2026年广东省广州某中学中考二模数学试题及答案

广州市第二中学第二学期第三阶段学情反馈

初三年级数学试卷

（满分120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题意.）

1.下列各数中，比-2小的数是（）

A.一兀B.-1C.0D.1

2.如图所示，这个图案可以看作以“基本图案”原图案的四分之一经过变换形成的，但一定不能通过哪种

A.旋转B.轴对祢C.平移D.对称和旋转

3.下列运算正确的是（）

A.（病）=/B.（a"）=ab（＞C.0）=-2D.4=正

4.一元二次方程41一7x+3=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

5.如图，该几何体的展开图是（）

6.如图1,在边长为20cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强

初中

的小克利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数

据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为（）cm2.

B.140C.100D.70

BF

7.如图，在口N8CO中,延长CO至点£,使。E=DC,连接BE与NC于点凡则一的值是（)

FE

721

A.-BC.一D.-

-I53

8.如图，已知直线y=经过点4和点8,其中点力在x轴上，点8的横坐标为10,若将线段力B平移至

CO,点力的对应点。的坐标为（-6,2）,则点。的纵坐标是（）

9.如图，线段48的两端点分别在x轴正半轴和N轴负半轴上，且△ABO的面积为6,若双曲线y=±（%<0）

恰好经过线段48的中点则％的值为（）

A.—3B.-4C.—5D.-6

初中

10.抛物线y=Q/2+bx+c（。工0）的对称轴是直线工=-1,具图象如图所示.下列结论：①abc＜0：

②（4a+c・y＜（26）2：③若（加必）和伍必）是抛物线上的两点，则当卜1+卜民+1|〉。时，乂＜必；④抛物

线的顶点坐标为（-1，加），则关于x的方程“2+瓜+°-加+2=0有实数根.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.单项式一5。力的系数是，次数是.

12.DcepSeek是由中国某//公司开发的通用人工智能系统.截至2025年2月，DccpSeck的全球口活跃用

户总量达到1.2亿.将数据120000D00用科学记数法表示是.

13.要使分式五三3有意义，则x3勺取值范围是

x-1

14.如图，0O的半径OC=5cm,直线/_LOC,垂足为〃，且/交0。于力，〃两点，48=8cm,若/沿

OC所在直线平移后与。。相切，则平移的距离是cm.

15.如图，在V43C中，sin5=-,tanC=2,力8=3,则4C的长为

3

16.如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线y=x+2夜上，动点。在半径为1的。。上（。为坐标原点）,

过点。作。。的一条切线0R,A为切点,

初中

（1）原点。到该直线的距离为

（2）当。。+网的值为最小时，tan/H尸。的值为

三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

3x-5<4

17.解不等式组:

2（x-l）>x-3

18.如图，已知力8=4。，AC=AE,NBAD=NCAE,求证：aABC知ADE.

1x-\

19.先化简，再求值：--+-不，其中工=-4.

（x-2）x-2

20.为积极备战市里将要举行的数学竞赛，某班积极组织学生进行模拟练习，在一次数学模拟考试中，随机抽

取10名学生的成绩x分（满分100分），根据等级评定：/等（90<xW100）,8等（80<zW90）,C等

（70<x<80）,。等（60<xK70）列出频数分布表，请回答问题：

等级ABCD

频数1342

（1）填空：这10位学生的成绩的中位数落在等级.

（2）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如4等：90Vxe100的中间值为95）来代替，试估算

这10位学生的平均成绩.

（3）若80分以上（不含80分）评为优秀等级，试估计全校450名学生中有多少名是优秀等级？

21.学校带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆力种菜苗的价

格是菜苗基地的2倍，JIJ120元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.

（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.

初中

(2)菜苗基地每捆8种菜苗的价格是3()元.学校次定在菜苗基地购买48两种菜苗(两种都需要购买)共1()()

捆，且力种菜苗的捆数不超过8种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对48两种菜苗均提供九折优惠.求

本次购买总费用y(元)与购买力种菜苗捆数〃，之间的函数关系式，并直接写出自变量机的取值范围.

22.如图，在V46c中，4=90。，点。在边8C上，经过点3并且与4c相切于点。，连接8。、OD.

(I)尺规作图：过点D作DE18C,垂足为点£(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图形中，

①求证：BD平分NABC；

②若四边形4AEO的周长与面积均为18,求△。的长.

23.甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动.请根据活动情境完成以下三个任务：

【活动情景】如图1,扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺

术风格.为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动.如图2所示，扇

面形状为扇环，已知//。3=120。，04=30cm,15cm.

【任务一】确定弦的长度.

(1)如图2,求出弦48的长度.

【任务二】设计甲组扇面.

(2)如图3,已知甲组的圆形卡纸。Q直径为30jjcm.甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面,

试求出需要剪掉的卜纸面积.

【任务三】确定卡纸大小.

(3)如图4,乙组利用矩形卡纸EEGH恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格(即

求EF和E”的长度).

24.定义：若两个函数的图象关于某一点尸中心对称，则称这两个函数关于点尸互为“伴随函数”.例如，函

初中

数歹二/与y=-/关于原点。互为“伴随函数”.举例：求函数y=gx+i关于原由。的“伴随函数”的函数

解析式.

解：设函数y=；x+l关于原点。的“伴随函数”上的任一点为（工,y）,

则该点关于原点O的对称点为（—x,—y）,

将（-x,-y）代入函数尸3+1得：

1.

-V=——X+1,

2

/.V=-X-1.

-2

.・.函数y=gx+l关于原点。的，，伴随函数，，的函数解析式为y=gx-l；

（I）函数），=（》-2）2+3的顶点坐标是,它关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；

（2）已知函数y二一工2一2%与函数G关于点夕（〃?,-3）互为“伴随函数”.若当〃?v；vv7时，函数

y=—12一2工与函数G的函数值，都随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；

（3）已知点力（0,2）,点8（6,2）,点。（3,0）,二次函数y二/一4初一5。伍＞（））与函数N关于点C互为

“伴随函数”，将二次函数歹=。/一4如:一5〃（。＞（））与函数％的图象组成的图形记为此，若图形〃与线段

48恰有2个公共点，求〃的取值范围.

25.如图，矩形处?。。的边=2®m，AD=2&cm，点E从点A出发,沿射线力。移动.以CE为直

径作。O,点尸为。。与射线8。的公共点，连接M,CF.过点、E作EG上EF,EG与。。相交于点G,

连接CG.

（2）当OO与射线8Q相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中.

①矩形EFCG的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由;

②连接。G,取线段。G的中点尸，求点P移动轨迹的长.

初中

广州市第二中学2025学年第二学期第三阶段学情反馈

初三年级数学试卷

（满分120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题意.）

1.下列各数中，比-2小的数是（）

A.一兀B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【详解】根据正数大于0,0大于负数，可得0>-2,1>—2,故C、D错误；

|-2|=2,|-n|=n,|-1|=1,

QH>|-2|>|-1|,

—乃<—2,—1>—2,故A正确，B错误.

2.如图所示，这个图案可以看作以“基本图案”——原图案的四分之一经过变换形成的，但一定不能通过哪种

A.旋转B.轴对称C.平移D.对称和旋转

【答案】C

【解析】

【分析】根据旋转或轴对称的性质解答即可.

【详解】解：这个图案可以通过旋转或轴对称或对称和旋转得到，

故A,B,D选项不符合题意；C选项符合题意.

3.下列运算正确的是（）

A.（cz5）2=aB.1力2丫=帅6c.Q=-2D,后=5

【答案】C

初中

【解析】

【分析】根据辕的运算法则和立方根的定义逐一计算选项即可判断对错.

【详解】解：对于选项A：

•・•塞的乘方法则为（十）"二优匕

=q"2=/°Wq',A错误；

对于选项B：

•・•积的乘方法则为（劭）"二。》”，

**•^ab2j=ay\b2j=a'b'Hab",B错误：

对于选项C：

V（-2）3=-8

・•・=-2，C正确；

对于选项D：

•••后二一冷/冷，；・D错误

4.一•元二次方程4/一71+3=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的文数根D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】通过计算判别式的值即可判断根的情况，根据判别式与0的大小关系即可得出结论.

【详解】解：•••对于一元二次方程4——7X+3=0,其中。=4,b=-7,c=3,

・•・根的判别式△=/—4QC=（—7『-4x4x3=49—48=1>0,

・•・该方程有两个不相等的实数根.

5.如图，该几何体的展开图是（）

初中

【解析】

【详解】阴影面和带点面相邻，所以选C.

6.如图1,在边长为20cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强

的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数

据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为（）cm2.

A.160B.140C.100D.70

【答案】B

【解析】

【分析】根据频率估计概率解答即可.

【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35,

・••点落在不规则图案上的概率为0.35.

・••估计阴影部分面积约为20x20x0.35=1405?.

BF

7.如图，在Q/NCQ中,延长。。至点£使。E=连接BE与力。于点凡则——的值是（)

FE

21

A.B.7C.一D.-

53

初中

【答案】B

【解析】

【分析】由/"IICE,AB=CD,DE=DC^AABFs"EF,AB=-CE,故也二竺_二L

2FECE2

【详解】解：•.•四边形48CQ是平行四边形，

:.AB=CD,AB\\CE,

:.AABFSACEF,

.BEAB

"~FE~CEf

DE=DC,

AB=—CE,

2

BF_\

FE2

8.如图，已如直线y=—1经过点力和点s,其中点力在x轴上，点s的^坐标为1(),若将线段为6平移至

CQ,点力的对应点C的坐标为(-6,2),则点。的纵坐标是()

【答案】D

【解析】

【分析】先求出力的坐标，判断直线是怎样平移，再用8的坐标推出。坐标.

【详解】解：将y=。代入

得4=2,即4(2,0),

即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度.

将x=10代入y=；工一1,

得歹=4,即8(10,4),

则。(2,6).

初中

9.如图，线段48的两端点分别在》轴正半轴和y轴负半轴上，且△460的面积为6,若双曲线y=K（左＜o）

X

恰好经过线段44的中点加，则左的值为（）

A.-3B.-4C.-5D.-6

【答案】A

【解析】

【分析】设点/（。,0）（。＞0）,阳0,与伍＜0）,从而得到线段"的中点加仁4），根据点M在双曲线上

得到女=今-,再结合4B0的面积为6求出的值即可得解.

【详解】解：..•线段月B的两端点分别在x轴正半轴和N轴负半粕上，

.•.可设点力（〃,0）（〃〉（）），5（0向修＜0）,

则线段的中点“他,胃,

（22）

k

•••双曲线。=一（左〈0）恰好经过点M，

-X,

,abab

：.k=—x—=—,

224

的面积为6,

;.LOAOB=6,即」Q网=一,"=6,

22112

?.ab=-12,

；/二"二卑=-3,A选项符合题意•

44

10.抛物线＞=狈2+法+4〃，0）的对称轴是直线了二―1,其图象如图所示.下列结论：①必。＜0；

②（4o+c）2＜（26）2：③若（XQJ和（当,8）是抛物线上的两点，则当卜1+1卜民+1|＞。时，必＜为；④抛物

线的顶点坐标为（-1，加），则关于X的方程43+瓜+c-〃7+2=0有实数根.其中正确结论的个数是（）

初中

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系.首先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判

断力、。的符号及代数式的值，然后利用二次函数的增减性及最值判断其余结论即可.

【详解】解：①•••抛物线开口向上，.-.^>0.

.••对称轴为直线x=-l,=-1,即6=2。>0.

2a

•••抛物线与y轴交点在x轴下方，：.c<o,

加・<(),故①符合题意；

②•.•抛物线与X轴的一个交点为(-3,0),对称轴为1二一1,

「•抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),

・•・当x=2时，y=4〃+2/?+c〉0,

当x=-2时，y=4a-26+c<0,

(4a+。+26)(4〃+c-2b)<0,即(4a+c)2~(2b)2<0,

.•.(4a+c)2<(2〃)2,故②符合题意；

③:X|+1|—|X2+1|>0,

X+1|>|x2+1I,即点(X1,必)到对称轴x=-l的距离大于点(匕，为)到对称轴的距离.

•••抛物线开口向上，必〉月，故③不符合题意；

④••・抛物线的顶点坐标为(-1,〃，)：且开口向上，

二•函数的最小值为，即QX?+bx+c>m，

2

/.ax+Zu+c一/〃十222>0，

初中

/.方程ax2+bx+c-m+2=0无实数根，故④不符合题意.

综上所述，正确的结论有①②，共2个.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.单项式一5。6的系数是，次数是.

【答案】①.-5②.2

【解析】

【分析】本题考查单项式的系数、次数.解题的关键是掌握：只含有数与字母的积的式子叫做单项式；单项式

中数字因数叫做单项式的系数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.据此解答即可.

【详解】解：单项式一5。6的系数是一5,次数是2.

故答案为：—5；2.

12.DeepSeek是由中国某//公司开发的通用人工智能系统.截至2025年2月，DeepSeek的全球日活跃用

户总量达到1.2亿.将数据120000000用科学记数法表示是.

【答案】1.2xl08

【解析】

【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为4X10",其中〃为整数，确

定。和〃的值即可求解.

【详解】解：120000000=1.2x108.

13.要使分式正三3有意义，则x的取值范围是.

x-\

【答案】x>3

【解析】

【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零；二次根式有

意义的条件是被开方数非负，据此列式解答即可.

【详解】解：•・•分式正巨有意义，

x-1

x-3>0,且x-\00，

解得x23.

故答案为：^>3.

初中

14.如图，。。的半径OC=5cm,直线/_LOC,垂足为，，且/交。。于力，8两点，力6=8cm,若/沿

OC所在直线平移后与OO相切，则平移的距离是cm.

【答案】2或8

【解析】

【分析】连接。1,利用垂径定理可得力“=；/8=4cm,再为勾股定理可得OH=SA-H?=3cm，

然后分两种情况解答即可.

【详解】解：连接。力，

•・•直线AB=8cm,

；・AH=—AB=4cm,

2

在中，。/=。。=5cmMH=4cm,

・•・OH=dol-AH?=3cm，

V直线l沿0。所在直线平移后与0。相切，

・•・直线/应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点，

・•・当直线向下平移时，直线/沿。。所在直线移动的距离为CH=5-3=2cm；

当直线向上平移时，直线/沿。。所在直线移动的距离为C〃=5+3=8cm：

综上所述，平移的距离是2cm或8cm.

15.如图，在V/8C中，sin^=-,tanC=2,AB=3,则/C的长为

BC

初中

【答案】@

2

【解析】

【分析】过力作工8。于。，则乙4。。=乙4。8=90。，根据已知求出4Q=2OC,AB=3AD,求出

AD、CO的长，根据勾股定理求出力。即可.

【详解】解：过力作力。上3C于。，则//。。=/4。3=90。，

AD=2DC,AB=3AD,

vAB=3,

AD=\fCQ=!，

2

在Ra/OC中，由勾股定理得：AC=\lAD2+CD2=

故答案为：旦.

2

16.如图，在平面直舛坐标系中，动点P在直线y=x+2正上，动点。在半径为1的。。上（。为坐标原点）,

过点/，作。。的一条切线PR,R为切点，

（1）原点。到该直线的距离为；

（2）当尸。+总的值为最小时，tan/火尸0的值为.

【解析】

【分析】（1）设直线y=x+2行与x轴，y轴分别交于点4,B,过点。作OK_L43于点K,求出点4,B

初中

的坐标可得OA=OB=2>/2，再由等腰二角形的性质解答即可：

(2)连接。尸,。火,。0,则。。=。火=1,。。2。0一。0二。尸一1,根据切线的性质可得ORJ.PR,当OP

最小时，尸。，夕火均取得最小值，此时PQ+PR的值最小，且当时，。尸的值最小，即可求解.

【详解】解：(1)如图，设直线y=x+28与x轴，y轴分别交于点力，B,过点。作OK_L44于点K,

当x=0时，y=2g，当y=OH寸，x=-2>/2>

.••点/(-260),8(0,2夜)，

；・0.4=0B=25，

AB=\loA2-\-OB~=4，

：.0K=-AB=2,即原点。到该直线的距离为2；

2

(2)如图，连接。尸,。凡。。，则。。=。火=1,「。2。。—0。=。。—1,

•・•PK是OO的切线,

・•・OR±PR，

・••PR=yiOP2-OR2=y/OP2-\，

・♦•当OP最小时，尸均取得最小值，此时P0+PH的值最小,

・•・当。时，O尸的值最小，

由(1)得：此时O尸的最小值为2,

此时万火=12'一1二，

初中

,此时tanZRPO=—=—.

〜PR3

三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

3x-5<4

17.解不等式组：

2（x-1）>x-3

【答案】-l<x<3

【解析】

【分析】先求出每一个不等式的解集，再求解集的公共部分即可.

3x-5<4①

【详解】解:

2（1）“-3②

解不等式①，得x<3,

解不等式②，得x〉—l,

所以，不等式组的解集为-

18.如图，己知=AC=AE,/BAD=NCAE,求证："BC知ADE.

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过N44）=NC4£得出=

根据N8W=ZCAE可得NBAC=/DAE,再根据SAS即可证明.

【详解】证明：•:/BAD=NCAE,

・•・/BAD+ZDAC=NCAE+ND4c,

即NBAC=NDAE,

在V.48C和V/QE中，

AB=AD

NBAC=NDAE,

AC=AE

初中

・•.△月6c宝△力OE(SAS).

(1、/一1

19.先化简，再求值：------+x+----■,其中x=-4.

(x-2)x-2

x-15

【答案】

7+T：3

【解析】

【分^5】先将括号内通分，除法化为乘法，同时进行因式分解•，再进行约分，将结果化为最简分式，代值计算

即可.

丫2—2x+1r—2

【详解】解：原式一

x—2x"-1

_(-V-1)x-2

x-2(x+l)(x-l)

x-\

=f

x+1

当x=-4时，

_5

zz—

3'

【点睛】本题考查了分式化简求值问题，分式混合运算，掌握分式化简的步骤是解题的关键.

20.为积极备战市里将要举行的数学竞赛，某班积极组织学生进行模拟练习，在一次数学模拟考试中，随机抽

取10名学生的成绩x分(满分100分)，根据等级评定：力等(9()〈工(1()()),B等(8()<二<90),。等

(70<x<80),。等(60<x«70)列出频数分布表，请回答问题：

等级ABC/)

频数1342

(1)填空：这10位学生的成绩的中位数落在—等级.

(2)把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值(如力等：90<x«l()()的中间值为95)来代替，试估算

这10位学生的平均成绩.

(3)若80分以上(不含80分)评为优秀等级，试估计全校450名学生中有多少名是优秀等级？

【答案】(1)C

(2)78分

初中

(3)18()名

【解析】

【分析】（1）根据中位数的定义解答即可:

（2）根据加权平均数的定义解答即可：

（3）用总人数乘以样本中优秀人数的占比即可.

【小问I详解】

解：:一共抽取了10名学生的成绩,

・♦・将成绩从小到大排列后，中位数为第5名和第6名成绩的平均数,

又•・•由频数分布表可知，。等级共2人，。等级和C等级共2+4=6人,

・•・第5名和第6名成绩都落在C等级,

・•・中位数落在C等级;

【小问2详解】

解：由题意得各组数据的中间值分别为：彳等95,8等85,。等75,。等65,

，平均成绩为1x95+3x85+4x75+2x655(分),

1010

答：估算这10位学生的平均成绩为78分;

【小问3详解】

1+34

解：450x--=450x—=180（名），

1010

答：估计仝校450名学生中有180名是优秀等级.

21.学校带领学生去农场体验农耕劳动，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆4种菜苗的价

格是菜苗基地的2倍，用120元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.

（1）求菜苗基地每捆力种菜苗的价格.

（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买力，B两种菜苗（两种都需要购买）共100

捆，且力种菜苗的捆数不超过3种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对力，B两种菜苗均提供九折优惠.求

本次购买总费用y（元）与购买/1种菜苗捆数，〃之间的函数关系式，并直接写出自变星机的取值范围.

【答案】（1）20元

（2）函数关系式为），=-9〃?+2700,自变量小的取值范围是1W〃7W5O,且〃?为正整数

【解析】

【分析】（1）设菜苗基地每捆4种菜苗价格为x元，根据“市场上价格是基地的2倍”以及“120元在市场买

比在基地少3捆”列分式方程求解；（2）由4、8的单价及九折优惠求实际单价，设购买1种加捆则8种为

初中

（10（）-机）捆，根据总费用列函数关系式，再结合“两种都需购买”及“力不超过zr确定〃？的取值范围.

【小问1详解】

解：设菜苗基地每捆4种菜苗的价格为4元，则市场上每捆力种菜苗的价格为2x元.

120120

根据题意列方程：-—--=3

x2x

解得20.

经检验，x=20是原方程的根且符合题意.

・•・菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；

【小问2详解】

解：设购买4种机捆，则购买8种（100—捆,

y=20x0.9m+30x0.9（100-w）=18m+2700-27m=-9m+2700

两种菜苗都需要购买，

〃z>0且100—加〉0,即0<〃？<100；

.••力种捆数不超过8种捆数，

:.m<100-m，即加W50.

又加为正整数，

•・・〃?的取值范围为1«v5（）（m为整数）.

22.如图，在V48c中，N/=90。，点。在边上，。。经过点8并且与NC相切于点。，连接50、OD.

（1）尺规作图：过点、D作DE上BC,垂足为点E；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，

①求证：BD平分/4BC；

②若四边形力的周长与面积均为18,求8。的长.

【答案】（1）图见解析

（2）①见解析②3后

【解析】

初中

【分析】(1)根据尺规作垂线的方法，作图即可;

(2)①等边对等角，得到切线的性质结合平行线的判定推出。。〃4B,得到

ZABD=/ODB,进而得到NO8Q=N/BO,即可得证；

②角平分线的性质，得至U力0=,证明，得到AB=BE,根据题意得到

AB¥BE+DE+AD=2AB+2AD=\S,2x-ABAD=\S,利用勾股定理和完全平方公式进行求解即可.

2

【小问1详解】

解：如图所示，即为所求；

①：OO经过点B并且与AC相切于点D,

・•・0D1CD,

・•・NODC=90。=〃

・•・OD//AB,

・•・/ABD=NODB,

•・•OB=OD,

・•・40BD=ZODB,

・•・Z.OBD=/ABD,

・•・BD平分/4BC；

②♦:BD平分NABC,ZA=90°,DEIBC,

/.AD=DE,Z.A=Z.DEB=90°；4B?+AD?=BD?

又•：BD=BD，

・•・/SABDMEBD，

・•・AB=BE，

•・•四边形/BE。的周长与面积均为18,

・•・AB+BE+DE+AD=2AB+2AD=\^,2x-AB^AD=]^,

2

初中

力B+力。=9,46•10=18,

：\AB+AD^=AB2+AD2+2ABAD=BD2+1X\^=^\,

・•・8D=,81-36=35

【点睛】本题考查尺规作垂线，切线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点,

熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键.

23.甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动.请根据活动情境完成以下三个任务：

【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺

术风格.为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动.如图2所示，扇

【任务一】确定弦的长度.

(1)如图2,求出弦45的长度.

【任务二】设计甲组扇面.

(2)如图3,已知甲组的圆形卡纸0a直径为30限m.甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，

试求出需要剪掉的卡纸面积.

【任务三】确定卡纸大小.

(3)如图4,乙组利用矩形M纸EFGH恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格(即

求EF和EH的长度).

【答案】［任务一］30\/3cm：［任务二］4507r［任务三］EH-22.5cm»EF=30\/3cm

【解析】

【分析】任务一：由弧标所对的圆心角为120。，可得/。力3=30。，求得。H=15cm,应用勾股定理求出

AH,即可求解；

任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为品闷-S画环，结合扇形面枳公式即可求解；

任务三：由题意得：设矩形R7//E的边ER与力8相切于点收，延长交于点O,连接。“交CD于

初中

点N.连接力8,由题意知，OM1AB,由上得/。4。=30。，可得NOOC=30。，则?=—OA=15cm,

2

AB=2AP,由勾股定理得力。=百OP=15jJcm，那么为B=2月尸=30JJcm，即七尸=30，Jcm，同理:

ON=-OC=7.5cm则MW=OM-ON=22.5cm,即E"=MN=22.5cm.

2f

【详解】任务一：解：过点。作。交AB千点、H,

Q403=120。，OA=OB,

;.NO4B=30。,

♦;OHA.AB,

AH=HB»OH==yx30=15（cm）,

/.AB=27302-152=30也（cm）；

任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为

5。°|一S扇环

八（30百］2F120X^（302-152）

乃卜）；

乃32）~\360=4500?

任务三：解：如图

图4

由题意得：设矩形/GHE的边石产与茄相切于点延长力交于点0,连接力8,连接OM交CO于

点N,交AB于点、P,

由题意知，OMJ.48,

由上得NQ4尸=30。，

•・•OD=OC,4OB=120。，

初中

・•・/ODC=30°，

・•・AB〃GH,

,:矩形EFGH,

・•・EF//GH,HE//FG,

:・EF〃AB,

・一・西边形AEFB是平行四边形，

・•・EF=AB,

•・•OM1AB,

・•・OPA.AB,

：.OP=-OA=\5cmAB=2AP,

2f

由勾股定理得AP=&）P=15Jicm，

，/B=2/尸=30血cm，

••・Er=30>/Icm，

同理：ON=,OC=7.5cm,

2

・•・NM=OM-ON=22.5cm,

同理；四边形为平行四边形，

・•・EH=MN=22.5cm.

【点清】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，圆的切线的性质，扇形面枳的求解，矩形的性质，勾股定

理，30。角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

24.定义：若两个函数的图象关于某一点尸中心对称，则称这两个函数关于点尸互为“伴随函数”.例如，函

数n二一与歹=一/关于原点。互为“伴随函数”.举例：求函数y=gx+l关于原点。的“伴随函数”的函数

解析式.

解：设函数y=gx+l关于原点。的“伴随函数”上的任一点为（几y）,

则该点关于原点O的对称点为（-占一力，

将（一W）代入函数丁=”1得：

1,

-y=——x+1,

2

初中

，函数y=；x+l关于原点。的“伴随函数”的函数解析式为—1：

（1）函数歹=（x-2>+3的顶点坐标是,它关于原点。的“伴随函数”的函数解析式为；

（2）已知函数y=—工2一21与函数G关于点P（九一3）互为“伴随函数”.若当〃7cx<7时，函数

>二一12一21与函数G的函数值V都随自变量工的增大而减小，求〃?的取值范围；

（3）已知点力（（）,2）,点8（6,2）,点。（3,0）,二次函数歹二必二一4以一>0）与函数N关于点。互为

“伴随函数”，将二次函数歹二尔一4"-5〃（4>0）与函数义的图象组成的图形记为w，若图形力与线段

43恰有2个公共点，求。的取值范围.

2

【答案】（1）（2,3）,y=-（x+2）-3

（2）3<w<7

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