不等式的性质【6大考点】2027年高考数学一轮复习专练（原卷版及解析版）

1.3不等式的性质

6大考点汇总

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

考点02由不等式的性质比较数（式）大小

考点03作差法比较代数式的大小

考点（）4作商法比较代数式的大小

考点05由不等式的性质证明不等式

考点06利用不等式求值或取值范围

题型专练

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

1.（多选）若a>b>bc>0,则以下结论正确的是（）

c1

A.0<c<1B.ah>bc•a-bc<TD.abc<a1

\a+t\

2.己知。，。为实数，贝『/+/工0〃是"41成立”的()条件.

同+BI

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.已知。〉0〉心则下列不等式一定正确的是（）

11bb+\

A.-<-B./.C.同>网D.-<------

abaa+1

4.（多选）下列结论正确的是（)

若av/?v0,贝।止

A.若a>b,c>d,则B.

ab

2

C.若会则》D.当x>0时,，x+—的最小值为2

r

考点02由不等式的性质比较数（式）大小

5.（多选）下列不等式中成立的是（）

A.若a>b>0,则a2>加B.若a>。>0,则a2>b2

则"

C.^a<b<0,WOa2<ab<b'D.若"〃<0,

ba

6.^c>b>a>0,且。，b,c均不为1,则下列结论正确的是（）

A.(c-b\'<(b-a)eB.log/<log/C.ahbl>cbbuD.a+-<b+-

ba

7.（多选）已知实数。，满足而二?>J^T,则（）

11

A.a>hB.-<-

ab

C.(a-b)(a+b-2)<0D.2"-2">3一"一3”

8.已知a,b,c满足cv/?v•且acvO,则下列选项中不一定能成立的是（）

cb

A.-<—B.

aa

b2a

rC.—<-D.—<0

ac

9.（多选）若cvdvO,则()

cdTd

A.a-c>b-dB.ad>bcC./>bcD.------>—

c-1c

10.已知非零实数满足且a+cwO,则下列说法正确的是（）

b+cbh-c

A.ac>bcB.C.D.

a+c

考点03作差法比较代数式的大小

11.比较。一3）2与（x-2）（x-4）的大小.

12.已知4,qwR,M=axa2,N=ai+a2-\,判断M,N的关系？

13.已知M=x2—2x+4,N=2/—1,则M与N的大小关系为（）

A.M>NB.M<NC.MNND.与x有关

14.已知函数/（X）=/一%¥+g.

⑴若g（x）=J丽的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若〃=2,设〃（力户+4.1,试比较/（刈与/?（"的大小并说明理由.

考点04作商法比较代数式的大小

15.试比较下列各数的大小，并说明理由：

⑴3+G与2+石；

(2)"与3-百.

16.设。>0,/?>(),且则々名“和小炉的大小关系是

17.(1)比较大小：f+『+2与2(x+2y-2)；

(2)设比较*4与伫g的大小.

a~+b-a+b

18.若。二寸/=光-,则〃与〃的大小关系是.(用">"连接)

考点05由不等式的性质证明不等式

19.已知a也c,d均为正实数，且』>5,c>d,求证：

aba+cb+d

20.(1)比较(x+2/x+3)与(x+l)(x+4)的大小;

(2)已知a>力>0,c<0,求证：—>y.

ab

21.已知d<c<-2.

⑴求证：(a-l)(b-l)(c+2)("+2)>0：

(2)求证：ac+bd>bc+ud.

22.已知力克糖水中有〃克糖3>〃>0),往糖水中加入切克糖(〃〉0),(假设全部溶解)糖水更甜了.

⑴请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式;

2019202020192017

(2)利用(1)的结论比较M=________N=的大小:

20232024'-20232021

xVz

(3)证明命题：设x>0,y>0,z>0,证明：1<------+——+——<2.

X+)'z+x

考点06利用不等式求值或取值范围

23.己知3<。<8,4<〃<9,则:的取值范围是_______.

b

24.已知2<。<3,-2<力<0,则”的取值范围为()

A.0<«+2/?<3B.OWa+2/?<3C.-2<«+2/?^3D.-2<a+2b<3

25.若lva+〃<4,—2va—2<4,则a+3。的取值范围是O

A.-5<a+3/?<lB.-2<a+3/?<IOC.-2<。+3〃<9D.-5<«+3Z?<10

26.已知-l<x+y<l,]<x-y<2,则4x-2y的取值范围是()

A.[2,7]B.[3,8]C.[2,8]D.[5,10]

27.已知IW2x-yW2,-lW2x+3y«l,则6x+y的取值范围为

28.已知实数a,b.

⑴若一3<"心。小则/取值范围;

(2)若Tva+b〈3,2va-bv4,求2。+3A的取值范围.

1.3不等式的性质

6大考点汇总

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

考点02由不等式的性质比较数（式）大小

考点03作差法比较代数式的大小

考点（）4作商法比较代数式的大小

考点05由不等式的性质证明不等式

考点06利用不等式求值或取值范围

题型专练

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

1.（多选）若a>b>bc>0,则以下结论正确的是（）

A.（）<c<IB.ah>bcC.—^―<—!-D.abc<a2

a-bea-b

【答案】ACD

【分析】对于A,由力c,两边同除以正数。即可求解；对于B,使用反例证伪即可,对于C,将原不等式

转化为即可求解，对于D,使用不等式的传递性完成放缩即可.

【详解】因为匕>0,历>0,所以c>0,

对于A,因为人>历，且〃>0,则有1>C,进而可得0<c<l,故A正确;

对于B,^^j^a=—,b=—,c=—,此时be二,，—>->—>0,

2416642464

此时八(1=2+”=(丁=2卷

以2为底的指数函数单调递增且十十则2鼠小此时八八故B错误;

对于C,因为eel,«>0,则有ac<a,iSKijac-bc<a-be-ERc(a-b)<a-bc,

因为即〃一。>0,因为即〃一板、>0,

c(a-b)a-be

不等式两边同时除以（a-b）（a-bc）得

(a-b)(a-bc)(a-b)(a-bc)

整理得一一二，故C正确;

a-bea-b

对十D,因为。>，a>0,W>Jab>abc,

因为则才＞ab，

进而有/＞。匕＞。儿，即aAcva?，故D正确.

2.已知。，b为实数,则“/+〃2工。”是成立”的()条件.

同+MI

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】明确不等式有意义的等价条件,再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可

【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母|〃|+|/*0,等价于，⑦不同时为0,即/+铲，0,故必

要性成立.

验证充分性:若然+从工o,此时时+|*o；

根据绝对值三角不等式,对任意实数a，b，恒有|。+可引。|十四，

\a+b\

不等式两边同时除以正数同同可，可得n-i7i<H故充分性成立.

\a\+\b\

\a+b\

综上，"/+加工0”是“1成立〃的充要条件.

Hr+H

3.已知。〉0〉〃,则下列不等式一定正确的是()

I1bb+\

A.一<一B.a3<b3C.同＞四D.—<------

abaa+\

【答案】D

【详解】选项A：因为。〉()，所以，＞0；因为力＜0,所以:＜0,・定大于负数,时小故A错误;

正数,

ab

选项B：因为。＞0,所以/＞0；因为人＜0,所以从＜0,正数・定大于负数，即故B错误;

选项C：仅知道〃＞0”,无法确定同与网的大小关系,

例如：若。=1,力=-2,则分|；若a=3,"=-l,则故C不一定正确;

b+\ba(b+\)-b(a+\)ab+a-ab-ba-b

选项D：用作差法验证:

a+\aa(a+l)a(a+l)a[a+\)

因为。〉0〉/九所以a-Z?＞0,若〃〉()且。+1＞()(成立，因为a〉0),则分母a(a+l)＞。,

因此‘差篇即篙4＞°'可得9等‘故》.定正确.

4.(多选)下列结论正确的是()

A.若a>b,c>d,PVJac>bdB.若a<〃<0,!l{ij—>—

ab

C.若■，则D.当x>0时，X+2的最小值为2

c~c~x

【答案】BC

【详解】取a=l,b=-2,c=-l,d=-3,满足a>A,c>d,

但ac=-l</?d=6,因此ac>/M不成立，故A错误；

若a<b<0,故ab>0,b-a>0,

取工一?=―――>0,所以故B正确；

ababab

若二〉与，则HHO,故。>b,故C正确;

c~c

当x>0时，1+；22同=J,当且仅当X=；时等号成立，故D错误.

考点02由不等式的性质比较数（式）大小

5.（多选）下列不等式中成立的是（）

A.若。>6>0,贝ljac2>b（?B.若a>b>0,则

C.若avZ?vO,贝ij/<aZ?</D.若avbvO,BO7<—

ba

【答案】BD

【详解】对于A：当c=0时，ad=bf,故A错误：

对于B：因为a>b>0,则时>例>0,故得从,故B正确;

对于C：若取。=-3,〃=-2,满足a<〃v0,

因。2=9,（山=6,〃2=4,显然不满足/，故c错误；

对于D：由々<力<（）,得">0且〃一。>0,

因」—?=>°，可得:<，，故D正确.

ab力ab:ba

6.若c>A>〃>0,且。，b,c均不为1,则下列结论正确的是（）

cC

A.(c-b)a<(b-a)cB.log/vlog/C.ahbl>chbaD.a+-<b+—

ba

【答案】D

【分析】利用特殊值法和不等式性质来逐一分析选项.

【详解】对于A选项，取c=4,b若,a=3,则。一〃=1,b-a=；,

则有（c—人）“

曾625r

则有（c—3">S—a/，故A错误,

对于B选项，取。=:,

则log/=10g,1=2,logflc?=logl|=|,

24Q2J

所以log/>logflc,故B错误,

对尸C选项，取c=4,b=2,〃=

则-24=4,cbba=42-25=16V2-

则有次/Vc%。，故C错误，

对于D选项，因为<?>/?>〃>0,

所以：〈*=：<£,由不等式的同向相加性质可知a+：vb+£,故D正确.

bababa

7.(多选)已知实数a,b满足而则()

11

A.a>hB.一<一

ab

C.(a-b)(a+b-2)<0D.2"-2”>3-“-3”

【答案】ABD

【分析】首先根据条件判断再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小.

【详解】由条件可知,a-\>b-\>0,则”故A正碓;

-<7,故B正确；

ab

a-b>0,a+b-2>0,所以(a-〃)(a+0-2)>0,故C错误;

设/(力=2、-3-x,为增函数-减函数=增函数，所以/(“为增函数，

因为所以即2"-3-“>2'-3"，即2"一2“>3”一3",故D正确.

8.已知a,b,c满足c<〃va且4c<(),则下歹ij选项中不一定能成立的是()

b2a2-a-c八

C.—<-D.<0

ccac

【答案】C

【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD,举反例排除C.

Ch

【详解】因为〃>0,不等式c<〃两边同除以正数“，不等号方向不变，因此一定成立，A正确;

由bva得b-"G,又c<0,负数除以负数结果为正，因此——>。一定成立，B正确；

C

取c=-2/=l,a=3,满足条件，但此时(:错误；

cc

由〃>0,c<0得a-c=a+(-c)>Ot且acvO,正数除以负数结果为负，因此小<0一定成立，D正确.

ac

9.(多选)若。>Z?>0,cvdvO,则()

A.a-c>b-dB.ad>bcC.ac>blD.——->—

c-1c

【答案】AD

【分析】本题考查不等式的基本性质、鼎函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项.

【详解】选项A：由cv"vO,两边同乘一1得0v-dv-c,

结合根据不等式性质：若用>〃，〃>夕，则〃什〃>〃+夕，

可得4+(—+d),即CLC>b-d，所以选项A正确.

选项B：取特值a=3,Z?=l,c=—3♦4=一2,则ad=-6,加=—3,

此时ad<be,所以选项B错误.

选项C：已知〃>〃>(),c<0,设幕函数y=x',

因为c、<(),所以幕函数y=x'在(0,+8)上单调递减,

根据基函数的单调性，可得de3,所以选项C错误.

d-\d_c(d-l)-d(c-l)_cd-c•-cd+d_d-c

选项D：对“二-4进行通分:

C—1Cc—1cc(c-1)c(c-1)c(c—1)

因为cvdvO,所以d-c>(),c<0,c-1<0,则c(c-l)>0.

d-c八z/-id(i-\d

所以77―n>0»即-—巴>°，所以幺一,巴，所以选项)正确•

c-icc-ic

10.已知非零实数a,4c,满足。且C/+CHO,则下列说法正确的是()

ahbb+ccbb-c

A.ac>lx-B.—<—C.—>-------D.->------

ccaa+caa-c

【答案】B

【分析】根据不等式的性质判断A,B；利用作差法判断C,D.

【详解】易知acv故A错误，B正确；

CC

对于c,移项作差，得3-誓=辞，

aQ+Ca(a+c)

因为不能判断a+c的正负,

(b-ci}c

所以不能确定一—♦的正负，

a(a+c)

所以不能判断乙@£的大小关系，故c错误；

aa+c

bb-c(a-b)c

对于D,移项作差，------•二—^<。，

aa-ca(a-c)

所以2〈妇£,故D错误.

aa-c

考点03作差法比较代数式的大小

11.比较(工一3尸与0一2)*—4)的大小.

【答案】(X-3)2>(X-2)(X-4)

［详解］(%-3)2-(x-2)(x-4)

=x2-6x+9-(x2-4%-2x+8)

=x2-6x+9-x2+6x-8

=1>()

(x-3)2>(x-2)(x-4)

12.己知N=a.+a.-X,判断M,N的关系？

【答案】当4，4e(y,l)或«1,+8)时，M>N；

当6，%中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，MSN.

【详解】由M—N=%生一(《+%-1)=(4一1)(%-1).

①当4,%e(-8,1)时，(％-。(生-1)>。，即M>N；

②当q,6w(l,+oo)时,(«(-1)(6/2-1)>0,即M>N；

③当4，的中一个小于或等于1,另一个大于或等于1时，(4一1)(七一1)4O,即MVN.

综上所述，当4，生£(田,1)或£(1，+8)时，M>N；

当4，%中一个小于或等于1,另一个大于或等于1时，M4N.

13.已知M=X2_2X+4,N=2X-I,则M与N的大小关系为()

A.M>NB.M<NC.M>ND.与x有关

【答案】A

【详解】M-^=x2-Zr+4-(2x-l)=x2-4x+5=(x-2)2+l>0,故M>N

14.已知函数/(司=/-2^+8.

⑴若g(x)=/7W的定义域为R，求实数0的取值范围；

(2)若〃=2,设力(工)=空学二1,试比较〃刈与力(同的大小并说明理由.

X

【答案】⑴［-2四,2&］；

(2)当x=l时，f(x)=h(x)i当％*1且XHO时,f(x)>h(x).

【分析】(1)根据函数定义域的要求，需保证二次函数/")在R上恒非负，利川判别式AWO,求解。的取

伐范围；

(2)通过作差法计算/(X)-力⑴，化简后判断其符号，即可比较/(“与网”的大小.

【详解】(1)由题意，f(x)=x2-2ax+S,则g(x)=而^=&-2公+8,

因为函数g(x)的定义域为R，

所以对任意xwR,都有/一2娥+820恒成立.

叩△=46/一3240，解得一2枝£aW2夜.

故”的取值范围是［-2夜,2加］.

(2)由题意,当。=2时，f(x)=f-4x+8,

所以/(X)_/?(X)=(X2_4X+8)_2I:心八1二丁+5)-4(*+^)+6

="m)+4=(­j=y".

所以当X=1时，〃力=〃(力；当且加0时,/(X)>/7(A).

考点04作商法比较代数式的大小

15.试比较下列各数的大小，并说明理由：

⑴3+G与2+不；

(2)"与3-G

【答案】(1)3+6>2+石，理由见解析

（2），7＞3-6，理由见解析

【分析】（1）两数大小即为1+6,石的大小，平方后可得它们的大小关系;

（2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系；

【详解】（1）3+6＞2+石

理由:3+6-（2+石）=1+6-石，

由于（1+石）'=4+26＞5,且1+6＞。

所以1+6＞石，即1+白-石＞0,

因此3+逐＞2+右.

(2)V7>3-73

-9湍斯中

因为J7>2,3+G>4,所以6(3+G)>8,即得

6

Fj

即----7=>1>又3—>/3>0>

3-V3

收近＞3-6.

【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法.

16.设。＞0,/9＞（）,且则4%"和/我的大小关系是

【答案】al,bh＞ahba

arb(

【分析】由。＞（）,b>(),且得到安=/"•廿、=-,再分〃＞。＞0和。＞。＞0讨论求解.

ahbaUJ

【详解】因为。＞0,b＞0,且。¥乩所以毕1=不.尸=但丫

abb1,⑴

/\ii-b

当a>/?>()时，由一>1,a-b>0,可得->1,所以4%>4为”.

b

/、a-b

当〃>〃>()时，由0<g<l,<0,可得q>i所以

b

综上口J得，d'E'>66’.

故答案为：a(,bh>ahba.

17.(1)比较大小：f+『+2与2(x+2y-2)；

(2)设比较与N的大小.

【答案】(1)f+V+2>2(x+2y-2).

…、a2-b2a-b

a'+b~a+h

【分析】(1)利用作差法比较大小.

(2)利用作商法比较大小.

【详解】(1)x2+y2+2-2(x+2y-2)=x2-2x+l+y2-4y+4+l

=(x-l)2+(y-2)2+l>0，

因为“一1)220,(丁一2)2之()，所以(x-i『+(y-2)2+l>0,

BPx2+/+2>2(x+2y-2).

a-b八

(2)由。”>(),得H0,半±=("+?("，)>0,—r>0,

a~+b~a~+b~G+b

a2-b2

因此曰上网2ab

a-ba~+b~a2+b2

a+b

所rc以HIA~C-l—b

a+b'a+b

18.若。=华/=绊，则”与人的大小关系是

.(用“>”连接)

32

【答案】a>h

【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断;

【详解】方法一(作商法)：因为。=华>0/=华>0,

32

...aIn3221n3In9._,

所tr以一=——x——=------=——=log.9>1，

b3hi231n2In88

所以

方法二(作差法)：«-/?=—--=-(21n3-31n2)=-(ln9-ln8)>0,即

3266

故答案为：。>力

考点()5由不等式的性质证明不等式

19.己知a,"c,d均为正实数，且求证：—

abaleb\d

【答案】证明见解析

【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论.

【详解】->1,a>0,b>0.

ab

:.b>a>(),

又c>d>。,

..be>ad>0,故Z?c-ad>0,

cdbe-ad/八八

•'-----=7---------77,-7：»bc-ad>D,(a+c)(Z?+")>0,

a+cb+d(a+c)(Z?+d)'八7

cdcd

---------->0,即an---->----.

a+cb+da+cb+d

20.(1)比较(x+2)(工+3)与(x+1)(x+4)的大小；

(2)已知a>/?>(),c'<0,求证：->y.

ab

【答案】⑴(x+2)(x+3)+(*+l)(x+4)；(2)证明见解析

【分析】(1)利用作差法比较大小；

(2)根据a>b>0,得到］>」>0,再由c<0,根据不等式的性质可得£>：,从而得证.

baab

【详解】(1)因为a+2)a+3)-(x+i)(“+4)

-x1+5JV十6-(^2+5x+4)=2>0,

所以(.T+2)(A:+3)>(X+1)(X+4)；

(2)因为a>Z?>0,所以，>，>。，

ba

又c<0,所以£>£,得证.

ab

21.已知d<c<-2.

⑴求证：(a-l)0T)(c+2)(d+2)>O；

(2)求证：ac+bd>bc+ad.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用不等式的性质证明即可：

(2)应用作差法比较大小，即可证.

【详解】（1）由a>人>1,则。-1>0力一1>0,故（。一1）仅一1）>0,

由"vcv-2,则c+2<0,d+2<0,故(c+2)(d+2)>0,

所以（CL1）伍-l）（c+2）（d+2）>0,得证.

(2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+d(b-a)=(c-cl)^a-b),而a-b>0,c'-4>0,

所以4+〃d-Z?c-4d=(c-d)(a-〃)>0,&|Jac+M>bc+ad,得证.

22.已知力克糖水中有〃克糖3>a>。），往糖水中加入，〃克糖（加>0）,（假设全部溶解）糖水更甜了.

⑴请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式;

⑵利用⑴的结论比较吟舞翳丑黑需的大小;

x

⑶证明命题：设x>0,y>0,z>0,证明：1<+—<2.

x+yy+zz+x

【答案】（1）£〈誓.（，〃>0）,证明见解析

bb+m

(2)M>N

⑶证明见解析

【分析】（1）根据题意，得到不等式;〈等,（，〃>0）,结合作差比较法，即可得证;

bb+m

?（）1920202（）192）17+3

（2）根据题意，化简M=：二：：：二2=：；：：：：；，利用上述结论，即可求解；

2023202420232021+3

j----x-+-z---，---y------y--+-x--，——z、心工，证得4Vze

（3）由（1）中的结论,得到----+——+----<2

K+yx+y+z)'+zy+z+xZ+Kz+x+yx+yy+zz+x

y

再由，由即可得证.

x+yx+y+zy+zx+y+zz+xx+y+z

【详解】（1）由题意,可得不等式"产,（"“（））.

bb+tn

aa+m_ab+am-ab-bin_(a-b)m

证明：由

bb+inb(b+ni)b(b+m)'

因为。>4>0.〃？>0,可得。一。（0.〃+"»0.

叱「I。a+ui八aa+m

所以--------<0,即HI1一<-----.

bb+mbb+ni

/、、2019202020192017+3、，20192017

(2)illM=________=____________N=________

2023202420232021+3'20232021'

/、।20192017+320192017、，

rh(1)中的结论，可得----------->---------,即nnM>N.

20232021+320232021

(3)证明：因为x>O,y>O,z>O,

y+xz+y

根据⑴中的结论，可得生----<

y+z+xXz+x+y

xyzx+zy+xz+y_

同向不等式相加可得,----+—=—+----<-------+—:-----H-----:—=2①,

x+yv+zz+xx+y+zy+z+xz+x+y

vy

又由许:同理可得」一＞

)'+Zx+y+zz+xx+y+z

则上+上②

x+yy+zz+x(x+y+zx+y+zz+x+yJ

综合①②，得|＜忘+黄rW＜2.

考点06利用不等式求值或取值范围

23.己知3<。<8,4</?<9,则f的取值范围是________.

h

【答案】(；，2)

【分析1利用不等式的性质来确定，的取值范围.

h

【详解】