河北省衡水市部分学校2025-2026学年高二年级4月质量检测数学试卷（试卷+解析）

4月高二质量检测

数学

考试说明：

1.本试卷共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填在答题卡上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.小明有3件不同的上衣、4条不同的裤子、2双不同的鞋子他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（）

A.9种B.12种C.24种D.36种

2.已知随机变量X的分布列如下：

X1234

a3a

Pala

2~2

则常数。二（）

3.从5名同学中选出3名同学分别担任班长、学习委员、体育委员，每名同学只能担任一个职位，不同的

选法共有（）

A.10种B.20种C.60种D.120种

4.下列随机变量X中，服从二项分布的是（）

A.从装有3个红球和2个白球的袋中，不放回地依次摸出2个球，X为摸出红球的个数

B.某射手每次射击击中目标的概率为0.8,连续射击5次，X为击中目标的次数

C.从一批含有10件次品、90件正品的产品中，不放回地抽取3件，X为取出次品的件数

D.某同学做3道独立的选择题，第一题答对的概率为0.7,第二题答对的概率为0.8,第三题答对的概率

为0.9，X为答对题FI的数量

5.已知宜线y=x+l与函数/（x）=ln（x+a）的图象相切，则实数。的值为（）

A.0B.1C.2D.3

6.已知随机事件4与3满足尸P⑻=；,且尸（力口8）=；,则0（例4）=（）

342

7.如图，若从5种不同的颜色中选4种颜色涂在图中的1〜5号区域，要求相邻区域不同色，且所选的4种

颜色都要用到，不同的涂法共有（）

A.120种B.240种C.360种D.480种

8.某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的4个球.其中有3个新球和1个旧球.每次从中随机抽

取1个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箝若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持

续进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游

戏结束.设X为游戏结束时抽取的次数，则X的期望为（）

52353223

A.-B.—C.—D.

28967F

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分.

9.某校科技节共有4件不同的作品，需要分配到甲、乙、丙三个展区进行展示，每个展区至少获得1件作品,

所有的作品都需要展示.下列选项正确的有（）

A.不同的分配方案总数为12种

B.若作品4必须单独在甲展区，则不同的分配方案有6种

C.若作品〃与作品C必须在同一展区，则不同的分配方案有18种

D.若甲展区恰好展示2件作品，则不同的分配方案有12种

10.下列命题中，正确的是（）

A.若随机变量*〜，则*=：

B.若随机变量X的方差。（X）=2,则D（3X-1）=18

C.若事件力与6相互独立，且尸（/1）=0.3,尸（6）=0.6,则P（AU8）=O.9

D.若事件4,8满足尸（4）〉0,尸（8）>0,且尸（48）二网4耳），则/与6相互独立

11.已知函数/卜）=工3—3尔+3犬+1,下列说法正确的有（）

A.当4>1时，A（x）的极大值点是一］

B./（X）的图象关于点（。,一2a3—3a+l）对称

C.若/‘（X）在区间［0,2］上单调递增，则。的取值范围是（口,；

D.若/（X）有极值点与，且/（%）=/（玉）），其中须w%,则,％2+2%%=3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知C：=3A；则〃=（用数字作答）.

13.已知函数/。）=xlnx+2x—色2一1有两个极值点，则实数〃?的取值范围为.

14.某知识竞赛题摩中有2道/类题和2道笈类题.选手先随机拍取1道题作答（抽后不放回），若答对，则

3

继续抽取下一道（仍不放回）；若答错，则立即终止.已知选手答对力类题的概率为一，答对8类题的概率

4

为《，且每次答题结果相互独立则选手恰好答对1道题的概率为.

,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知二项式（26-的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:2.

（1）求〃的值及展开式中所有二项式系数的和；

（2）求展开式中含工-5项的系数及所有项的系数之和.

16.已知函数/'（%）=alnx+g+WR）,且/（x）在x=1和）=2处取得极值.

（1）求〃，人的值；

（2）若存在xc1,3，使得不等式/（x）＜c成立，求实数c的最小值.参考数据；ln2今0.69.

17.某班级有8名学生，其中4名男生、4名女生.现组织三项活动：

（1）将8名学生平均分成4个小组，小组之间无顺序，且每个小组恰好有1名男生和1名女生.求不同的

分组方式有多少种？

（2）将8名学生排成一排，要求任意两个男生都不相邻，且最左边必须是男生.求不同的排列方式有多少

种？

（3）从8名学生中选出4人组成“辩论队”，再从中选出2人分别担任“主辩”和“副辩”.设要求选出的

4人中有x名男生，V名女生，k一引《1,且担任主辩的必须是男生.求不同的选派方案有多少种？

18.某工厂生产的一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品40件.质检员采用两种抽样方案：

方案一：从这批产品中随机抽取10件（不放回），检验其中一等品的件数；

方案二：从这批产品中随机抽取I件，记录是否为一等品后放回，重复10次，检验10次抽取中一等品的

总件数.

记随机变量x为方案一抽到的一等品件数，y为方案二抽到的一等品件数.

（1）求尸（X=6）（用组合数公式表示即可，不用化简）；

（2）比较P（x=5）和尸（X=7）的大小，并求y的数学期望；

（3）设函数/（〃）=*¥=〃），求/（〃）的最大值（用组合数公式表示即可，不用化

简），并指出此时女的值.

19.已知函数/（x）=e"-Qxsinx,其中Q£R,x€（0,兀）.

（1）当a=l时，求/（x）的单调区间：

（2）证明：当无£（0,4）时，ex>2xsiiiv;

（3）设/（x）在（0,乃）上的零点个数为N（〃），证明：存在唯一的劭£（2,4）,使得N（a（））=l.

参考数据：e15«4.48»sinl.5«0.997»cosl.5«0.07.

4月高二质量检测

数学

考试说明：

1.本试卷共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填在答题卡上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.小明有3件不同的上衣、4条不同的裤子、2双不同的鞋子他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（）

A.9种B.12种C.24种D.36种

【答案】C

【解析】

【详解】第一步选上衣有3种选法，第二步选裤子有4种选法，第三步选鞋子有2种选法，

所以共有3x4x2=24种选法.

2.已知随机变量X的分布列如下：

X1234

a3a

Pa2a

2T

则常数（）

【答案】A

【解析】

【详解】随机变量X的所有取值的概率之和等于1,即=+。+=+2。=1,解得。==.

225

3.从5名同学中选出3名同学分别担任班长、学习委员、体育委员，每名同学只能担任一个职位，不同的

选法共有（）

A.10种B.20种C.60种D.120种

【答案】C

【解析】

【详解】从5名同学中选3人进行排列，共有A；=5x4x3=60种.

4.下列随机变量X中，服从二项分布的是（）

A.从装有3个红球和2个白球的袋中，不放回地依次摸出2个球，X为摸出红球的个数

B.某射手每次射击击中目标的概率为0.8,连续射击5次，X为击中目标的次数

C.从一批含有10件次品、90件正品的产品中，不放回地抽取3件，X为取出次品的件数

D.某同学做3道独立的选择题，第一题答对的概率为0.7,第二题答对的概率为0.8,第三题答对的概率

为0.9,X为答对题目的数量

【答案】B

【解析】

【分析】利用二项分布定义逐项判断即可得.

【详解】对A：“不放回”摸球，第二次摸出红球的概率受第一次结果影响，

试验不独立，不服从二项分布，故A错误

对B：射击5次可看作5次独立重复试验，每次击中概率均为0.8,

符合一项分布定义,且X〜8（5,0.8）.故B正确：

对C：“不放回”抽取，概率随抽取过程改变，不服从二项分布，故C错误；

对D：二项分布要求每次试验的成功概率固定不变.该选项中，

每道选择题答对的概率不相同，因此不服从二项分布，故D错误.

5.已知直线y=x+l与函数/（x）=ln（x+a）的图象相切，则实数。的值为（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【解析】

（详解】设直线P=工+1与/'（%）=ln（x+a）相切的切点为（MX。+1），则%o+1=In（x0+。），

求导得ra）=±，则r（%o）="^=i，解得％=i-。，

因此2—a=lnl=0,所以4=2.

6.已知随机事件力与6满足尸（1）二’,尸（6）=’,且尸（力76）=L则尸（团片）二（）

1111

A.—B.-C.-D.一

12643

【答案】C

【解析】

【详解】首先求出事件力与“同时发生的概率P（48）：

根据公式尸（Zu8）=产（/）+尸（5）-尸（48）,即:g+Ap（A8）,解得尸（"）=5.所以P（8|A）=

P（A3）11

衍=五'3=7

7.如图，若从5种不同的颜色中选4种颜色涂在图中的1〜5号区域，要求相邻区域不同色，且所选的4种

颜色都要用到，不同的涂法共有（）

A.120种B.240种C.360种D.480种

【答案】B

【解析】

【详解】由题知，4种颜色都要用到，则必有两块区域颜色一致，且不相邻,

图中有且仅有两块不相邻区域同色,其中2和4不相邻,3和5不相邻,共2组,从2组中选一组,有C；

种，

把这一组看作一个整体，从5种颜色中选4种，涂在区域上，有A；种，故共有C；A；=240种.

8.某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的4个球次中有3个新球和1个旧球.每次从中随机抽

取1个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持

续进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游

戏结束.设X为游戏结束时抽取的次数，则X的期望为（）

52353223

A.B.—C.—D.

28967F

【答案】D

【解析】

【分析】本题属于离散型随机变量的数学期望求解问题，首先提炼题干核心信息：抽奖箱初始有3个新球、

1个形状大小均相同的旧球，每次随机抽取1个球，规则为抽到新球则该球变为旧球后放网抽奖箱，抽到旧

球则丢弃该球，设X为抽奖总次数，需先明确X的所有可能取值，结合概率乘法公式计算每个取值对应的

概率，再通过离散型随机变量期望公式求解E（X）.

【详解】设X为游戏结束时抽取的次数，中奖情况：若只抽到初始的1个旧球即中奖，此时X=l,

P(X=l)4

若抽到过1个新球，则共需丢弃2个旧球，此时X=3,P(X=3)=qx[xg=g：

若抽到过2个新球，则需丢弃3个旧球，此时X=5,路径有(新，新，旧，旧，旧)和(新，旧，新，旧，

旧),RijP(X=5)=jXjxjx|xi+jXjXjXjxl=H

不中奖情况：若不中奖，则箱子为空，意味着3个新球都被抽过且4个旧球最终都被丢弃.每人新球需抽两

次(一次变旧一次丢弃)，初始旧球抽一次，故总次数必为X=3x2+1=7.

其概率P(X=7)=l_p(X=l)_p(X=3)_p(X=5)=l_Q+t+/)=^.

综上，X的数学期望E(X)=lx；+3xg+5x磊+7x^=尊故选D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分.

9,某校科技节共有4件不同的作吊，需要分配到甲、乙、丙三个展区进行展示，每个展区至少获得1件作品，

所有的作品都需要展示.下列选项正确的有()

A,不同的分配方案总数为12种

B.若作品力必须单独在甲展区，则不同的分配方案有6种

C.若作品8与作品C必须在同一展区，则不同的分配方案有18种

D.若甲展区恰好展示2件作品，则不同的分配方案有12种

【答案】BD

【解析】

【详解】先从4件作品中选出2件作为一组，有C；=6种选法，再将这三组分配到三个展区，共有

C：A；=6x6=36种方案，故A错误；

若作品力单独在甲展区，则剩余3件作品分配到乙、丙两个展区且每个展区至少1件，共有C；A；=6种方

案，故B正确；

若作品“与作品。必须在同一展区，则它们必须捆绑成一个整体，共有A；=6种方案，故C错误；

甲展区恰好获得2件作品有C；=6种选法，剩余2件分配给乙、丙各1件有A；=2种选法，共有6x2=12

种方案，故D正确.

10.下列命题中，正确的是()

A.若随机变量X〜N,,/),则p(x<4)=g

B.若随机变量X的方差。(*)=2,MD(3X-1)=18

C.若事件4与“相互独立，且尸(%)=0.3,P(8)=0.6,则P(/uB)=0.9

D.若事件4,8满足尸(彳)>0,尸(8)>0,且P(/|B)=P(/|2)，则力与8相互独立

【答案】ABD

【解析】

【详解】由正态分布性质可知，A正确；

D(3X-1)=32D(X)=18,B正确；

P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.72,C错误；

P(A)=P(AIB)P(B)+P(AIB)P(B)=P(力⑸[p(B)+P(初=P(川8)=?箸，

所以尸(48)=0(4)0(8),所以力与8相互独立，D正确.

11.已知函数/(x)=F—3。工2+3工+1,下列说法正确的有()

A.当Q>1时，/(x)的极大值点是a_J〃2_]

B./(x)的图象关于点(凡一2/一3。+1)对称

C.若/(工)在区间[0,2]上单调递增，则4的取值范围是(F,；

D.若/(x)有极值点且/(芭)=/(玉))，其中玉*小，则,%2+2,%$=3

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：求导后分析导数零点及单调性，确定极大值点；对于B：通过验证/(X)+/(2Q-X)的

值，证明函数图像的中心对称性；对于C：将单调递增转化为导数在区间上恒非负，分离参数并利用均值

不等式求参数范围；对于D：根据极值点是方程的二重根，利用多项式相等的系数关系推导结论.

【详解】f\x)=3x2-6ax+3=3(x2-2ox+l).

当a〉l时，/'(.丫)=0的两根为7二〃±，72—1,

且当上£卜叫4-JkJ。?-1,十可时，/'(X)>0,

X€("—1,a+_])时，/'(x)<0,

故』(力在(-oo,a-J/-1),(〃+y/a2-1,+8)上单调递增，

在(。一或2-1,〃+//一1)上单调递减,可知X=Q_J7=T是极大值点，A正确：

因为/(X)+f(2a-x)=x3-3o?+3x+1+(2。-x)3-3a(2a-x)2+3(2。-x)+1

=/-3ax~+3x+1+8Q3—12,ci~x+6cix~—x3—12/+12。〜x—3cix~+6。—3x+1

=-4a3+6。+2，

所以V=/(x)的图象关于点(凡-2/+3。+1)中心对称，B正确；

若f(x)在［0,2］上单调递增，则/'(X)20在［0,2］上恒成立，即/_2奴+1之0在［0,2］上恒成立，

即+1.当x=0时，aER；

当0<X«2时，2a<x+—,因为XH—22,

xX

当且仅当x=l时取等号，所以2a<2,解得。VI.综上，a<\,。错误；

因为与，X都是/(»=/(%)的解，且/'(%)=0，

则与是方程/(x)=/(%)的二直根，另一根为x-

2

则有/'(X)-/'(%)=(x-工0『(x-演)=/一+2x0)x+(2/不+x：)x-x",

所以/'(x)=d—(X+2%)/+(2%丙+x；卜一片玉+/'(%),

又/(同=/_3a炉+31+1且/(%)为常数，可得x；+2x0x=3,D正确..

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知C：=3A：,则〃=(用数字作答》.

【答案】7

【解析】

【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于〃的等式，结合〃N2可求得〃的值.

【详解】由C：=3A：得”(〃-1)=3〃,因为〃22,解得〃=7.

2

13.已知函数f(x)=;dnx+2x—表2一1有两个极值点，则实数m的取值范围为.

【答案】(0通2)

【解析】

【分析】首先明确函数/*)的定义域为(0,+8),因表达式中含Inx,故x>0.根据极值点的定义，函数

有两个极值点等价于其导函数/'(X)在(0,+s)上有两个不相等的变号零点.对/。)求导后，将导函数为零

lnx+3

的方程变形，分离参数机，将问题转化为直线》=〃，与辅助函数g(X)=的图像在(0,+8)上有两个

x

不同交点，通过研究g(x)的单调性、最值与值域，即可确定机的取值范围.

【详解】由题意知，xG(0,+<x))rf(x)=Inx+1+2—mx=Inx-mx4-3

•••/(x)有两个极值点，.•./'(x)=0在(0,+8)上有两个不等的实根，即〃?二史也有两个不等的正实根.

X

令0。)=缺二%£(0,+8),9，(幻=三泮，令g'(x)=0,解得x=e-2.

当工«0©2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x«e-2,+8)时，g\x)<0,g(x)单调递减，

・"(工)极大值为9(©-2)=02,当X〉。且Xf0时・，g(K)->-8;当Xf~K0时，g(x)->o.

作图如下，由图可知0<m<e2时，加=a，有两个不等的正实根,

x

即实数〃?的取值范国为((Ke?).

14.某知识竞赛题库中有2道力类题和2道8类题.选手先随机拍取1道题作答(抽后不放问)，若答对，则

3

继续抽取下一道(仍不放回)；若答错，则立即终止.已知选手答对/类题的概率为一，答对8类题的概率

4

为g,且每次答题结果相互独立.则选手恰好答对1道题的概率为.

23

【答案】77

96

【解析】

【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式求解.

【详解】由选手恰好答对I道题，得第1题对，笫2题错，

当第1题为X类题时，+

当第1题为8类题时，|x|x(|xl+lxl)=^,

5123

所以选手恰好答对1道题的概率为0==+—=777.

321296

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知二项式2GL的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:2.

IX）

（1）求〃的值及展开式中所有二项式系数的和；

（2）求展开式中含x-s项的系数及所有项的系数之和.

【答案】（1）8,256

（2）112,1

【解析】

【小问1详解】

由题意得C：:C：=1:2,即:人八——蓝---^=1:2,

解得〃=8,

则展开式中所有二项式系数的和为2s=256.

【小问2详解】

展开式的通项公式为加=[26厂（」）8-3r

二c;2y

8—3尸

令——=-5,解得r=6.

2

所以含X一项的系数为C；x28-6x(_l)6=28x4x1=112.

令1=1,得所有项的系数和为（2抗一1『二1.

16.已知函数/（；0=。111%+§+%（如6£/?）,且/（工）在工=1和）=2处取得极值.

（1）求〃，力的值;

（2）若存在；,3,使得不等式/（“工。成立，求实数。的最小值.参考数据：皿2。0.69.

【答案】（1）。=一3,h=-2

(2)31n2-2

2

【解析】

【小问1详解】

由题知X£(0,+8),fW=7-77+1，

7*11)

=a-b+l=Oca=_3,

「(2)=|-1+1=0*解付U=-2.

经检验，当。二一3,〃=-2时，x=l,x=2是极值点，符合题意.

所以。二一3,h=-2.

【小问2详解】

由(1)问知/(%)=-31nx—：+%,尸(%)=("一?厂?)

由f'(x)=0可解得x=l或x=2,

「11「1、

又因为xw-,3,所以当XE-,1和XE(2,3］时，r(x)>0,/")单调递增；当x«l,2)时,

乙乙)

f{x)<0,/(x)单调递减，

因为存在XE-,3使得/(X)4c成立，故cZ/•⑶min，且/■©=3也2—//(2)=1-31n2.

(I\

由3E2—：一(1一3'2)=61112—4.5《6乂0.69—4.5〈0,可得/-</(2).

12,

I77

所以/卜)在5,3上的最小值为31n2-3,所以cN31n2-弓，

乙乙乙

即实数。的最小值为31n2-1.

2

17.某班级有8名学生，其中4名男生、4名女生.现组织三项活动：

(1)将8名学生平均分成4个小组，小组之间无顺序，且每个小组恰好有1名男生和1名女生.求不同的

分组方式有多少种？

(2)将8名学生排成一排，要求任意两个男生都不相邻，且最左边必须是男生.求不同的排列方式有多少

种?

(3)从8名学生中选出4人组成“辩论队”，再从中选出2人分别担任“主辩”和“副辩”.设要求选出的

4人中有x名男生，V名女生，卜一升工1,且担任主辩的必须是男生.求不同的选派方案有多少利1？

【答案】(1)24(2)2304

(3)216

【解析】

【分析】（1）将4名女生与4名男生进行配对即可；

（2）利用插空法解决不相邻问题：

（3）先由题意得到选出的4人中有2男2女，确定选人方案；再根据“主辩”和“副辩”的要求求出选法

数，由分步计数乘法即可求解.

【小问1详解】

要使每个小组恰有1名男生和1名女生，只需将4名女生全排列到4名男生所在的位置中即可，共有

A；=24种.

【小问2详解】

先排4名女生，有A：种方法，产生5个空位.由于最左边必须是男生，则第1个空位必选，

再从剩下4个空位中选3个插空，共有A：xCixAi=24x4x24=2304种.

【小问3详解】

由题意，可知x+y=4,|x-y|Wl,所以选出的4人中2男2女.

选人方案有C：C：=36种；

对于确定的4人，主辩（男生）有2种选法，副辩（剩余3人）有3种选法.

故共有36x2x3=216种.

18.某工厂生产的一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品40件.质检员采用两种抽样方案：

方案一：从这批产品中随机抽取10件（不放回），检验其中一等品的件数；

方案二：从这批产品中随机抽取I件，记录是否为一等品后放回，重复10次，检验10次抽取中一等品的

总件数.

记随机变量X为方案一抽到的一等品件数，Y为方案二抽到的一等品件数.

（1）求。（X=6）（用组合数公式表示即可，不用化简）：

（2）比较P（X=5）和P（X=7）的大小，并求丫的数学期望：

（3）设函数/（%）=?（X=%）,1=0,1,…，10,求/（%）的最大值（用组合数公式表示即可,不用化

简），并指出此时人的值.

c6C4

【答案】（1）半芳

^100

（2）P（X=7）＞P（X=5）,6

（3）当攵=6时，/（〃）取得最大值，最大值为零处.

【解析】

【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解；

(2)结合超几何分布概率求概率，再利用作商法比较大小：根据二项分布的数学期望公式计算期望:

(3)建立不等式工'”并且［、之1,求解左，进而得到了(%)的最大值表达式.

j(k-1)_/(4+1)

【小问1详解】

由题可知恰好抽到6件一等品的概率尸(X=6)=?触

。100

【小问2详解】

由题可知，。('二讣若,「。=7)二卷,可得版M"番.

所以尸(X=7)>尸(X=5).

由题可知方案二中每次抽到一等品的概率P=。.6,

故y服从二项分布丫〜8(io,0.6),

数学期望E(y)=〃p=10x0.6=6.

【小问3详解】

「k010-《

设/(左)=徜〜f(k)C2C黑61-&\\-k

考虑比值：湍磅金--------------

VIOOrk30Ik

/(%).CoC小k+131+%

/(A+1)C针C：j60-%10-A'

-^>1他〈经

假设/(%)为最大值，则有仁逝

&1一102

BP—</:<—,又ksZ,见攵=6,

102102

r6r4

故当〃=6时，/化)取得最大值，最大值为〃6)二谓差.

joo

19.已知函数/(x)=c*—oxsinx,其中。£R,xw(0,乃).

(1)当4=1时，求/(X)的单调区间;

(2)证明：当xw(O,乃)时，ev>2xs\nx：

(3)设/(%)在(0/)上的零点个数为，(。)，证明:存在唯一的的£(2,4),使得N(a0)=l.

参考数据:e"*4.48,sinl.5«0,997,cosl.5®0.07.

【答案】(1)单调递增区间为(07),无单调递减区间.

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先求/‘(X)的导数，构造辅助函数以幻=/一》一1,利用导数得到/>x+l，再对/'(x)

进行变形，进而得到/(幻的单调性.

(2)要证c、>2xsin_r,先利用xw(0,乃)时OvsinxVl得到2xN2xsinx,再构造函数力(x)=e*-2x,

通过导数研究力(幻的单调性与最小值，证明/>2x在(0,))上恒成立，从而得证.

(3)将/(x)在(0,乃)上的零点个数转化为方程。二上一的实根个数，构造函数g(x)=-^,通过求

xsinxxsinx

导研究g&)的单调性与极值点，结合X.0+和戈-