I,得x<4.

【点评】本题考查了解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

16.（5分）（2024秋•东台市期中）如图，已知点。、E在上，H.AB=AC,BE=CD.求证：AADE

是等腰三角形.

【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观：推理能力.

【答案】证明见解答.

【分析】首先由得〃。=。七，再由得N8=NC,由此可依据“S4r判定△力8。和4

ACE全等,从而得力。=/£据此即可得出结论.

【解答】证明：

：,BE-DE=CD-DE,

即BD=CE,

.AB=AC,

：./B=/C,

在△/也。和△力CE中，

AB=AC

乙B=乙C,

BD=CE

：.AABD^/^ACE(SAS),

；・AD=AE,

•••△CQE是等腰三角形.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问

题的关键.

17.(5分)(2025秋•长春期中)在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结

合图象研究函数性质的过程.下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数y=

G+3(X<-0)的图象与性质，并解决如下问题.

(|x-l|+2(x>0)

(1)当x=-3时，y=0；当x=4时，y=5；

(2)在平面直角坐标系中画出函数图象；

(3)已知点(“，2)在这个函数图象上，求。的值；

(4)当一*4x43时，y的取值范围为2WyW4；

(5)点，、。是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为6、-A+1.小明对P、。之间(含〃、Q

两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随6的变化而变化时，直接写出b的取

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象：一次函数的性质.

t专题】一-次函数及其应用；几何直观；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据自变量X的不同取值范围分别代入相应函数解析式中即可求解.

（2）描点，连线画出函数图象即可.

（3）观察图象求解即可；

（4）根据图象即可求解；

（5）可求点P、。在直线x=去的两侧，当x=l,y呆小位=2,当x=0时，y域大值=3,当图象对应函数的

最大值与最小值均不随，〃的变化而变化，而当x=2时，y=3,x=-l时，y=2,故当人由题意

得：｛:鼠「+1W0,则0W2；当力<4，由题意得：］；V2则.iWbWO,从而可得答

案.

【解答】解：（1）Vx=-3<D,

，把x=-3代入y=x+3中，得了=0,

V4>0,

・••把x=4代入y=|x・1|+2中,得y=5,

故答案为：0,5；

（2）如答图所示：

I---a---I---I---I--I6----I---I---I--I---I--I

（3）点（a,2）在这个函数图象上，观察图象可知。=-I或。=1.

（4）由图象可知，当一时，y的取值范围为2《y《4.

故答案为：2WyW4.

（5）;点P、。是该图数图象上不重合的两点，横坐标分另！为A-b+\,

••・点尸、。在直线广亭的两侧，

当x=l,Vfii小值=2，当x=。时，y=

•・•当图象对应函数的最大值与最小值均不随力的变化而变化，而当工=2时，y=3,x=-1时，y=2,

综上：-1W6W0或1W8W2.

t点评】本题是分段函数的函数值求法及其图象画法，•次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意，

利用数形结合的思想是解决本题的关键.

18,(5分)如图，在RtZX/8。中，ZJC/?=90°,N/=3()°,C。是斜边力4上的高，BD=2.求力4的

长度.

【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】8.

【分析】先在RtZ\"C中，利用含30度角的直角三角形性质可得44=28C,NB=60。，再根据垂直

定义可得NCO4=9()°,从而可得NBCD=30°,然后在中，利用含30度角的点角三角形性

质可得8c=24。，即可解答.

【解答】解：在Rt△48c中，ZACB=90°,4=30",

：・AB=2BC,Z5=90°-N幺=60°,

,JCDLAB,

：・NCDB=90",

：・4BCD=90°・NB=30°,

:,BC=2BD,

'：BD=2,

:・AB=4BD=8.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进

行分析是解题的关键.

19.(5分)如图，将三角形/也。先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形小田口，

写出各顶点平移前后的坐标.

【考点】平移的性质.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】平移前：点彳(-2,6),点8(・4,4),点C(1,1),

平移后：点4(4,4),点、Bi(2,2),点Ci(7,-1).

【分析】根据所给平面直角坐标系，写出各顶点平移前后的坐标即可.

【解答】解：由所给图形可知，

平移前：点力(-2,6),点B(-4,4)，点。(1,1),

平移后：点小(4,4),点勺(2,2),点。(7,-1).

【点评】本题主要考查了平移的性质，能根据所给平面直角坐标系写出各顶点平移前后的坐标是解题的

关键.

20.(5分)(2024秋•原州区校级月考)如图，某地有如图所示的三条公路OB,AB,计划修建一座

物资仓库，希望仓库到三条公路的距离相等，你能确定出仓库尸应该建在什么位置吗？请在图中画出

你的设计.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

【考点】作图一应用与设计作图；角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力.

【答案】如图，仓库「应该建在Pi，P2,乃，2的位置.

【分析】分别作△480内角的平分线交于点P，再作△ZB。外角的平分线分别交于点尸2,P3,P4,根

据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得P，02,P3,户4即为所求作的。点位置.

【解答】解：如图，仓库户应该建在P，尸2,为，。4的位置.

【点评】本题主要考查了作图■应用与设计作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本

题的关键.

21.(6分)(2025春•铁西区期中)如图，在平面直角坐标系中，△48C的三个顶点坐标分别为力(-1,

1),8(-2,3),C(-5,2).

(1)画出△48c向右平移6个单位长度后得到的△由8iCi，并写出点Q的坐标；

(2)画出△48C绕点4逆时针旋转90°后得到的△力82c2,并写出点。2的坐标.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】（1）画图见解答；点Ci的坐标为（1，2）.

（2）画图见解答：点Q的坐标为（-2，-3）.

【分析1（1）根据平移的性质作图，即可得出答案.

（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案.

【解答】ft?:（1）如图，AJiBCi即为所求.

由图可得，点G的坐标为（1,2）.

【点评】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的

关键.

22.（7分）（2024春•崂山区期末）某校学生会组织七年级和八年级共50名学生参加环保活动，七年级学

生平均每人收集16个废弃塑料瓶、八年级学生平均每人收集24个废弃塑料瓶，请你根据以上信息，设

计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案.

【考点】一元一次不等式的应用.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识.

【答案】提出问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活

动？

解决问题：至少需要25名八乞级学生参加活动.

【分析】提出问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活

动？

解决问题：设需要x名八年级学生参加活动，则需要（50-x）名七年级学生参加活动，根据所收集的

塑料瓶总数不少于1000个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【解答】提出问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活

动？

解决问题：解：设需要x名八年级学生参加活动，则需要（50・x）名七年级学生参加活动，

根据题意得：16（50-X）+24x21000,

解得：x225,

Ax的最小值为25.

答：至少需要25名八年级学生参加活动.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题

的关键.

23.（7分）已知：如图，△彳8C的边力8的中垂线与边力C的中垂线相交于点O.求证：AO=BO=CO.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】证明见解析.

【分析】由线段垂直平分线的性质得到。力=。8,OB=OC,即可证明问题.

【解答】证明；△43。的边N8的中垂线与边X。的中垂线相交于点O,

・.0/1=08,OB=OC,

：,AO=BO=CO.

【点评】本题考查线段垂宜平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到04=（加，O8=OC.

24.（8分）（2025春•市北区期中）【猜想】

两个相邻整数的''平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值.

［验证】

95

（1）设两个相邻的整数为-2,-1,则它们平均数的平方为一:_；它们平方的平均数为_工_:-2,

42

-1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为.

【说明】

（2）设两个相邻整数分别为。，。+1,用代数式说明猜想成立，并求出这一定值.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

9511

答案]

(z7\--_I/2--

x424X4

【分析】⑴-2,7平均数的平方为（二^匚）2=「它们平方的平均数为：（一2）：（7=摄-2,

乙一LL

Q51

-1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为.

424

（2）设两个相邻整数分别为小。+1,它们平均数的平方为（串扫）2=曳上抖它们平方的平均

41,

Q2+（Q+1）22Q2+2Q+14Q?+4Q+1

数为一三二=-；—，4,4+1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为一；--

224

4Q2+4Q+21

--------------=——..

4------4

【解答】解:（1）（亨I4

41

2*42

（,2）+（-1）5

2一2：

951

-

-=・

4-2-4.

951

赌

Q。_

:_--

42:4

/「、/Q+Q+1、24Q2+4Q+1

⑵(-^―)----4----，

a2+(a+l)22a2+2a+l

2=2'

4a2+4a+l4a2+4a+21

444

所以答案为定值』

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是求出两个相邻数的平均数的平方、它们平方的

平均数.

25.（8分）（2024秋•黔西南州期末）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，黔西南州某中学走

进某企业，开展了“舌尖.上的刺梨，研究中的成长”实践活动.巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知

识解决卜.列问题：

每盒刺梨原汁定价12（）元，每盒刺梨干定价2（）元，优惠方案有以下两种：

方案一：买一盒刺梨原汁送一盒刺梨干；方案二：刺梨原汁和刺梨干都按定价打八点八折.

现某客户需要购买刺梨原汁30盒，刺梨干x盒.（3>30）

（1）若该客户按方案一购买，需付款20x+3000（用含.丫的式子表示），若该客户按方案二购买，

需付款（17&+3168）元（用含x的式子表示）；

（2）试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的.

【考点】列代数式.

【专题】整式；应用意识.

【答案】（1）20x+3000,（I7.6x+3I68）；

（2）当工=70时-，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的.

【分析】（1）根据所给优惠方案，用含x的代数式分别表示出所需费用即可；

（2）根据题意，得出关于x的方程即可解决问题.

【解答】解：（1）由题知,

若该客户按方案一购买，需付款金额为：120X30+20（x-30）=