平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】（人教版）解析版

专题9.2平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】

【人教版2024]

＞题型梳理

【题型1与两坐标轴围成的图形面积】............................................................1

【题型2一边在坐标轴上的图形面积】............................................................3

【题型3平行于坐标轴的图形的面积】............................................................6

【题型4各边都不在坐标轴上的图形的面积】......................................................9

【题型5由面积之间的关系求坐标】..............................................................13

【题型6直线分面积求值】......................................................................16

【题型7新定义问题中的面积】.................................................................20

【题型8面积中的规律问题】...................................................................25

“举一反三

【题型1与两坐标轴围成的图形面积】

【例1】（24-25七年级•吉林长春期中）己知A（«,0）和8点（0,10）两点，且AB与坐标轴围成的三角

形的面积等于20,则。的值为（）

A.2B.4C.0或4D.4或-4

【答案】D

【分析】根据点A、B的坐标可找出04、08的长度，再根据三角形的面积公式即可得出关于。的含绝对值

符号的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】：人（小0）,B（0,10）,

：,OA=\a\,OB=lO,

/.SA10同=20,

解得：a=±4.

故选D.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积公式列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是

解题的关键.

【变式1-1]（24-25七年级广东清远•七年级统考期末）已知A（0,4）,点B在x轴上，与坐标轴围成的三

角形面积为2,则点8的坐标为（）

A.(1,0)B.(1,0)或(一1,0)C.(-1,0)D.(0,一1)或(0,1)

【答案】B

【详解】•・•三角形的面积=；x4x|O8|=2,

・・・|。阴=1,

••・B（I,0）或（-1,0）.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了平面图形与坐标的关系，利用三角形的面积求出的长是关键，特别是要明确注

意：在x轴上到原点的距离为一个定值的点有两个.

【变式1-2］（24-25七年级上•安徽安庆・期末）平面直角坐标系中，我们把点P（%,y）的横坐标与纵坐标的绝

对值之和叫做点P（%,y）的勾股值,记为：fPj,即fPj=|x|+|y|.

（1）求点4（一1,3）的勾股值［AJ；

（2）若点8在第一象限且满足「BJ=3,求满足条件的所有8点与坐标轴围成的图形的面积.

【答案】⑴4；（2）I

【分析】（1）由勾股值的定义即可求解；

（2）设B点的坐标为（x,y）,由［BJ=3,得到方程|x|+|y|=3,得到y=—x+3,于是得到所有点B围成

的图形是边长为3的三角形，则面积可求.

【详解】解:（1）［AJ=|-1|+|3|=4；

（2）设BQ,y）,由fBj=3知,|x|4-|y|=3,

又8在第一象限，x>0,y>0,得X+y=3,

即y=-x+3（x>0,y>0）,

故所有点B组成的图形与坐标轴交点坐标分别为：（3,0）,（0,3）,

故其面积为：1x3x3=^.

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键.

【变式1-3](24-25七年级•江苏南通•阶段练习)已知点A(a,0)和点8(0,5),且直线48与两坐标轴围成的

三角形的面积等于10,则〃的值是()

A.4B.4或一4C.-4D.2

【答案】B

【分析】此题.主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个.

根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意Q取正负数都符合题意.

【详解】解：直线4B与坐标轴围成的三角形的面积等于10,4(a,0),B(0,5)

那么5x\OA\4-2=10,

解得：。4=4,

所以a=4或a=-4.

故选:B.

【题型2一边在坐标轴上的图形面积】

[M2](24-25七年级.江西南昌・期中)如图是•块不规则的四边形地皮48C0,各顶点坐标分别为4(-2,6),

【答案】C

【分析】根据S四边形A8C0=SA8CD+S梯形AUDE+S^AE0＞即可求解.

【详解】解：如图所示，[(一2,6),8(—5,4),C(-7,0),0(0,0)

=S4RCD+S梯形.DE+S^AEO

11z1

=,TX2X4+―(4+6)X3+,T,X6X2

=4+15+6

=25

・.•图上一个单位长度表示10米，

.*.25x10x10=2500m2,

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键.

【变式2-1](24-25七年级•安徽亳州•阶段练习)如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中,

其中C(-4,4).则三角形ABC的面积是()

4-

1.

।।।।A।।।一、F

-4-3-2-1o1234x

-1-

-2-

-3■

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】底AB=4,高是点C到x抽的距离，根据三角形面积公式求得即可.

【详解】解：由图象可知，A(0,0),B(4,0),

：.AI3=4

VC(-4,4),

点C到x轴的距离是4,△ABC的高就是4,

・FA3C=±x4x4=8,

故选：c.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式2-2](24-25七年级•海南省直辖县级单位•期中)如图，已知：4(4,3),8(6,0),E(5,2),求AAOE的

面积()

C.6D.7

【答案】A

【分析】根据点的坐标，求得0cMe,OD,DE,C。，根据SAAOE=SAWC+S梯形“DE-SADOE进行计算即可求解♦

【详解】解：•••4(4,3),8(6,0),£(5,2),

0C=4,AC=3,0D=5,DE=2,

•••CD=1

则SMOE=S*AOC+S梯形—S&DOE

=-2x4x32+-(2+3)x12--x5x2

=3.5

故选A

【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键.

【变式2-3］（24-25七年级•安徽亳州•阶段练习）已知点A（1,O）,B（0,2）,点P在％轴上，且三角形PAB的面枳

是3,则点P的坐标是（）

A.（0,-4）B.（-2,0）C.（0,一4）或（08）D.（4,0）或（一2,0）

【答案】D

【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解.

【详解】解：•.•点B（0,2）,

*•,SAPAB--APx2=3>

解得力P=3,

若点P在点4的左边，则OP=AP-OA=3-1=2,

此时，点P的坐标为（一2,0）,

若点P在点力的右边，则OP=AP+OA=3+1=4,

此时，点P的坐标为（4,0）,

综上所述，点P的坐标为（4,0）或（-2,0）,

故选：D.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观.

【题型3平行于坐标轴的图形的面积】

【例3】（24-25七年级•湖北武汉•期中）如图，在平面直角坐标系％Oy中，平行四边形48CD的四个顶点4,

B,C,。是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形48CD的面积是（）个平方单位.

A.yB.15C.10D.无法计算

【答案】B

【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到力。口轴，710=4-(-1)=5,高为1一(-2)=3,利用面

枳公式直接计算可得.

【详解】解：•・•四边形A8C。是平行四边形，虫一1,2),8(0,1),。(5,1),。(4,一2),

・・"。|比轴,力。=4一(-1)=5,高为1一(-2)=3,

・•・平行四边形力。C。的面积=5x3=15,

故选：B.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键.

【变式3-1](24-25七年级•北京顺义•阶段练习)由坐标平面内的三点4(1,1),8(3,1),C(l,-3)构成的△ABC的

面积是.

【答案】4

【分析】根据4(1,1),5(3,一3)得47=2,48||%轴，AC=^,AC||yW，继而得到直角三角形£48,计

算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解题的关键.

【详解】・・・A(l,l),B(3,l),C(L-3)

：.AB=2,AB||%轴，AC=4,ACIIy轴,

・・・AS4B是直角三角形，

**><2X4=4,

故答案为:4.

【变式3-2](24-25七年级•福建龙岩•期末)在平面直角坐标系中，由点4(。，2),B(Q-2,2),C(8,-2)组

成的三角形48c的面积是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段48的长，再根据点。的纵坐标，可得以48为底的△ABC的

高，从而△A8C的面积可求.

【详解】解析：由点昧(a,2),1(*2,2),得4B=2,

点C在直线y=一2上，48与直线y=-2平行，且平行线间的距离为4,

*,*5=1x2x4=4.

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是

解题的关键.

【变式3-3](24-25七年级•福建原期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4(2,九+2),8(k,n+2),

C(4,n+4),D(2,7i+k).则四边形A8CD的面积=(用含有攵的式子表示)

【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长5A交y轴于点£过点C作CFly轴于点尸，延长4。交CF于点从

过点C作CG1AG于点G,根据4(2,九+2),B(k,n+2),C(4,n+4)fD(2,n+k),得出CH=4-2=2,

AH=n+4—(n+2)=2,DH=n+4—(n+/c)=4—/c,BG=4—k,利用割补法求出四边形的面积即

可.

【详解】解：延长8A交y轴于点£,过点。作CF_Ly轴于点八延长AD交CF于点H,过点。作。G1AG于点

VZ(2,n+2),B(k,n+2),。(4,几+4),D(2,n+k),

・・・40||y轴，A8|比轴，

••"HIICG,CHWEG,

CH=4-2=2,AH=九+4—(n+2)=2,

DH=n+4-(n+/c)=4-/c,

BG=4-k,

••・四边形4BC0的面积为：

2x2-1x2x(4-/c)-|x2x(4-/c)

=4-4+女一4+〃

=2/c-4.

故答案为：2k—4.

【题型4各边都不在坐标轴上的图形的面积】

【例4】（24-25七年级•上海静安・周测）如图，三角形ABC的面积等于（）

【答案】D

【分析】过点AW-AD1X轴于D,利用S4A8c=S梯形B0DA-S^BOC-SAACD，求出S廨形和SdACD进

而进行求解即可.

AD=6,CD=3,

：.OD=6,

••^AABC=S梯形RODA~S^BOC~^AACD»

111

=-(BO+AD)-OD---BO-OC--^CD^AD

111

=—(3+6)x6——x3x3——x3x6

2k722

_54_9_18

=T-2-T

=:27，

即S4ABe=

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求「角形的面积，正确读懂题意是解题的关键.

【变式4-1](24-25七年级•重庆长寿・期末)已知点八(2,2),8(1。)，点C在坐标轴上，且三角形48。的面积

为2,请写出所有满足条件的点C的坐标.

【答案】(-1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6)

【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键.分

点C在％轴上和点C在y轴正半轴上和点C在y轴负半轴上上三种情况，利用三角形的面积公式求出BC或OC的

氏度，即可求解.

【详解】解：若点C在X轴上，则So8c=[XBCX2=2,

解得BC=2,

所以，点C的坐标为(1+2,0)或(1一2,0),即(3,0)或(一1,0),

若点C在y轴正半轴上，贝%立加=1x(OC+2)x2-|xOCxl-|x(2-l)x2=2,

解得OC=2.

所以，点C的坐标为(0,2),

若点C在y轴负半轴上，则SACAB=1x(0C+2+OC)x1+1xOCx1-ix(2+OC)x2=2.

解得0C=6,

所以，点C的坐标为(0,-6),

综上所述，点C的坐标为(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6),

故答案为：(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6).

【变式4-2](24-25七年级•湖北鄂州•期中)如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中

点、C的坐标为(1』).

(1)写出点A,8的坐标A(),B()；

⑵将三角形为BC先向左平移2个亘位长度，再向下平移I个单位长度，得到三角形4夕L,则点4,夕，U的

坐标分别是4(),B'(),C()；

(3)计算三角形4BC的面积.

【答案】(1)(2,—2),(4,2)

⑵(0,-3),(2,1),(-1,0)

(3)5

【分析】本题考查了坐标与图形、平移等知识点，掌握相关结论即可.

(I)根据直角坐标系中48,。三点的位置即可求解；

(2)根据平移方向和距离即可求解；

(3)利用“割补法”即可求解;

【详解】⑴解:根据直角坐标系中4SC三点的位置可得:4(2,-2),8(4,2),

故答案为：(2,-2),(4,2)；

(2)解：•・•将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，

••・4(2-2,-2-1),夕(4—2,2-1),

即：4(0,-3),)(2,1),CX-1,0),

故答案为:(0,-3),(2,1)»(—1,0);

(3)解：三角形4BC的面积=3x4-gxlx3-gxlx3-gx2x4=5.

【变式4-3](24-25七年级•湖北武汉•期中)如图在平面直角坐标系中，点4(2,3),点8(-3,-2),点C(4,一3),

则三角形48c的面积是()

20C.21D.21.5

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质.过点人作0E||无轴，过点8作EF||y轴，过点。作

CD||y轴，过点C作。尸II%轴，根据题意可得40=2,CD=6,AE=5,BE=S,BF=1,CF=7,即可求解.

【详解】解：如图，过点A作。E||x轴，过点8作斯||y轴，过点C作611y轴，过点C作"II%轴,

：,AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7,

:.三角形力8C的面积是：6x7-；x2x6-^x5x5-^xl7=42-6-^-^=20.

幺NNNN

故选：B

【题型5由面积之间的关系求坐标】

【例5】(24-25七年级•北京西城•期中)在平面直角坐标系％0y中，已知三角形的三个顶点坐标分别是皿0,1),

双1,0),C(l,2),点P在)，轴上，设三角形48P和三角形/BC的面积相等，那么点P坐标是.

【答案】(0,—1)或(0,3)

【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键.设点P坐标是(0,。)，先分别求出三角

形和三角形A8C的面枳，再根据三角形力BP和三角形48。的面枳相等建立方程，解方程即可得答案.

【详解】解:如图，由题意，设点P坐标是(0,a),

：.BC=2,AP=|a-1|,三角形ABC的BC边上的高为I,

・••三角形ABC的面积为3x2xl=l,三角形ABP的面积为:xl|a-l|=眠，

•・•三角形A8P和三角形力"的面积相等，

・MT_1

••2-X，

解得Q=-1或Q=3,

则点P坐标是(0,-1)或(0,3),

故答案为：(0,-1)或(0,3).

【变式5-1](24-25七年级•江西南昌・期中)已知点4(3,0),8(0,4),点C在％轴上，且△BOC的面积是△48C的

面积的3倍，那么点C的坐标可以为.

【答案】go)或©0)

【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点C(x,0),则有4。=忱-3|,。8=4,然

后根据△BOC与二ABC的面积关系可进行求解.

【详解】解：设点C(%0),则有4：=|%-3|,0B=4,OC=|x|

V480C的面积是448c的面积的3倍，

x4x|x|=3x|x4x|x-3|

解得：不二或(

,点eg°)或信°)；

故答案为G，o)或G，。).

【变式5-2](24-25七年级・福建福州•期中)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A、B、C的坐标分别

为(m—2,n),(m—2,n+2023),(5,t+2022),若△430的面积为△43。面积的2倍，则m的值为

【答案】12或g

【分析】由48点的横坐标相等，得出力B||y轴，AB=2023,点C到A8的距离为|加一7|,根据△ABO的面积

为△力8C面积的2倍，建立方程，解方程即可求解.

【详解】解：:小B、I的坐标分别为（7n-2,n）,（m-2,n+2023）,（5,£+2022）,

・・・/18||y轴，AB=n+2023-n=2023,

点C到48的距离为-Z-5|=|m-7|

•••若△AB。的面积为448C面积的2倍，

・《x2023x|m-2|=2x^x2023x|m-7|

即M—2|=2x—7|

解得m=12或771=y

故答案为：巾=12或血=^.

【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键.

【变式5-3]（24-25七年级•四川达州•期中）如图，在平面直角坐标系中，点4在），轴正半轴上，点8在x

轴正半轴上，04=2,。8=1,点C是第一象限内一点且4CII%轴，将线段经过一定的平移得到线段CD,

点A的对应点为点D,点8的对应点为点C,连接40,S“CD=6,点尸为y轴上一动点，当SAP.=：SMOD

时，点夕的坐标为.（注：SMCO表示的面积）

【答案】（0,_J或（0,?.

【分析】根据三角形的面积求出力。=6,然后利用平移的性质可求点/）坐标，由三角形的面积公式可求解.

【详解】解：如图，过点。作于点E,在y轴取点P,连接P8,

VACM，将线段A8经过一定的平移得到线段C。，0A=Z,

：.DE=0/1=2,

^£^ACD=6,

/.^ACDE=6,

.\AC=6,

・,•点C(6,2),

•・•将线段A8进行适当的平移得到线段CD,0B=l,

：,CE=OB=1,

・・・点。(5,4),

•■1

•^APAB=[SMOD>

：,-APx1=-x-x2x5,

242

：,AP=-

2t

•・・点4(0,2),

・・・P(0,-J或尸(0,*

故答案为：(0，-3或(。，?・

【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性

质是解题的关键.

【题型6直线分面积求值】

【例6】(24-25七年级.湖北十堰.期中)如图，1(-2,0)、8(0,3)、C(2,4)、0(3,0),点P在%轴上,直线CP将

四边形48。。的面积分成1:2两部分，则OP的长为

yc

4

【答案】1

【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作CE1》轴，CP与x轴交于点P,用分割法求出四边形的

面积，分类讨论求出△POC的面积，再求出PD的值，进而可得GP的值，根据坐标与图形的性质，用分割法

求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键.

【详解】解：如图，作轴，CP与％轴交于点P,

AO\：PEDx

I•

由题意可得，S^AB0=^0AOB=^x2x3=3

S悌形+以）•OE="（3+4）x2=7,

S&EDC=：ED-CE=|xlx4=2,

，S四边形ABCD=SAABO+S梯形0"B+S&EDC=3+7+2=12

■:SNCD=•CE=^PDx4=2PD,

:・SAPCD:S四边形48CD=2PD：12=PD：6,

①当SgcD:S四边形.BCD=1:3时,即PD：6=1：3,

解得产。=2,

・••点尸的坐标为（1,0），

：.0P=1；

②当SMCD:S四边形48C。=2:3时，即PD：6=2：3,

解得PO=4,

・••点P的坐标为（一1,0）,

：.0P=1：

综上所述，OP=1,

故答案为：1.

【变式6-1](24-25七年级•辽宁葫芦岛♦期中)如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形

组成的，8(3,3),4(a,0)是x轴上的动点，当A8将图案分成面枳相等的两部分时，。等于()

A.1B.-C.-D.-

323

【答案】A

【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程SUBC=[AC•BC=：(3-a)x3=：x6xy并求解即可.

【详解】解：如下图，当将图案分成面积相等的两部分时，

即*3-a)x3=3，解得a=l.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关健.

【变式6-2](24-25七年级•四川凉山・期末)如图，在平面直角坐标系中，点A在“轴上，点。在y轴上，CB||0A,

且04=12,0C=BC=4.

(1)直接写出点4,B,C的坐标；

(2)若动点P从原点0出发沿无轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形04BC分成面积相

等的两部分时，求点〃的运动时间；

⑶在(2)的条件下，在y轴上是否存在一点Q,连接PQ,使△口(2的面积与四边形。力BC的面积相等？若存

在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)A(12,0),B(4,4),C(0,4)；

(2)4

(3)Q/0,20),Q2(0,-12)

【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解

本题的关键是△OPC面积的计算.

(I)根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标;

(2)先求出S四边形OABC=32,从而得到：0Px4=16,求出OP,即可得到答案;

(3)根据四边形OABC的面积求出ACPQ的面积是32,最后求出点Q的坐标.

【详解】(1)解：丁点A、C在x轴上，0A=12.

，A（12,0）,

IC在y轴上，0C=4,

，C（0,4）,

VCBIIOA,CB=4,

AB(4,4)；

X32,

⑵解：.・飞四边形0人1«：=—'z~~

设运动时间t秒,

AOP=2t,

.《x2tx4=32x?

.t=4；

(3)解：设Q(O,y)，

・；SACPQ=S四边形OABC'

Aily-4|x4=x(4+12)x4=32

Ayj=20,y2=—12,

AQi(O,20),Q2(0,-12).

【变式6-3](24-25七年级•北京西城•期中)在平面直角坐标系xOy中，己知三角形的三个顶点坐标分别是

71(0,1),8(1,0),C(l,2),点P在y轴上，设三角形和三角形力8C的面积相等，那么点P坐标是.

【答案】(0,-1)或(0,3)

【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键.设点P坐标是(0,a)，先分别求出三角

形88P和三角形力8c的面积，再根据三角形4BP和三角形ABC的面积相等建立方程，解方程即可得答案.

【详解】解—：如图，由题意，设点P坐标是(0,a),

-------1----------------------1-----►

-2-1O12x

-1-

V>4(0,1)，。(1,2),

:・BC=2,AP=\a-l\,三角形/18C的BC边上的高为1,

・••三角形48c的面积为；x2x1=1,三角形ABP的面积为:xl.|a-l|=一,

•・•三角形48P和三角形48。的面积相等，

・17_1

解得Q=-1或Q=3,

则点P坐标是(0,-1)或(0,3),

故答案为：(0,-1)或(0,3).

【题型7新定义问题中的面积】

【例7】(24-25七年级•广东河源♦开学考试)在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点4B,C的“矩面积”,

给出如下.定义："水平底’七：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”九：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩

面积"S=a九.例如:三点坐标分别为4(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高’力=4,

“矩面积"S=aZi=20.若。(1,2)、E(-2,1)、尸(0,£)三点的“矩面积”为18,则£的值为()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

【答案】C

【分析】根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值.

【详解】由题意可得，

“水平底”a=1-(-2)=3,

当2时，h=t-l,

则3«-1)=18,

解得，t=7,

故点”的坐标为(0，7)；

当lWtW2时，九=2—1=1。6,

故此种情况不符合题意；

当tv1时,h=2-t,

则3(2-。=18,

解得"-4,

故选：C.

【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题.

【变式7-1](24-25七年级,北京•期中)中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉

族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却

可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，

①双扭线围成的面积小于6；

②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；

③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；

④假设点尸为双扭线上的一个点，A,8为双扭线与％轴的交点，则满足三角形248的面积等于3的0点有

4个.

A.①②③B.②③C.②③④D.①②③④

【答案】C

【分析】本题考查了坐标与图形，①根据SAOPB=：X3X1=|、双扭线围成的面积＞4SAOPB即可判断；②

由图即可判断；③48两点与原点距离最大，即可判断；④设△P/8的高为九，可得九=1即可判断；

【详解】解・：如图所示：

S^OPB=5*3x1=

由对称性可知：双扭线围成的面积＞4S/P8=6,故①错误；

由图可知：双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共II个，故②正确;

由图可知：4,8两点与原点距离最大，为3,故③正确；

设的高为儿

：.k=1

由图可知：点Q,P,M,N均满足题意，故④正确；

故选：C

【变式7-2］（24-25七年级•福建厦门・期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”,

现有以卜结论：

①第一象限内有无数个“吉祥点”；

②第三象限内不存在“吉祥点”；

③已知点力（一2,1）,5（-2,-3）,若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点尸到直线48的距离为8：

④已知点D(3,-l),若点Q是第一象限内的“吉祥点”三角形QCD的面积记为S,则2<5V14.其

中正确的是()

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可.

【详解】由横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，

则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确；

②,・•第三象限的横、纵坐标都为负数，

・•・第三象限内不存在“吉样点”，故说法②正确；

③•・•力(-2,1),8(—2,—3),

||y轴，

•・•点P是“吉祥点”且在坐标轴上，

，点P(0,6)或P(6,0),

则P到直线48的距离为2或8,故说法③错误；

④D(3,-l),

：,CD||xffl,CD=4,

•・•点Q是第一象限内的“吉祥点”，

，设Q(6—a,a),则有:0<a<6,

根据题意可知：ShQCD=|xCDx(a+1)=2a+2,

则：2<S<14,故说法④正确；

综上可知，说法①②④正确：

故选D.

【点睛】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.

【变式7-3](24-25七年级嘿龙江牡丹江•期中)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点。(%,%)，Q(x2,y2),

定义两点的“分解距离”为：若反1-.12则%-小1为P，Q的“分解距离”，即d分解(P,Q)=

乂一32卜若1%一M1<1%-、21，则仅1一月1为P，Q的“分解距离”，即d分解(P,Q)=从-yah定义两点

的“和距离”为：氏一小1与1%-比1的和，即d和(P,Q)=%-+|乃-yzh

根据以上材料，解次下列问题;

(I)已知点4(2,1),则d分解(4,0)=,d和(4。)=

(2)若点8(%4-%)在第一象限，且d分解(8,。)=3,求点4的坐标；

(3)若点C(x,y)(“NO,yNO),且d和(C,0)=3,写出三个符合条件的点。的坐标，并判断这些点是否在

一条直线上，若在一条直线上，请直接写出这条直线与坐标轴围成的面积；若不在，请说明理由.

【答案】(1)2；3

(2)(3,1)或(1,3)；

(3)(1,2),(0,3),(3,0)；符合条件的点C在一条直线上；这条直线与坐标轴围成的面积为］

【分析】本题主要考查坐标系下两点间的距离.理解并掌握d分解和d和的定义，是解题的关键.

(1)根据d分阴和d和的定义，进行计算即可；

<2)分㈤=3或|4一出=3两种情况讨论求解即可；

(3)①根据％j(C,。)=|%|+|y|=3,x>0,y>0,得出x+y=3,说明符合条件的点C在一条直线上，

求出与坐标轴围成的三角形的面积即可.

【详解】(1)解：,.・|2-0|>|1-0|,

・・・d分解(4。)=|2-0|二2；

d和(4。)=|2-0|+|1-0|=2+1=3；

故答案为:2；3.

(2)解：Yd分解(B,0)=3,

/.\x\=3或|4—%|=3,

,1B点在第一象限，

:.X=3或4—x=3,

:.x=3或％=1»

即点4的坐标为(3,1)或(1,3)：

(3)解：・.・d和(C,0)=|%|+|y|=3,

又•.”？()，y>0,

••x+y=3,

当％=1时，y=2,即此时C(l,2),

当x=0时，y=3,即此时C(0,3),

当x=3时，y=0,即此时C(3,0),

:符合条件的点。的横纵坐标符合％+y=3,即y=—x+3,

•••符合条件的点。在一条直线上，如图所示：

这条直线与坐标轴围成的面积为S=1x3x3=1.

【题型8面积中的规律问题】

【例8】(24-25七年级•辽宁抚顺・期中)如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动,

第I次从原点运动到点P(l,-1)，第2次运动到点4(2,0),第3次运动到点4(3,2),第4次运动到点4(4,0),

第5次运动到点4⑸-1)，…，按照这样的规律运动下去，则三角形0P4023的面积是.

【分析】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出△OP4,△OP&，△OPAs的

面积，总结出一般规律，即可求解.

【详解】解：根据题意可得：

4(2,0),4(4,0),力式6,0),47(&0)……42n+1(2n+2,0),

,•SAOPA]=-x2x1=1,

^£,OPA3=-x4xl=2,

^AOPA5=~x6xl=3,

S^UPAT=1x8xl=4,

s

^oPA2n+x=|x(2n+2)xl=n+l,

当2九+1=2023时，解得：n=1011,

•••W42023=1011+1=1012,

故答案为：1012.

【点睛】本题主要主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形和题意，总结出各个三角形面积变

化的一半规律.

【变式8-1](24-25七年级•浙江宁波・期末)如图，在一单位长度为1cm的方格纸上，依如所示的规律，设

定点41、A2.心、44、45、4、％7、…4，连接点0、&、&组成三角形，记为41，连接。、&、力3组

成三角形，记为42…，连。、/、4+1组成三角形，记为(英为正整数)，请你推断，当〃为50时，4几的

面积=()cm2

A.1275B.2500C.1225D.1250

【答案】A

【分析】根据图形计算发现：第一个三角形的面积是1x2=1,第二个三角形的面枳是2x3=3,第

三个图形的面积是3x4=6,即第九个图形的面积是:几5+1),即可求得，△九的面积.

【详解】由题意可得规律：第九个图形的面积是3几(九+1)，

所以当n为50时，

△71的面积=1x50x(50+1)=1275.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，通过计算前面几个具体图形的面积发现规律是解题关键.

【变式8-2](24-25七年级•湖南邵阳•期中)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点

O出发，按向右、向上、向右