2026年高考数学复习：随机事件、频率与概率（六类重难点题型）原卷版+解析

专题10.4随机事件、频率与概率

目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1随机事件与样本空间

重难点题型2随机事件的关系与运算

重难点题型3频率与概率

重难点题型4生活中的概率

重难点题型5互斥事件与对立事件

重难点题型6利用互斥事件与对立事件计算概率

。给容演金

重难点题型1随机事件与样本空间

1.下列事件中，是随机事件的是（）

①明天本市会下雨

②投掷2颗质地均匀的骰了，点数之和为14

③他掷一枚质地均匀的硬币，字朝上

@13个人中至少有2个人的生日在同一个月

A.①③B.③④C.①④D.②③

2.（2024・云南•一模）下列事件是必然事件的是（）

A.某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军

B.—个三角形的大边对的角小，小边对的角大

C.如果a>b,那么b<a

D.某人购买福利彩票中奖

3.（25-26高二上•海南•阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有"知”"行〃"合""一〃四个字，从盒子中有放回

抽取小球，直到取到"知〃"行〃二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机

产生。到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表"知""行〃”合----这四个字，以每三个随机数

为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

323231320032132031123330110

321120122321221230132322130

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）

a7一，5>2

A.—B.-C.—D.一

183189

4.（2024•辽宁锦州•模拟预测）（多选题）现有分别标有2024,2021,2028,2023,2020,2022数字的6张

卡片，下列说法正确的是（）

A.卡片数字的第80百分位数为2024

B.从中随机抽取两张，共有30种不同的组合

C.从中随机抽取一张，抽到词数的概率比奇数大

D.从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件

5.（多选题）下列说法正确的有（）

A.对任意的事件A,都有P（A）>0

B.随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

C.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0

D.若事件Aq事件B,则~（A）WP（8）

重难点题型2随机事件的关系与运算

■•■,・(■•・(・(■(・(・•■(■•■•・•・•■•・■■■■■■■■,■(・■■・■•・(・(・(・•・(■(■■・■・■■(■(■•■■・■■(・(・•・・・(・•■・・•・(・■■•■•・・・•・■■(■(■■■,■■■(■•■■■(■■■(■•■(・■■•■•■•■■■■■■■■■(■♦

1.(2025・湖北武汉•三模)现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件A="取出的鞋

不成双〃；8="取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是()

A.AaBB.P(B)=ZC.P网=1D.P(A+B)=-

333

2.（2025•吉林•二模）已知随机事件4和&下列表述中错误的是（）

A.若则尸（A8）=P（aB.若8=八，则尸（AU8）=P（4）

C.若A8互斥，则P（AB）=1D.若A8互斥，则P（Au8）=P（A）+P（8）

32—7

3.（2024•江西•三模）A、8是一个随机试验中的两个事件，且"4）=],0（川4）=丁产（人+班=正，则下列

错误的是（）

।D_3।

A.P（«）=-B.P（AB）=-C.P（AB）=-D.P（B\A）=-

2553

4.设A,8是两个随机事件，且A发生8必定发生，0<P（A）<l,0<P（8）<l,给出下列各式，其中正

确的是（）

B.汽陋=瑞

A.P（A+8）=P（A）

C.P（八l〃）=P（4）D.P（AB）=P（B）

5.（23-24高二下•广东惠州•阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数

为2〃，4表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数"，A表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6〃，人表示

事件"两次抛掷骰子的点数之和为7”,则（）

A.与4为对立事件B.A与人为相互独立事件

C.4与4为相互独立事件D.人与a为互斥事件

6.（2025•湖北武汉•模拟预测）（多选题）已知事件A3,且P（A）=0.3/（8）=0.5,则（）

A.事件A与事件B互为对立事件

B.若事件A与事件8互斥,则尸（4U8）=0.8

C.若事件A与事件8互斥，则P（AB）=0.2

D.若可通）=0.35,则事件4与事件〃相互独立

7.（2025•云南玉溪•模拟预测）（多选题）已知4,8为随机事件，且P（A）=0.5,P（B）=0.4,则下列结论

错误的是（）

A.若AB互斥，则P（Au3）=0.9B.若A,B相互独立，P（AuB）=0.7

C.若夕（A忸）=0.5,则。（同可―0.3D.若48相互独立，贝"（4邛一0.2

8.（2024•全国•模拟预测）设A3是随机事件，且P（A）=：P（B）=jp（4UB）=Q,则P（Ac^=.

315

9.（23-24高二下・江苏・课前预习）4/?是一个随机试验中的两个事件,若尸（力：，尸（川8）二葭*4+8）=1

则P（A）=.

重难点题型3频率与概率

1.（2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的

20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（）

A±B±C,D,

5025•800*1000

2.某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视

为概率），则下列说法正确的是（）

A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间（25,30］内的最少

B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465

C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

D.估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15

3.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质

量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）

A.a=0.005

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指派的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70）的概率约为0.5

4.（2025•福建泉州•模拟预测）某AI系统通过摄像头识别手势，准确率为90%.若连续识别3次手势，至

少有一次识别错误的概率是（）

A.1-0.93B.0.13C.3x0.1x0.92D.0.93

5.（25-26高一上•湖南衡阳•阶段练习）（多选题）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6

分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对

一个选项得2分，选错得。分，已知某小题的标准答案为ABD,甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下

说法正确的是（）

A.甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为方

B.乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为g

C.丙同学选择至少两个选项.能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高

D.丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同

重难点题型4生活中的概率

1.（23-24高三上•河南•阶段练习）某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录

板所示.

第一场第二场第三场

投篮次数252030

投中次数161318

根据图中的数据信息，该同学3场投篮的命中率约为（）

A.0.616B.0.627C.0.635D.0.648

2.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中

使用了下面两个问题：

问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？

问题二：你是否经常吸烟？

调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每

个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中）：摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸

到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是〃的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做,

如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（）

A.7%B.8%C.9%D.30%

3.（2024・全国•模拟预测）甲、乙两人玩掷假子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点

数之和小于6,则甲得一分：若乙掷两次骰子的点数之和大于机，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确

保游戏的公平性，正整数用的值应为（）

A.6B.7C.8D.9

4.（2024・全国•模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别

的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个

白球，每个被调行者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数

吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊.若100人中有52人回答了〃是〃，48人回答了

“否〃.则问题二“考试是否做过弊"回答"是"的百分比为（以100人的频率估计概率）.

5.（2024•陕西西安・模拟预测）在一个口袋中放有〃，个白球和〃个红球，这些球除颜色外都相同，某班50

名学生分别从I」袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次,

以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为.（小数点后保留一位小

数）

6.（2024・重庆•模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调

杳了10000人，已知非吸烟者占比75%,吸烟者中患肺癌的有63人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的

概率是未吸烟者患肺癌的概率的4.2倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是.

重难点题型5互斥事件与对立事件

1.（24-25高二下•江苏镇江•阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为^=[123,4,5,6},

事件M={1,2},事件N={2,3,4},则（）

A.M与N是互斥事件B.M与N是相互独立事件

C.P（M\N）=P（N\M）D.P（而N）+P（ME）=；

2.（2025•山东泰安•模拟预测）在一次随机试验中，三个事件A、4、&发生的概率分别是0.2、03.（）.5,

则下列选项正确的是（）

A.A+&+&是必然事件B.A+4与&是互斥事件，也是对立事件

C.P（A+4）W0.5.D.P（A2+A）=0.8

3I

3.（2024•江苏南通•模拟预测）已知4,A是样本空间Q中的随机事件，0<P（8）<1,若P（A）=?P（A|8）=-,

o2

P（A|B）=|,则。（4）=（）

11i2

A-4B・§C.£D.1

4.（2025•黑龙江大庆•模拟预测）数学中的“对称性〃不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象

中，还体现在概率问题中.请你从“对称性〃的角度完成下面概率问题：已知有A,B,C,D,E,F,G,

”八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中A在图示中①的

位置，8在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知A与除8以外的运动员比赛

21

胜率为9，8与除4以外的运动员比赛胜率为：，除此以外其余场次比赛（包括48间的比赛）每位运动员

JJ

胜率都为则运动员C夺得冠军的概率为.

5.12025•辽宁・模拟预测）已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，甲同学解出的概率为：，

乙同学解出的概率为!，且甲、乙两同学解出该难题与否相互独立，若该难题在限定时间内被解出，则这

6

两名同学都解出了该难题的概率为.

6.（2025・四川成都•模拟预测）甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛.已知乙丙丁三人胜率完

全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为：2，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为

最高者并列冠军.问：甲拿到冠军的概率是.

重难点题型6利用互斥事件与对立事件计算概率

1.（24・25高二下•广东茂名•阶段练习）已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，

该预赛共有3道解答题,3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8,060.2,

则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（）

A.0.408B.0.384C.0.246D.0.532

2.（2025•广东肇庆•二模）小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为g,受到妈妈表扬的概率也

为假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（）

3.（2024・广东广州•三模）在一个油奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择

一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱

子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便

增加中奖概率.现在已知中选择了1号箱，用4表示,•号箱有奖品（i=l,2,3,4）,用房表示主持人打开i号箱

子（i=2,3,4）,则P（用A）=，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为.

4.（2025•甘肃甘南•模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜.甲、乙两

人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为力3，乙在每局比赛中获胜的概率为|2■，各局比赛结果相

互独立.已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为.

5.（2025•全国•模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热.某

小区举行“贺岁杯〃网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙,

乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军.已知甲胜乙、丙的概率均为?，乙胜丁的概率为：，甲胜丁的概

JJ

3

率为且各场比赛的结果相互独立.

⑴求甲获得冠军的概率；

（2）如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赛三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的

概率为求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率.

6.（2025•江西新余•模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和

淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并

获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为'，张明每局获胜的概率为:，

每局比赛相互独立.

⑴求四局结束比赛的概率；

（2）此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3:0,则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果

为3:1,则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3:2,则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4

万元.求李猛此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望.

专题10.4随机事件、频率与概率

'目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1随机事件与样本空间

重难点题型2随机事件的关系与运算

重难点题型3频率与概率

重难点题型4生活中的概率

重难点题型5互斥事件与对立事件

重难点题型6利用互斥事件与对立事件计算概率

痴T能辎为测」］。皿宓◎=＞给客留遇啦遗密期co®③

重难点题型1随机事件与样本空间

1.下列事件中，是随机事件的是（）

①明天本市会下雨

②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14

③她掷一枚质地均匀的硬币，字朝上

@13个人中至少有2个人的生日在同一个月

A.①③B.③④C.①④D.②③

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象

【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断.

【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件;

②不可能发生，是不可能事件；

④一定发生，是必然事件.

故选:A

2.（2024•云南•一模）下列事件是必然事件的是（）

A.某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军

B.一个三角形的大边对的角小，小边对的角大

C.如果。＞5,那么“V"

D.某人购买福利彩票中奖

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】判断事件是否是随机事件

【分析】根据事件的分类理解判断.

【详解】选项A为随机事件，选项B为不可能事件，选项C为必然事件，选项D为随机事件.

故诜：C.

3.（25-26高二上•海南•阶段练习）盒子中有四个小球，分别写有"知''"行""合""一〃四个字，从盒子中有放回

抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机

产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“知〃"行〃”合这四个字，以每三个随机数

为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

323231320032132031123330110

321120122321221230132322130

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）

7-1.5c2

A.—B.—C.—D.一

183189

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率

【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】由于0,1代表"知〃"行"，恰好第三次就停止的情况有：031,110,120,130

42

共有4种情况，故概率为G=

Io9

故选：D

4.（2024・辽宁锦州•模拟预测）（多选题）现有分别标有2024,2021,2028,2023,2020,2022数字的6张

卡片，下列说法正确的是（）

A.卡片数字的第80百分位数为2024

B.从中随机抽取两张，共有30种不同的组合

C.从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大

D.从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件

【答案】AC

【难度】0.65

【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、判断事件是否是随机事件、总体百分

位数的估计

【分析】求出第80百分位数判断A；利用组合计数判断B：求出概率判断C；确定质数个数判断D.

【详解】对于A,由6*0.8=4.8,得数据2020,2021,2022,2023,2024,2028的第80百分位数为2024,

A正确；

对于B,从中随机抽取两张，共有=15种不同的组合，B错误；

4?1

对于c,从中随机抽取一张，抽到偶数的概率是抽到奇数的概率是:，C正确；

633

对于D,6张卡片上的数都是合数，抽到质数是不可能事件，D错误.

故选：AC

5.（多选题）下列说法正确的有（）

A.对任意的事件A,都有尸（A）＞0

B.随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

C.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0

D.若事件Aq事件&则尸（A）WP（8）

【答案】BCD

【难度】0.85

【知识点】辨析概率与频率的关系、确定性事件与随机事件的概率、概率的基本性质

【分析】根据题意，由概率的定义依次分析选项，即可得答案.

【详解】解：对任意的事件A,都有0WP（A）§,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A错误，

C正确；

对「8,随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，8正确，

对于D,若事件Aq事件8,则P（A）WP（5）,故D正确；

故选：BCD

重难点题型2随机事件的关系与运算

・・■•■・■・■・・・■・■・■•・・・■・・•・■•■•■■・■・■・・・■・・•・■・■・■・■•■・・•■・■・・・■・■・・・・・・・・・・■•■・■・■■・■・■・・•■・■・■・・•■・・・■•・•■・・・・■・・・・・・・・・■・■・・,・・■・・•・・■・■,・•■・■・・・・・■・・・・■•■・・■•

1.（2025•湖北武汉•三模）现有一-双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件A="取出的鞋

不成双”；B一取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（）

A.AQBB.P（fi）=.|C.P（AB）=1D.P（^+B）=-|

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系

【分析】A写出事件A包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出「（8）；C事件耳8是大可能事件；

D利用概率的加法公式.

【详解】假设运动鞋的左脚为右，右脚为打，凉鞋的左脚为右,右脚为&，

则选出两只鞋包含了（4,凡），（4幻，（4，&），（%4），（4，6），（£%）6种，

其中事件A包含了（4，4H,4），（,七），（4，为）4种，

事件不包含了自凡），（4，鸟）2种，事件B包含了田人），（小鸟）2种，

故BqA,则A错误；

P（A）=1,P（5）=|=|,P（A5）=P（B）=1,P（Afi）=O,故BC错误；

P（A+B）=P（A）+P（fi）-P（^B）=1+|-0=|,故D正确.

故选：D

2.（2025・吉林•二模）已知随机事件A和9下列表述中错误的是（）

A.若8=则尸（AB）=P（aB.若8qA,则P（A|JB）=P（A）

C.若A,8互斥，则尸（AB）=1D.若48互斥，则尸（4=8）="加+尸（8）

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的包含关系

【分析】根据根据事件A3的包含关系即概率的性质，可判断AB的真假；根据事件A8的互斥关系即互斥

事件的概率特征可判断CD的真假.

【详解】若8=A,则P（AB）=P仍），尸（AU8）=P（A）,故AB选项的内容都是正确的；

若A,B五斥，则P（A8）=0,P（Au8）=P（A）+P（8）,所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的.

故选：C

32—7

3.（2024•江西•三模）4、8是一个随机试验中的两个事件，且&A）=：,P（4|4）=丁P（A+母=历，则下歹lj

错误的是（）

1_2—31

A.P（B）=-B.P（A与）=一C.P（AB）=-D.P（B\A）=-

2553

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】计算条件概率、事件的运算及其含义、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用

【分析】由。（4|8）=与詈可得。（A8）=|P⑻，由尸（A+研=1"（砧）可得。（码得，再结合

初）=尸（3）-尸（40可求出P（B）,P（AB）,再利用条件概率公式求解即可.

【详解】♦..夕（川4）=箭=.•.P（48）=|p（A）,

__7_4

X7P（A+5）=1-P（AB）=—,;.P（AB）=—,故C错误;

OOO1

VP（AB）=P（B）-P（AB）=-t,P（B）-三P（8）=布，.•.尸（8）=5,故A正确：

1VzJ1Vz4

91_3]2

VP（AB）=-P（B）=-,/.P（Afi）=P（A）-P（^B）=---=-,故B正确；

JUUJu

P（砌4）=4^=*=故D正确.

故选：c.

4.设A,4是两个随机事件，且A发生4必定发生，O<P（A）<1,0<P（B）<l,给出下列各式，其中正

确的是（）

B.P（陋二瑞

A.P（A+8）=P（A）

C.P（A+B）=P（B）D.P（AI3）=P（B）

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】计算条件概率、概率的基本性质、确定所给事件的包含关系

【分析】由题设知AqB,即4+A=8,AC\B=A,结合条件溉率公式判断各项正误.

【详解】由人，8是两个随机事件，且A发生3必定发生，知：A^B,即A+3=8,Af）B=A,

所以尸（A+8）=P（8）,P（人8）=P（A）,P（A|B）=£^=磊,A、B、D错，C对；

故选：C

5.（23-24高二下•广东惠州•阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数

为2〃，4表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数"，4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6〃，人表示

事件"两次抛掷骰子的点数之和为7”,则（）

A.4与A为对立事件B.A与A,为相互独立事件

C.4与A,为相互独立事件D.4与4为互斥事件

【答案】c

【难度】0.65

【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析

【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率.，由4口4=0,即可判断A；

由P（A）P（AJXP（4A）即可判断B；由P（4）P（A）=P（4A）即可判断c,由4n。工。即可判断D.

【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样

本空间C如下：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36个.

则事件A1包括（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,共6个，P（A）=，，

6

事件A包括。,1），（1,2）,（13）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（5,1）,

（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,共18个，P（4）=g,

事件4包括（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,共5个,尸（4）二，

事件4包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个，P(Aj=三=，.

366

对于A,Ana=0,AUAHC,所以A3与4不为对立事件，故A错误；

对于B,事件A且4包括(2,4),则P(AA)=L，又P(A)=L，尸(4)=工

36oJo

所以P(A)P(A)=!X2W(AA)，即A与人不相互独立，故B错误；

636

对于C,事件4且4包括(1,6),(3,4),(5,2),则P(A，4)=」，又P(AJ=:，P(A4)=^

lz26

所以夕⑷尸(4)=状=卷=。1：44),即&与人相互独立，故c止确；

对FD,事件为旦儿包括(1,6),(3,4),(5,2),则4nA4w0,即4与4不为互斥事件，故D错误.

故选：C.

6.(2025•湖北武汉•模拟预测)(多选题)己知事件A3,且P(A)=0.3,P(8)=0.5,则()

A.事件4与事件3互为对立事件

B.若事件A与事件6互斥，则?(AU8)=0.8

C.若事件A与事件3互斥，则P(A8)=0.2

D.^P(AB)=0.35f则事件4与事件5相互独立

【答案】BD

【难度】0.85

【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式

【分析】根据对立事件的定义，互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答即可.

【详解】对于A,由于对立任件概率和为1,但P(4)+P(8)=0.8=l,A错误，

对于B、C,由事件A与事件〃互斥，P(Au8)=P(A)+P(8)=0.8,P(AB)=0,

所以B正确工错误

对于D,因为尸(而)=035,P(A)P(B)=0.7x0.5=0.35,故事件;?与事件目相互独立，所以事件A与事件8

相互独立,D正确.

故选:BD

7.(2025•云南玉溪•模拟预测)(多选题)已知A,8为随机事件，且P(4)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论

错误的是()

A.若A8互斥，则?（Au/）=0.9B.若A3相互独立，P（4uB）=0.7

C.若P（A⑻=0.5,则P（明=0.3D.若AB相互独立,则P（A可=0.2

【答案】CD

【难度】0.65

【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求

概率

【分析】利用互斥事件的概率公式判断A；利用概率的加法公式判断B；利用对立事件和条件概率的概率公

式判断C；利用独立事件的概率公式判断D.

【详解】若A8互斥，则P（AuB）=尸（A）+P（3）=0.5+0.4=0.9,故A正确；

若4B相互独立，则尸（AB）=P（A）尸（8）=0.5x0.4=0.2,

则P（ADB）=P（A）+F（5）-P（AB）=0.54-0.4-0.2=0.7,故B正确；

若A,8相互独立，则A,5相互独立，

则P（AB）=P（A）P（B）=0.5x0.6=0.3,故D错误;

若P（A忸）=05,则P⑷5）=1-0.5=0.5,

则P（同B）==^^=0-3，贝'J网初）=02，

贝"伍区）=曙=恶=。4,故C错误.

故选：CD

8.（2024•全国•模拟预测）设A8是随机事件，且P（A）=1.P（B）=1,P（AU与）=:，则尸伊八耳二_____.

o42

【答案】J/0.125

O

【难度】0.94

【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率

【分析】求出P⑻=；,从而根据事件的运算关系求出概率.

【详解】因为p（4）q所以p⑻=I-P（3）=;,

故P（An可=尸伊）+尸（可一尸（AU^=q+；—；=J

OZO

故答案为：I

O

315

9.（23-24高二下•江苏•课前预习）人,B是一个随机试验中的两个事件，若尸（B）="P（A忸）=§,P（A+B）=1,

则P（4）=.

【答案】!

【难度】0.85

【知识点】计算条件概率、概率的基本性质

【分析】先根据条件概率公式求出P（48）,再根据尸（A+3）=尸（A）+P（8）-P（A8）求出P（A）即可.

【详解】由尸（A］）=嗡有P（A5）=P（A忸）P（5）f=；,

41S

又由尸（A+B）=P（A）+P（8）—P（AB）,有P（A）+；-；=g,

446

可得尸（A）=；.

故答案为：；.

重难点题型3频率与概率

,・■・一•・・■・■・■・■・・・・・・•・・・・・・・・■・・・■・■・■■・■•・・・・・・・・・・■・・・・・・•■・■・■■・■・・・・・・•■・・・■・・・・・■・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・・■・■・■・■■・■・■・■・■・■・■■・■■・■・■・■・・・■・■・・•■・・・・・■・■・■・

1.（2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的

20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（）

11

B.—C.-----D.-------

258001000

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率

【分析】计算全校的人数或计算各班抽取的人数后可求学生被选中的概率.

【详解】法一：全校总人数为20x50=1000人，一共抽取40人，

4（）I

则被抽到的概率为--=—;

1（）025

法二：i个班抽取的人数为40・20=2,

则被抽到的概率为三2二二1.

故选：B.

2.某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视

为概率），则下列说法正确的是（）

A.该小区居民在该滑冰馆的钺炼天数在区间（25,30］内的最少

B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465

C.估计该小区居民在该滑冰饵的锻炼天数的中位数为16

D.估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】由频率分布直方图估计中位数、用频率估计概率、由频率分布直方图估计平均数、频率分布直

方图的实际应用

【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的

求法判断正误.

【详解】由图知：［0,5）、［5,10）、［10,15）、［15,20）、［20,25）、［25,30）的频率分别为0.1、0.2、0.235、0.3、

0.065、0.1,

对于A：［20.25）内的天数最少,故A错误：

对干B：估计锻炼天数超过15天的概率为0.3+0.065+0.1=0.465,故B正确；

对于C：由05）、［5,10）、［10,15）频率和为0.140.2+0.235=0.535X）.5,设中位数为x,

则0.3+0.047x（x-10）=0.5,可得尤=10+空工16,故C错误：

47

对rD：X0.1X2.5+0.2X7.5-K).235x12.5-K).3x17.5+0.065x22.5-K).1x27.5=14.15X»故D错误;

故选：B.

3.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质

量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）

A.a=0.005

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［5Q70）的概率约为0.5

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、

频数、样本容量、总体容量、用频率估计概率

【分析】利用各组的频率之和为1,求得〃的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；杈据频率估计

概率值，从而判定D.

【详解】（4+0.035+0.030+0.020+0.010）x10=1,解得。=0.005,故A正确；

频率最大的一组为第二组，中间值为竺罗=45,所以众数为45,故B正确；

质量指标大于等于60的有两组，频率之利为（0.020+0.010）x10=0.3<0.5,所以60不是中位数,故C错误；

由于质量指标在［50,70）之间的频率之和为（0.03+0.02）x10=0.5,可以近似认为从这批产品中随机选取1个

零件，其质量指标在［50,70）的概率约为0.5,故D正确.

故选:C

4.（2025•福建泉州•模拟预测）某AI系统通过摄像头识别手势，准确率为90%.若连续识别3次手势，至

少有一次识别错误的概率是（）

A.1-0.9B.0.13C.3x0.1x0.92D.0.93

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率

【分析】根据概率的乘法公式及对立事件即可求解..

【详解】若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确，

所以至少有一次识别错误的概率为1-0.93，

故选：A.

5.（25-26高一上•湖南衡阳•阶段练习）（多选题）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6

分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对

一个选项得2分，选错得。分，已知某小题的标准答案为ABD,甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下

说法正确的是（）

A.甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为g

B,乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为!

C.丙同学选择至少两个选项.能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高

D.丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同

【答案】BD

【难度】0.65

【知识点】计算古典概型问题的概率