点与直线对称问题（原卷版）

2.8专题：点与直线对称问题

模块一：基础知识...................................................2

考点一：点关于点对称............................................2

考点二：点关于直线对称..........................................2

考点三：直线关于点对称..........................................2

考点四：直线关于直线对称........................................2

考点五：常见的一些特殊的对称....................................2

模块二：题型分类...................................................3

题型一：点关于点对称............................................3

题型二：点关于直线对称问题......................................3

题型三：直线关于点的对称问题....................................3

题型四：直线关于直线对称........................................4

题型五：对称在光的反射中应用....................................4

题型六：对称在线段和差最值中的应用..............................6

2.8专题：点与直线对称问题

模块一：基础知识

考点一：点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点尸（苔，必）关于点QI/，稣）的对称点为尸’（々，%），则根据中

X]+x2

点坐标公式，有（可得对称点尸'（X,，必）的坐标为（2%-再，2%-必）

加工

考点二：点关于直线对称

方法一：原理法

点尸（X，必）关于直线，：祗+切+C=0对称的点为叫/，为），连接巴，交/于M点，则/垂直平分PP',

kj-kpp.--1

所以PPJL/,且"为尸产中点，又因为M在直线/上，故可得，芯+当乂+%「八，解出（毛一2）

A十B+C=0

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即可.

方法二：公式法

点P（x0,y。）,则点P关于直线Ax+B，/+c=O对称点坐标为（x0-刿袈誓yo-理嘿誓9）

A+D2A+D

考点三：直线关于点对称

方法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出

直线方程；

方法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

方法三：公式法:设P（a,b）,则直线Ax+Bv+c=O关于点P对称的直线方程A（2a-x）+B（2b-y）+C=0

考点四：直线关于直线对称

1.当人与/相交时：此问题可转化为"点关于直线"的对称问题：

求直线4：ax+b），+c=0,关于直线/2：公+0+/=0（两直线不平行）的对称直线。

第一步：联立4,6算出交点PQ。，汽）；

第二步：在4上任找一点（非交点）。（阳，必），求出关于宜线对称的点。'（电，歹2）；

第三步：利用两点式写出。方程.

2.当4与/平行时：对称直线与已知直线平行.

两条对称直线到已知直线的跖离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得.

考点五：常见的一些特殊的对称

点（x,y）关于x轴的对称点为（x,—y）»关于J轴的对称点为（-x,y）.

点、（x,y）关于直线y=x的对称点为（y,x），关于直线J，=-x的对称点为（-y,-工）.

点（x,y）关于直线工=。的对称点为（2。-x,y），关于直线y=6的对称点为（x,2b-y）.

点、（x,y）关于点（a,b）的对称点为（2a-x,2b-y）■

点（x,y）关于直线x+y=A的对称点为（A-y,A-x），关于直线x-y=A:的对称点为（A+y,x-k）.

模块二：题型分类

题型一：点关短对称

1.点4一3/),。(1j)关于点5(-1,-3)对称，则»C|=.

2.点A(2,-3)关于点B(—1,0)的对称点/V的坐标是()

A.(5,-6)B.(—4,3)C.(3,-3)D.

3.已知点4x,2)与伏-3/)关于坐标原点对称，则X+J，等于()

A.5B.1C.-5D.-1

4.己知不同的两点尸3-6),。3+1,〃-1)关于点(3,4)对称，则ab=.

题型二：点关于直线对称问题

1.己知直线/：V=x+l,则点尸(2,4)关于/的对称点的坐标为.

2.己知直线/：y=3x+3,则点P(4,5)关于/的对称点的坐标为.

3.点尸(-3,4)关于直线4x-y-1=0的对称点的坐标为.

4.点力(TO)关于直线/：»=砌丘0)的对称点的坐标为.

5.直线以+歹+3叱1=0恒过定点收，则点”关于直线2x+3y-6=。对称的点N坐标为

题型三：直线关于点的对称问题

1.直线2x-y+3=0关于点/(5,3)的对称直线方程是.

2.直线/：4工+3尸2=0关于点力(1,1)对称的直线方程为()

A.4x+3y—4=0B.4x+3y-12=0

C.4x—3y—4=0D.4x—3y—12=0

3.点?(1.2)在直线/上，直线人与！关于点(0.1)时称，则一定在直线4上的点为()

A.f-JB.-1,—jC.(—1,0)D.(1,0)

4.不论实数〃取何值时，直线(2"l)x+(-a+3)y-5=0都过定点则直线2x-y+3=0关于点例的对称

直线方程为()

A.x-2y-6=0B.x-2y=0C.2x-y-9=0D.2x-y-3=0

5.已知直线x+2y-3=0与直线G+4y+/>=0关于点4(1,0)对称，则实数b的值为()

A.2B.6C.-2D.-6

题型四：直线关于直线对称

1.直线x2y1-0关于直线y对称的直线方程是()

A.2x-j+l=0B.2x+y-1=0

C.2x+y+\=0D.x+2y+1=0

2.已知直线4：x-y+3=O,直线1:x-y-1=0,若直线右关于直线/的对称直线为g则直线6的方程

为.

3.直线/.:3x->-3=0关于直线l2:x+y-\=0的对称直线方程为.

4.若直线y=ar+2与)，=3》一6关于直线歹=x对称，则实数0=.

题型五：对称在光的反射中应用

1.一条光线从点力(-1,3)射向x轴，经过x轴上的点尸反射后通过点8(3,1),则点。的坐标为，

2•一条光线从点尸(6,0)射出，经直线y轴反射后过点。(2,8),则反射光线所在的直线方程

为.

且一条光线从点P(5,8)射出，与1轴相交于点。(-1.0),则反射光线所在直线在"轴上的截距为()

4.光线由点尸(2,5)射到直线x+y=7上，反射后过点。(1,1),则反射光线所在直线的一般式方程为

5.一条光线从点尸(7,5)射入，经上轴反射后沿直线x-oy+3=0时出，贝匹=.

6.光线从4L2)射向x轴上一点8,又从8反射到直线x-y+3=0上一点C,最后从点C反射回到点A,

则BC所在的直线方程为.

7.已知力(-1,3),3(3,1),从点(m,2)处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点4到该反射

光线的距离为石，则实数.

8.在等腰直角三角形48。中，/4=力。=4,点尸是边力8上异于力，8的一点，光从点尸出发经4cBe

反射后又问到点P,反射点为0,R,若光线Q?经过JBC的重心，贝〜尸=.

9.已知入射光线经过点历(-3,4),被直线/:x-y+3=0反射，反射光线经过点N(3,7),则反射光线所在直

线的方程为.

10,光线沿着直线y=-2x+|o-2|射至IJ直线x+y=0上，经反射后沿着直线)，=一；1一2射出，则实数

a=.

11.如图，在等腰直角三角形NBC中，AB=AC=2,点尸是边.44上异于48的一点，光线从点P出发，

经发射后又回到原点若光线QR经过"8C的重心，则AP长为.

1C

APB

12./1(-2,0),8(2,0),C(0,2),《一训，尸。，0)，一束光线从点”出发射到时上的点。，经BC反

射后，再经力C反射，落到工轴上的£点，则光线经历的路程是()

A.5B.4C.运D.恒

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题型六：对称在线段和差最值中的应用

1.已知点4(2,0)、5(-2,-4),尸在直线/：x-2y+8=0上，贝川切加到的最小值等于.

2.已知点4(2,1),8(1,-2),点P在，轴上，贝的取值范围是.

3.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐

代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李顽的

边寒诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题

------“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使

总路程最短?在平面直角坐标系中，设将军的出发点是4(2,4),军营所在位置为8(6,2),河岸线所在

直线的方程为x+y-3=0,则将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程的最小值为.

4.己知尸为直线/：2%-歹+3-0一一点，点？到/1(1,0)和〃(2,2)的距离之和最小时点尸的坐标

为.

5.函数3=小工2一级+5+&2_公+13的值域为，

6.设x-y+1=0,求d=yjx2+y2-r6x-1Oy+34+Jx?+/+4x-30y+229的最小俏是_.

7.已知点4(5,2),3(7,-7),点尸是直线y