中考数学专项训练：填空题（附答案解析）

一,填空题（共25小题）

I.（2025•崇明区模拟）已知子那么口=_____________________.

y3y

2.（2025•汝阳县一模）二次函数），=7-41+5的最小值为.

3.（2025•历城区校级自主招生）已知41,42,43,44,45是满足条件41+42+43+44+45=9的五个不同的整

数，若。是关于X的方程（X-41）（X-«2）（X-G3）（X-44）（X-。5）=2009的整数根，则〃的值为

4.（2025•伊川县一模）如图，在菱形A8C。中，E为C。上一点，连接AE,BD,交于点。，若SAAOB：

5.（2025•碑林区校级三模）烷垃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物

的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种甲烷C”4如图①有4个氢原子,

第2种乙烷C2H6如图②有6个氢原子，第3种丙烷C3//8如图③有8个氢原子....按照这一规律,

第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是

6.（2025•盐城）已知二次函数），=/-2x-3,当自变最工满足0<x<4时，），的取值范围是

7.（2025•安徽）对于正整数〃，根据〃除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数〃?；若余数为0,

则〃若余数为1，则m=2〃；若余数为2,则加=〃+1.这种得到根的过程称为对〃进行一次“变

换对所得的数，〃再进行一次变换称为对〃进行二次变换，依此类推.例如，正整数〃=4,根据4除

以3的余数为1,由4x2=8知，对4进行一次变换得到的数为8,根据8除以3的余数为2,由8+1=

9知，对4进行二次变换得到的数为9：根据9除以3的余数为0,由9+3=3知，对4进行三次变换得

到的数为3.

（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为；

（2）若对正整数〃进行二次变换得到的数为1,则所有满足条件的〃的值之和为.

8.（2025•大丰区一模）矩形的两边长分别为▲•和6（x<6）,把它按如图方式分割成三个全笔的小矩形,

每一个小矩形与原矩形相似，则工=.

6

9.（2025•湖北三模）在一个不透明的盒子里装有三张无差别的卡片，分别标有数字1,2,5,现随机抽取

一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率

为•

10.（2025•天府新区校级模拟）如图，RS4BC和RIAOE/中，NEO尸=90。，AB=3,4c=4,

DE=4,DF=8,点M在边8C上，点N在边防上，4M分割△4BC所得的两个三角形分别与。N分

割△/）£：尸所得的两个三角形相似，那么线段。N的长是.

11.（2025•香坊区校级一模）已知四边形ABC。，ZABC=90°,ZACB+ZBCD=90°,AC=CD,若A8=

12.（2025•光明区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，A8=AC,点P在BA的延长线上，%=点力

13.（2025•渭滨区校级模拟）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和

正〃边形木块.由于小朋友只选r正方形的木块，导致没有拼成.老师鼓励他选取正〃边形的木块试试,

他试了几次终于成功了.这里的〃

14,（2025•南关区校级二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第〃个图案需要

15.（2025•湖北模拟）如图，^ABCD的对角线相交于O,其内部的一个动点P落在阴影部分的概率

是

16.（2025•南关区校级二模）如图，正方形A3CO边长为2,在王方形A3CQ内部，以44为直径作半圆,

点、E是CD中点，AE,BE分别与半圆交于点G,点F,连接CF.①AG="；®cos/-DAE

27

④SABCF=3⑤点G、r是半圆的三等分点•以上说法正确的有.（只需填写序号即

53

可）

在菱形4BCO中，对角线人。、B。相交于点O,以。为圆心，0。长

为半径作圆心角为120。的扇形MON,OM与边AO交于点E,ON与边CO交于点F.若A0=3,ZBAD

=120。.则图中阴影部分的面积为（结果保留TT）.

18.（2025•广东校级模拟）如图，AB是OO的直径，将弦2c身点A顺时针旋转30。得到AD,此时点C

的对应点。落在AB上，延长CD,交OO于点E,若CE=4,则图中阴影部分的面积为.

A

19.（2025•南京模拟）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案

是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作A3的垂直平分线。。交A8于点。，交通于点G测

出A3=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为.

20.（2025•绥化一模）某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为35，的蜡烛（包括火焰高度）立在小孔

前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm,此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的

投影屏上形成了一个“像“，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系xOy,设蜡烛火焰顶

端A点处坐标为（-6,3）,则A点对应的“像”的点的坐标为.

A

0-1x

21.（2025•汇川区四模）如图，二次函数法+c•的部分图象与x轴交于点（-3,0）,对称轴为直线

x=-1,则当函数值1y>0时，自变量x的取值范围是.

22.（2025•湖北模拟）如图，已知正方形/WC。的边K为10,对角线交丁点O,点石为6c的中点，连接

OE与AC交于点尸，点G为。尸的中点，连接AG并延长，与CD交于点”，则

（2）GH的长为_______________________

23.（2025•秦淮区二模）如图，48是。0的直径，弦CO_LA8,点正在AB上.若==则⑦的

24.（2025•湖北模拟）如图，0。的直径AB平分弦CZH不是直径）.若/。=40。，则NC=

25.（2025•商河县一模）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息.已知

甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间/（分）之间的关系如图所示，则先

参考答案与试题解析

一,填空题（共25小题）

I.（2025•崇明区模拟）已知子=3那么二=；.

y3y—3—

【考点】比例的性质.

【专题】计算题；数感.

【答案】.

【分析】先把口化成2-1,再代值计算即可.

yy

x5

【解答】解：丁,二9即x：y=5：3

故答案为:|.

【点评】本题考查比例的性质.解题关键是熟知比例的性质.

2.（2025•汝阳县一模）二次函数-41+5的最小值为1.

【考点】二次函数的最值.

【答案】见试题解答内容

【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最大（小）值的方法.

【解答】解：配方得：-41+5=』-4.r+22+l=（x-2）2+\,

当选x=2时，二次函数-4.r+5取得最小值为1.

【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种

是公式法.

3.（2025•历城区校级自主招生）已知41,42,43,44,45是满足条件41+42+43+44+45=9的五个不同的整

数，若b是关于x的方程（x-a\）（x-42）（x-〃3）（x-44）（x-«5）=2009的整数根，则b的值为10.

【考点】一元二次方程的整数根与有理根.

【专题】探究型.

【答案】见试题解答内容

【分析】先根据已知条件可知人b-ai,b-a3,…4,〃-45是五个不同的整数，再把2009分解

成五个整数积的形式，再把五个整数相加即可求出力--42+。-43+力-44+匕-45的值，再与

41+42+43+44+45=9联立即可求解.

【解答】解：因为(b-at)(b-C12)(b-a3)(/?-«4)(/?-«5)=2009,

且。1，42,。3，04,45是五个不同的整数,

所有Z?・ai,b・。2,b-ay,b-04,〃・45也是五个不同的整数.

乂因为2009=lx(-1)x7x(-7)x41,

所以力-a\+h-02+b-。3+〃-64+/?-45=41.

由41+42+43+44+45=9,可得力=10.

故答案为：10.

【点评】本题考查的是方程的整数根问题，根据题意把2009分解成几个整数枳的形式是解答此题的关

键.

4.(2025•伊川县一模)如图，在菱形A8CQ中，E为CD上一点,连接力E,BD,交于点O,若SAAOB：

SADOE=25：9,则C£：BC=2：5.

【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形：图形的相似：推理能力.

【答案】2：5.

【分析】由题意可得AB=BC=C。，AB//CD,则可证△AO8s/\EOZ),可得。氏48=3：5,即可求

CE：BC=2：5.

【解答】解：•・•四边形A8CD是菱形，

:,AB=BC=CD,CD//AB,

：AAOBs4EOD,

AOB：SADOE=(A8)2：(DE)2=25：9,

：.ABtDE=5z3(负值已舍)，

设AB=5a,则。E=3。，

BC=CD=5a9EC=2a,

•'•EC：BC=2a：5〃=2：5,

故答案为：2：5.

【点评】本题考查/相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键.

5.（2025•碑林区校级三模）烷烽是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物

的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第I种甲烷C%如图①有4个氢原子，

第2种乙烷C2”6如图②有6个氢原子，第3种丙烷C3”8如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，

第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是18.

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】18.

【分析】根据所给图形，依次求出化合物分子结构模型中的氢原子个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知,

第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4=1x2+2；

第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6=2x24-2；

第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8=3x2+2；

所以第〃种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2〃+2）个.

当〃=8时，

2n+2=2x8+2=18（个）,

即第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为18个.

故答案为：18.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键.

6.（2025•盐城）已知二次函数y=7-2x-3,当自变量x满足0刍9时，v的取值范围是一名恺5.

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质：运算能力.

【答案】-4＜）＜5.

【分析】根据自变量的取值范围利用二次函数的性质确定函数值的取值范围即可.

【解答】解：•・•），=/-2x-3=（x-1）2-4,

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

•・•当x=l时，y=-4,

当x=4时，y=（x-1）2-4=5,

••・当0<r<4时，函数y的取值范围是-40W5,

故答案为：-40W5.

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是

能够确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标并能确定其增减性，难度中等.

7.（2025•安徽）对于正整数〃，根据〃除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数网若余数为0,

则〃口生若余数为1，则〃?=2"；若余数为2,则〃?=〃+1.这种得到〃?的过程称为对〃进行一次“变

换”.对所得的数〃?再进行一次变换称为对〃进行二次变换，依此类推.例如，正整数〃=4,根据4除

以3的余数为1,由4X2=8知，对4进行一次变换得到的数为8,根据8除以3的余数为2,由8+1=

9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0,由9+3=3知，对4进行三次变换得

到的数为3.

（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为2；

（2）若对正整数〃进行二次变换得到的数为1,则所有满足条件的〃的值之和为11.

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；推理能力.

【答案】（1）2；

（2）II.

【分析】（1）根据15除以3的余数为。可得第一次变换后的数为5,再根据5除以3的余数为2可得

第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；

（2）第二次变换后的结果为1,那么第一次变换后的结果为3或g或0,再验证这三个数是否可经过变

换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出〃的三个值，再同理可

验证符合题意的〃，据此可得答案.

【解答】解：（1）V154-3=5...0,

・•・15进行一次变换后得到的数为曰=5；

754-3=1...2,

・•・15进行二次变换后得到的数为5+1=6；

V6^3=2...0,

・•・15进行三次变换后得到的数为2,

故答案为：2；

（2）当对正整数〃进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1x3=3,

此时符合题意；

当对正整数〃进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为此时不符

合题意；

当对正整数〃进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1-1=0,此

时不符合题意；

综上所述，第一次变换后所得的数为3,

当〃除以3的余数为0时，则〃=3x3=9,符合题意；

当〃除以3的余数为1时，则几=会不符合题意；

当〃除以3的余数为2时，则〃=3・1=2,符合题意；

・••符合题意的〃的值是9或2,

・••所有满足条件的〃的值之和为2+9=11,

故答案为：11.

【点评】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键.

8.（2025•大丰区一模）矩形的两边长分别为x和6（x<6）,把它按如图方式分割成三个全笔的小矩形，

每一个小矩形与原矩形相似，则x=_2次—.

6

【考点】相似多边形的性质.

【专题】图形的相似.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论.

【解答】解：•・•原矩形的长为6,宽为x,

，小矩形的长为％,宽为右

•・•小矩形与原矩形相似,

%2

••

6x

：.x=2y[3

故答案为：26

【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，注意分清对应边是解决本题的关键.

9.(2025•湖北三模)在一个不透明的盒子里装有三张无差别的卡片，分别标有数字1,2,5,现随机抽取

・张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取•张卡片，两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为

5

9-.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】概率及其应用；应用意识.

【答案】

【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的Q片上数字之和为偶数的结果数，再利用概率

公式可得出答案.

【解答】解:列表如下:

125

1(1,1)(L2)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,5)

5(5,1)(5,2)(5,5)

共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果有：(1,1),(1,5),(2,2),

(5,1),(5,5),共5种，

・•・两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为"

9

故答案为：

9

【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键.

10.(2025•天府新区校级模拟)如图，RsA4C和RSOEb中，NBAC=NEDF=90。,A8=3,AC=4,

OE=4,DF=8,点M在边BC上，点N在边石尸上，/1M分割△ABC所得的两个三角形分别与。N分

40

割△OEE所得的两个三角形相似，那么线段QN的长是4或77.

AD

【考点】相似三角形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

40

【答案】4或五.

【分析】根据题意画出图形，然后分类讨论即可.

【解答】解：①如图,RACMS^FDN,>ABMS/\EDN,

:.DN=5k=4；

②如图，bACMs丛EDN,>ABMs»FDN,

••・8k+3k=4,

・・・DN=10k=~

40

综上所述：£W=4或五,

40

故答案为：4或五.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，正确画山图形是解题的关键.

11.（2025•香坊区校级一-模）已知四边形ABC。，NA8C=90。，ZACB+ZBCD=90°,AC=CD,若A8=

1,BD=5,则AQ=3VI.

【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】3V2.

【分析】作CE_LBC,DEICE,则/E=N8CE=90°,根据人SA证明△得〃C=CE,DE

=AB=\,延长E。交84的延长线于点F,设RF=EF=2a,在Rs产中利用勾股定理求解即可.

【解答】解：作CE_LBC,DEA.CE,则NE=NBCE=90。.

ZBCA+ZBCD=9()°t/DCEMBCD=N8CE=90°,

：.4DCE=4BCA.

在△43。和^DCE中,

Z-ABC=乙E

AC=CD,

乙DCE=^BCA

:.△ABC9XDCE(ASA),

:・BC=CE,DE=AB=1.

延长ED交BA的延长线于点F,则四边形BCEF是正方形,

:・BF=EF.

设BF=EF=a,则DF=a-1,

在RS8D尸中,+(47)2=52,

解得。=4（负值舍去）,

：.AF=DF=4-1=3,

：.AD="32+32=3\/2.

故答案为：3V2.

【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解

答本题的关键.

12.（2025•光明区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点。在BA的延长线上，PA=^AB,点。

CD3

在BC边上，PZ）=QC,则一的值是一.

BC-4-

【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】过点P作PE〃AC交。C延长线于点E,根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证P8

DACE

=PE,再证aPCE之可得BO=CE,再利用平行线分线段成比例的77=77,结合线段的等量

ABBC

关系以及比例的性质即可得出结论.

【解答】解：如图，过点P作尸E〃AC交。C延长线于点£,

：.ZB=ZACB,

'：AC//PE.

：-NACB=ZE,

・・・NB=NE,

:.PB=PE,

,:PC=PD,

:・NPDC=4PCD,

:,NBPD=/EPC,

，在△PO〃中，

PC=PD

乙BPD=乙EPC，

PB=PE

:ZCE9XPDB（SAS）,

:.BD=CE,

*：AC//PEf

.PACE

,,布='BCf

,CE_1

••=一,

BC4

BD1

•t•―=一,

BC4

.CD3

..BC~4

故答案为：7.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问

题的关键是正确作出辅助线，列出比例式.

13.（2025•渭滨区校级模拟）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和

正〃边形木块.由于小朋友只选了正方形的木块，导致没有拼成.老师鼓励他选取正〃边形的木块试试，

他试了几次终于成功了.这里的，?=8.

【考点】平面镶嵌（密铺）.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【答案】8.

【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正〃边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出〃的值.

【解答】解：正〃边形的一个内角为（360。-90。）+2=135。,

则135。〃=（/?-2）-180°,

解得«=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式.

14.（2025•南关区校级二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第〃个图案需要

（2/2+1）根火柴棒.

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】（2〃+案.

【分析1根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

第I图案所需火柴棒的根数为：3=lx2+l；

第2图案所需火柴棒的根数为：5=2x2+l；

第3图案所需火柴棒的根数为：7=3x24-1；

所以第〃图案所需火柴棒的根数为（2〃+1）根.

故答案为：（2〃+1）.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加2是解题的

关键.

15.（2025•湖北模拟）如图，。人BCO的对角线相交于O,其内部的一个动点P落在阴影部分的概率是

1

2-,

AD

【考点】几何概率；平行四边形的性质.

【专题】几何图形；运算能力.

【答案】土

【分析】根据平行四边形的性质可得。8=。£）,OA=OC,则S^ABO=SMQO=S^CDO=^^BCO="^^U\ABCD,

利用概率公式即可得答案.

【解答】解：•・•四边形为平行四边形,

：.OB=OD,OA=OC,

Sf

•'•SAABO=S^ADO=S1DO=S^BCO=^QABCD

，阴影部分的面积=S&ABO+S^CDO=2s

・•・平行四边形A4CQ内的一个动点。落在阴影部分的概率吗,

故答案为：!

【点评】本题考查了几何概率、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质并熟练掌握概率公式是

解题关键.

16.（2025•南关区校级二模）如图，正方形A/3CO边长为2,在王方形内部，以A/3为直径作半圆,

点E是CD中点，AE,BE分别与半圆交于点G,点F,连接CF.®AG=BF；®cos^DAE=坐;

2o

④SA8CF=卷⑤点G、F是半圆的三等分点•以上说法正确的有①②③④.（只需填写序号即

5>

【考点】圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】①©③④.

【分析】连接AF,BG,AE=BE==V5,利用圆角定理，三角函数等知识判定解答即可.

【解答】解：连接AF,BG,

由条件可知A8=BC=CO=D4=2,DE=EC=gCD=1,/4G8=NA/8=90。,

ZABC=/BCD=ZCDA=ZDAB=90°,

：.AE=BE=V22+l2=V5,

JZEAB=ZEBA,900-NEAB=900-NEBA,

NABG=NFBA,

：.AG=BF,

故①正确，符合题意;

DA_2jSDE底

Vcosz.DAE=AE=~sin^DAE-AE=~5f

故②正确，符合题意;

VZDAE=900-ZGAB=ZABG,

/.sinZDAE=sinNA8G,

：.AG=ABsin/-ABG=等，

,_2jS

••BDFC——-,

BF2V5r2

—=-----4--yS=-，

BE55

故③正确，符合题意；

1

根据题意得SA8CE=|xlX2=l,

4,^ABCFBF

故Z-------=->

S^BCEbe

故S^BCF=

故④正确，符合题意:

l^sin/.DAE=器=卷，

故ND4a30。，

故/48小30°,

故点G、尸不是半圆的三等分点.

故⑤错误，不符合题意；

故答案为：①②③④.

【点评】本题考查的是正方形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函

数的应用，掌握以上基础知识并灵活应用是解本题的关键.

17.（2025•南关区校级模拟）如图，在菱形A8CO中，对角线AC、8。相交于点。，以O为圆心，。。长

为半径作圆心角为120。的扇形MON,OM与边AO交于点£,ON与边CO交于点E若AO=3,ZBAD

=120°,则图中阴影部分的面积为9口一室（结果保留7T）.

【考点】扇形面积的计算；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；菱形的性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】97r—罕.

［分析］过。作。尸_LA。于P,OQ工CD于Q,证明△。尸比△OQR得出SAOPE=S^OQF,WJS四边形

DEOF=S四边形QPOQ,证明△OPDQ/XOPQ,得出SAOPD=S^OPQ,则S四边形四边形OPOQ=2S^OPD,

进而得出S阳比=Sm形・S四边形影・2S^OPD,解直角三角形求出8。，OP,AP,然后结合扇形面

枳公式和三角形面枳公式求解即可.

【解答】解：过O作OP_LA。于P,OQ_LCO于Q,

•・•菱形A3CD中，Z^D=120°,

：.Z.DAC=^BAD=60°,OD平分NACO,AB"CD,AC_BD,

・•・ZADC=6()°,

XOPLAD,OQ工CD,

，NPOQ=120°,

•・・/MON=120°,

：・/MON=/POQ,

:./EOP=4FOQ,

•••。。平分/48,OPA-AD,OQVCD,

：,OP=OQ,

在402£：和4OQ尸中，

ZOPE=LOQF

OP=OQ,

Z.EOP=Z.FOQ

:.△OPE9XOQFCASA),

・'・SAOPE=S&OQF,

••S四边形DEOF=S四边形DPOQ>

在40刊)和4OPQ中，

(乙ODP=Z.0DQ

\()D=OD,

UOPD=乙OQD

:.AOPD公4OPQ(A4S),

ASAOPD=SXOPQ,

S四边形DEOF=S四边形DPOQ=2S&OPD,

*：AO=3,ACLBD,OPA-AD,

・・・OO=AO-tanGO。=36AD=叱。=6,OPAO-sinG00=挈,

cos60Z

____________a

：,DP=y/DO2-OP2=^,

•'•S阴影=s图形-S四边形/兄;。/

=S扇形-2SAOPD

2

=120%(产)—2x，Wx醇

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，扇形面积的i-算，关键是

相关性质的熟练掌握.

18.（2025•广东校级模拟）如图，AB是。。的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30。得到AD,此时点C

的对应点。落在43上，延长CQ,交。0于点£若CE=4,则图中阴影部分的面积为2『4.

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质.

【专题】与圆有关的计算：运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】连接。£,OC,BC,推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可.

【解答】解：连接。E，OC,BC,

由旋转知AC=AO,ZCAD=30°,

••・N8OC=60。，ZACE=(180°-30°)+2=75°,

Z«CE=90°-ZACE=15°,

：,/BOE=2NBCE=3V,

・・・/EOC=90。，

即ZiEOC为等腰直角三角形,

VCE=4,

：.0E=0C=2V2,

2

••・S阴影=S为形。EC-$△OEC=90-1x2V2x2V2=2TT-4,

噂J6U!*)L

故答案为：2TT-4.

【点评】本题主要考杳旋转的性质及扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式是解题的关

键.

19.（2025•南京模拟）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案

是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作A8的垂直平分线CO交A8于点。，交通于点C,测

出A8=4（k、/〃，CD=10cm,则圆形工件的半径为25。〃.

【考点】垂径定理.

【专题】圆的有关概念及性质：运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】连接。4,设圆的半径为「，在RSOAO中，利用勾股定理进行求解即可.

【解答】解：连接。4设圆的半径为〃

则:OA=OC=nn,OD=OC-CD=(r-10)m,AD=^AB=20(〃?),

,：AO2=AD1+DO2,

：.f2=202+(r-10)2,

，圆形工件的半径为25cm.

故答案为：25cm.

【点评】本题考查垂径定理，正确利用垂径定理进行计算是解题关健.

20.（2025•绥化一模）某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为3皿的蜡烛（包括火焰高度）立在小孔

前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6”〃，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的

投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系X。），，设蜡烛火焰顶

端4点处坐标为（-6,3）,则4点对应的“像”的点的坐标为（2,-1）.

Ofx

【考点】相似三角形的应用.

【专题】图形的相似；几何直观；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据小孔成像实验可得△AOCS/XBO。，据此求解即可.

【解答】解：设蜡烛火焰顶端4点处坐标为（-6,3）,如图，A点对应的“像”的点B,则^AOCs^BOD,

\B

AC

—,AC=3,OC=6,

BD

•••在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”,

.*.0/)=2,

63

••一，

2BD

解得BD=\,

点对应的“像”的点B（2,-1）,

故答案为：（2,-I）.

【点评】本题考杳相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.

21,（2025•汇川区四模）如图，二次函数），的部分图象与x轴交于点（-3,0）,对称轴为直线

-1,则当函数值）00时，自变量x的取值范围是-3＜工＜1.

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】-3<X<1.

【分析】由抛物线的对称性可知，二次函数+属+c的图象与犬轴的另一个交点的坐标为（I,0）,

再结合图象可得答案.

【解答】解：由题意得，二次函数y=o?+云+c•的图象与x轴的另一个交点的坐标为（1,0）,

・•・当函数值y>0时，自变量）的取值范围是-3<x<l.

故答案为：-3<x<I.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键

是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

22.（2025•湖北模拟）如图，已知正方形A8CO的边长为10,对角线交于点。，点E为8c的中点，连接

OE与AC交于点片点G为。尸的中点，连接AG并延长，与CD交于点”，则

AF

(1)­=2

CF一

（2）G”的长为上V2一9

【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.

【答案】（1）2；

\/29

(2)----

3

4/DFAD10

【分析】⑴由正方形A88得到A。/”,则△4所山即,得到了=—=—=-=2；

EFEC5

DFAD10

⑵由点G为。F的中点和防=耘=—2,得至IJQG=~="'延长A8与。E交于点M,证

DHGHDG

加DEC^MEBCASA^得到DC=BM=^EM=DE=3DG,再由OC//AB,得到前=

AG~MG'

代入得到DH=4,AG=5GH,即可得到GH=\AH=挈.

oo

【解答】解：(1)•・•四边形ABC。是正方形，正方形A8C。的边长为10,

：.AD=DC=CB=AB=\OtAD//CB,DC//AB,ZADC=ZDCB=9Q0,

丁点E为BC的中点,

工BE=CE=gBC=5,

\'AD//CB,

:.丛ADFs丛CEF,

,AFDFAD10

••=2,

CFEFEC