高考数学 公式定理总结

必备公式定理合辑

1.集合的概念、集合间的基本关系

有限集合的子集个数:子集个数：2”个、真子集个数：2〃-1个、非空真子集个数：2〃-2.

2.集合的基本运算

O并集的性质：A\JA=A.A\J0=A；A\JB=B\JA；

(2)交集的性质：AC\A=A；AA0=0；4n3

3.常用逻辑用语

C)P是4充分不必要条件：pnq、q与p：则集合关系是^

〃是夕必要不充分条件：<7=〃,〃*外则集合关系是4关〃.f

P定q既不充分也不必要条件：/夕则集合关系是，国无包含关系；

P是乡充要条件：〃=夕,9=〃；则集合关系是〃=4

(2)全称量词命题及否定形式：p(x);-1P:小£M「〃(1);

存在量词命题及否定形式：P:3xeM,p(x)\-yP:VxGM^p(x)

4.基本不等式

22

(1)重要不等式：a+b>2ab(a,beR)t

(2)均值不等式：若a,Z?>0时，则。十人之2«^;

(3)均值不等式变形形式：4"«(〃+〃)2£2(/+〃2),Wab<(V<+£>2(ab>0);

<2J2ab

2+

<<<

(4)基本不等式链:11--2-（其中aX）,bX））.

-+

。

-

力

(5)积定和最小：若ab=〃时，则a+bN2&i^=2y[^；

(6)和定积最大：若〃+b=k时，贝iJabV段比=匕

44

5.不等式的解法

一f«>o

一元二次不等式恒成立：（1）若a/+云+c>0恒成立<=><4八

[△<0

[a<0

（2）若ar?+Z?x+c<0恒成立<=><

A<（）

6.函数的单调性（一）

（：）增函数：①任意=』）；②…）一反）>（）；

xr

（2）减函数：①任意$。/（$）>/（乂）；②'/"）―/：&）<0

用一天

7.函数的单调性（二）

（1）函数单调性：

①增+增f增；增-减f增；②减+减f减；减-增f减；③乘正加常，单调不变；④乘负取倒,

单调改变：

（2）复合函数单调性：同增异减.

8.函数的奇偶性

C）奇函数：f（r）=-/（力；偶函数：/（-%）=/（%）.

（2）奇士奇一奇，偶士偶f偶，奇X（+）奇一偶，偶x（+）偶一偶，奇x（+）偶一奇.

9.指数

(1)ci"=^a,n(a>0,〃?,〃eN‘，且〃>1)；

(2)—!—=/=(a>0,m.nGN\且〃>D；

「行

(3)雨）“（〃2,且41）；

伽|,刀为偶数.

后=

a,〃为奇数,

(5)…；（优）$二优$；（。份'=优〃m>o,〃>o',$wR）.

10,对数

(1)当〃>0,且时，iog“i=0,log“〃=l；*g“N=MA>0)；

(2)对数运算性质：如果。>0,且awl,M>0,N>0,那么

\oga(MN)=\ogaM+bg“N；bg”=唾M-iogN；log“M"=〃log“M(〃wR).

N，

(3)对数换底公式及常见推论：log“力二1之一(〃>0,且a±l：Z>>0：<?>0,且c±l)：

log"

log/Z?"=±log"：log"。10gz,4=1.

m

11.任意角与弧度制

二度。

C)1°=—rad；irad

180兀

(2)扇形的弧长公式与面枳公式：设扇形的半径为尺，弧长为/,圆心角的弧度数为

a(°<a<2乃)，则/=城；面积京均收二LR.

22

12.三角函数的概念

同角三角函数的基本关系：si/a+cos2a=1,空巴=tana，a，A兀Z)・

cosa2

13.诱导公式

A

(1)公式一：sin(a+女?2瓦)sina；cos(a+A:72K)cosa；tan(a+k72ii)tana,k1

(2)公式二：sin(7r+cr)=-sincr,cos(^+a)=-costz,tan(;r+a)=tana.

(3)公式三：sin(-cr)=-sina,cosja)=cosa,tan(-cr)=-tana.

(4)公式四：sin(%一a)=sina,cos()r-a)=-cosa,tan(^--a)=-tana.

(5)公式五：sin--a\=costz,cos--«=sincr.

UJ12)

(6)公式六：sin—+a=coscz,cos—+«=-sincr.

U)U)

14.三角函数的图象与性质

(1)y=sinx(k\Z)

jrjr

增区间:---卜2k兀、—卜2k.Tr，减区间:-+2^,—+2^；对称轴方程:x-—^knx对称

22222

中心(女肛0);周期7二二^；

(2)y=cosx(攵iZ)

增区间：［―4+2攵肛2，减区间：［2及不4+2攵万］:对称轴方程：X=k兀:对称中心］+〃7r,oJ：

周期r=至；

W

(3)y=tanx(klZ)

增区间：+；对称中心(红,0］；周期7=2.

122；I2)卬

15.周期函数

(1)/(l+〃)=/(1+与(。=力)=>7二,一小

(2)/(x+tz)=-/(%)(tz^0)=>T=|2«|；

(3)=±-(tz0)=>T=\2a\

(4)若关于点(a,0),(£,0)(a#6)对称，则f包的周期为丁;2,一母；

(5)若F&)关于直线产a与直线产。(aW6)对称，则fO的周期为丁二2卜-4；

(6)若F"关于直线产a和点(6,0)QW6)对称，则的周期为T=4|〃-q.

16.三角恒等变换(一)

(1)两角和与差的余弦公式：

cos(/z+6)=cosoc-sinosin/?;cos(cr-/?)=cosaco夔+sintzsin/?.

(2)两角和与差的正弦公式：

sin(a4-/7)=sinacos^+cososin/?；sin{a—(3)=sinocos逐一cos«sin尸.

(3)两角和与差的正切公式：

tan(a+0Jana+tanJtan(6y，^)=tana-tan/?

1-tancrtan/71+tancrtan/?

(4)倍角公式：

sinla=2sinacosa.cos2cr=cos2<2-sin2«=2cos2«-1=1-2sin2a.tan2a="tanQ，

''l-tan2«

17.三角恒等变换（二）

C）半角公式：

（2）积化和差公式:

cosacos^=i[cos^z+/?)+COS(Q-/?)]sinosin6=一g〔cos(a+//)-cos(«-⑶]

sin«cos/?=-[sin(a+/?)+sin(Q-/?)]COSQSin尸=l[sin(a+fl)-sin(a-fl)].

（3）和差化积公式:

2sin3os〜2cos空2sin〜

sina+sin夕=22sinor-sin/?=22

ct+B.a-0.a+fi.a-p

cosa+cos^=cos-2-C°S-2~.coscr-co*^?=~sm-2-s,n-2-,

t一

(4)辅助角公式：

as\nx+bcosx=y[a^+b^sin(^+^?)(a>0,8WO),其中COS9=

b

sin^9=

yla2+b27?+/

（5）万能公式:

,，a

2tan-1-tan~2tan-

.?7

sina=----------.____C_O_S_C_c-2------t-a--n--a-=----------

i?a，,2a

1+tan"—1+tan-—i1-tan2a

222

18.三角函数的图象变换

（i）平移规则：横加左减右，纵加上减下;

（2）伸缩变换：先平移后伸缩

71

向左平移彳横坐标变为原来

y=siiixj,=.vz/z（x+）*=5z//（2x+j）

相位变换周期变换

先伸缩后平移

,71

横坐标变为原贬［移不

,来的一半.c个单位_

y=S7//X}^=Slll2x

.周期变换相位变换

19.平面向量的线性运算

O向量加法的运兑律：

交爽律：a-\-b=b+a；结合律：（。+5）+c=a+（b+c）；

（2）向量数乘的运算律（九〃为实数）：

结合律：第一分配律：（4+4）。=〃+"；第二分配律：〃〃+万）=加+仍;

（3）共线向量的基本定理：

判定定理：如果b="（@WO）,则。〃g

性质定理：如果。〃b（aHO）,则分二人。.

（4）与A3同向的单位向量是丝，反向的单位向量是AB_.

网网

20.平面向量的数量积运算

（1）公式：a*b=a引cos。；

(2)a_L〃oa•力=0；

abb

a在b上的投影向量为

(3)K'W.

f

（4）运算律：对于向量〃,b.c和实数4,有交换律：ab=ba；数乘结合律：（笈）/=

2(a-b)=a•(Ab)；分配律：(o+b)c=ac+bc.

21.平面向量的基本定理及坐标表示

设向量3=（%,凹）"=（X2，%），兀iR，。是a与力的夹角，则

（1）3+6=（王+工2，凹+）’2）；（2）a—。=（%一/,）'1一）‘2）；

(3)Aa=(/kpAV])；(4)a•b=x[x2+yxy2；

2

(5)|a|=yjx}~+y}；(6)a-Lb<=>x]x2+y1y2=0；

(7)cosO=MJ+2.''：！：(8)向量4Z;(力WO)共线0%%一/乂=().

JxJ+短收+寸

22.解三角形

(一)余弦定理及其推论：6/2=/?24-(:2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB»

>a~•)+o.~•>-c~2

c2=a2+b2-2abcosC;cosB=cosC=---------

2bc2ab

（2）正弦定理及其推论：&=b=_£_.a.b：c=sinA：sinZ?：sinC；

sinAsinBsinC

（3）二角形面积公式：S=—^/?sinA=—acsinB=—bcsinA-

222

23.复数的概念

（：）共规复数：复数Z的共匏复数用之表示，如果z=〃+抗，那么彳=。-次，共匏复数的性

质：z-z=a2+/?2.

9

(2)复数模长：|z|=|«4-Z?z|=yja2+b2.

24.复数的四则运算

(1)加法：(小■历)+(c+di)=(>c)+(加中i；

(2)减法：(小■历)-(c+di)二:己-。)+(6-i；

(3)乘法：bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

(4)除法：(〃+万)+(c+di)=@口吐皿=华空+竺”[&山工①；

(c+di)(c-di)/+小c?+小

(5)

25.旋转体

若己知球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面圆的距离为d=XR?-产

26.简单几何体的表面积和体积

几何

表面积公式体积公式

体

棱柱S枝柱=S恻+2s底V=Sh

V=1e

棱锥s校锥=s侧+S底-Sh

3

v=-（s,+Vs7s+s）/?

3

棱台s梭台=s恻+S上底+S下底

（S'S分别为上、下底面面积）

圆柱s圆柱=2勿«+/）（用r"表示）y=（用r,h表示）

圆锥S圆锥="「+’）（用r,/表示）（用r,h表示）

3

S圆台==（尸+尸+〃+”）厂分别V=：就（产+//+/）（尸，「分别为上、下

圆台

为上、下底面半径）底面半径）

%=3或3（球的半径为川

球s球=4成2（球的半径为必

3

27.空间直线、平面的平行

C）直线与平面平行：

判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

性质定理:一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线

平行.

（2）平面与平面平行

判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

28.空间直线、平面的垂直（一）

直线与平面垂直：

判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.

29.空间直线、平面的垂直（二）

（1）平面与平面垂直：

判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

性质定理:两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线

与另一个平面垂直.

（2）空间中线、面所成角。的取值范围（写为弧度制的区间形式）

两条直线所成角异面直线所成角直线与平面所成角二面角

H]

0,1[0,4]

30.统计图表

频率分布直方图的频率;小矩形的面积.

31.用样本估计总体

（:）频率分布直方图的众数：最高小矩形底边的中点；

（2）频率分布直方图的平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和;

（3）频率分布直方图的中位数：中位数左边和右边的直方图的面积相等.

32.古典概型

古典概型公式：P（4）=%

%

33.概率的基本性质

性质1对任意的事件人都有〃（力）20

性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即〃（。）=1,A0）=o

性质3如果事件力与事件夕互斥，那么〃G4U而=，a）+〃（而

性质4如果事件力与事件6互为对立事件，那么〃（戌=1一以月），P（4=1一尸的

性质5如果归口反舞么P3WP⑦

性质6设4"是一个随机试验中的两个事件，我们有uau0=p（a+p（^一〃anQ

34.事件的相互独立性

概率概率

事件表示

（4,8互斥）（4,B相互独立）

而或

A,片中至少

P(AUB)P(A)+P(B)P(A)+P(B)-P(A)•

有一个发生

P(B)

4,8都发生P（AB）0P(A)P(B)

l-[〃(4)+

4,8都不发生P(AB)P(A)P(B)

P(B)]

4,8恰有

P(ABUAB)P(A)+P(B)

一个发生

4,8中至多P(ABUAH

11-P(4)P(B)

有一个发生\JAB)

35.空间向量及其线性运算

（：）力口、减运算：交换律：a+b=b+a；结合律：（a+加+c=a+（b+c）；

（2）数乘运算：结合律：4（〃a）=（4”）a；分配律：（4十〃）a=4a+X（a+5）=

Aa+Xb.

（3）如果两个向量a,6不共线，那么向量0与向量a,5共面的充要条件是存在唯一的有序

实数对（x,y）使「=彳&+_1力.

36.空间向量的数量积运算及基本定理

运算律：（1）（Aa）-6=4S-6）,4eR；

（2）a・b=b・a（交换律）；

（3）（a+力）・c=a・c~\-b*c（分配律）.

37.空间向量及其运算的坐标表示

设&=（句，即为），b=（Z?i,&,幻，则

（1）a+b=（句+6］，及+&,4+b）；

(2)a—b=®一b\,a2—b>,终一&);

(3)4a=(4句，/l牝，4&),4£R；

(4)a•b=&仄+a3b3；

(5)当bWO时，a//bla2S?氏=入h，氏=入A,XWR；

(6)a-Lbifab-0?国0+及8+华公二。；

⑺|〃卜4a?aJa；+嫉+嫉:

、,）、+

/（80）cos<a,b>=--a-M----='a,1b,+a?2b233

1aMa;+.+a；?J片区+b；

38.空间向量的应用（二）

异面直线所成角3口也喘；其中可吟

直线与平面所成的角sin^=|cos(W,/l)|=g

平面与平面的夹角：cos0=\cos（n,）1=।1；

।i"同网

点到平面的距离：/>°=爷了

39.直线的倾斜角与斜率及方程

C）斜率公式：如果直线经过两点片（汨，Y）,月（如㈤（汨£莅），那么4=江3.

W--1

（2）斜率分别为％,人的两条直线/,72,有h〃lyk\=k*l」hokk=T.

（3）点斜式方程：y—%=4（工一无）；斜截式方程：y=kx+b；两点式方程：———="一"

%.y超-王

截距式方程：£+2=1；一般式方程：力x+的+C=0.

ab

40.直线的交点坐标与距离公式

（：）qa，y）,■（&,%）两点间的距离公式为出周二Ja-工）+血-.特别地，原点

0（0,0）与任一点P（x,y）间的距离为="P+y2;

(2)点尸(不，％)到直线/：Ax+Bv+C=0的距离为“二阳。+州。+1

ylA2+B2

(3)两条平行直线"/U+8y+0=0和/加+为+0(C,'C?)间的距离为d二

C-Gl

A2+B2

41.因的方程及直线与圆的位置关系

(1)圆的标准方程：(x-a)?+(y.by=r2圆心为(a,6),半径为r；

圆的一般方程：x2+y2-Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0),圆心为裁厂

(2)(半径

为;加+炉-4尸

42.与圆的位置关系

相离:d>R+r；夕卜切：d=R+r；

相交:R-r<d<R+r,内切:d=R-r；

内含:0<d<R-r.

43.椭圆的标准方程及简单几何性质

标准方程：4+4=•^>b>0),4+4=1^>b>0)；

C)

a2b2a2b2

(2)离心率《二£

Cl

(3)&b,c的关系：a=/?2+c.

44.直线与椭圆的位置关系、焦点三角形

直线与椭圆相交的弦长公式：已知直线与椭圆交于A。［.x),B{X2,%)两点•

(1)当直线斜率不存在时，,同二国-必|；当直线斜率存在时，设直线的斜率为0),

则\AB\=J1+k?|^-x\=J]+\2+%)2_4X/2或IA8|二

21+和-)u=

』+*/必+，）2—4,必；

（2）椭圆的中点弦结论：若点尸（与,凡）（演尸0,%工0）是椭圆W+[=1的弦A3

ab~

的中点，则3晨攵0/»=-2?

a~

（3）椭圆的焦点三角形：椭圆上[十[=1（心〃>0）点P与两焦点构成的居叫焦点

ab~

三角形，设/片尸产2=夕，。为半焦距，则

①当〃位于短轴端点时，。最大,△々PF2面积最大；

1n

②△£尸入面积为S=~1^||PZs|sin6>=/?2tan!；

③IPF\lmax=>GI冏lmin=%3

④△《尸产2的周长为2K2c

45.双曲线及其标准方程

2222

（：）标准方程：二-1"=1（〃>（）,"（））=-1=1（〃>（）力>0）；

a-lr,ab~

（2）&c的关系：c-a+/Z.

46.双曲线的简单几何性质

（1）离心率6=-=

a

（2）渐近线：y=?—X,y-?—x

ah.

47.直线与双曲线的位置关系

（：）直线与双曲线相交的弦长公式：设斜率为0）的直线与双曲线交于

Aa，y）,8a,%）两点，则1A.二J1+4x2\=J1+/J（X]+々广4中2或

吐寸*4yly2；

2b2

（2）双曲线的通径长为不；

22

（3）焦点三角形：已知P为双曲线与=1上异于顶点的任意一点，若

a~b~

?”a,则、码也二上小

tan

2

22

（4）若点P（Xo，yo）（4wO,光工0）是双曲线二-二二1（4>0、。>0）的弦A3的中点，则

ab~

48.抛物线的标准方程及简单几何性质

以y2=2px（p>0）为例；焦点置，。争准线:…勺焦半径…

49.直线与抛物线的位置关系

（:）直线与抛物线相交的弦长公式：设斜率为o）的直线与抛物线交于

A（X],乂）,B（X2,）%）两点，则|A3|=J1+-k-x2|=Jl+/J（X]+・4内工2或

\AB\=Jl+\lx-)"=J++8)2・4MJ:

（2）在抛物线/二2〃氏（p〉0）中，〃为坐标原点，过焦点/且倾斜角为。的直线/交抛物

2

线于人（不，）[）,3a,）A）两点，则①g=J，）\y=-P~

42；

..,_2p]1_2p-

②xp『sin%，|Ab|十|8F|一〃；③△0”的面积为2sina；④直线0A和切的斜率之积为

50.数列的概念

S|,〃二l

4与S的关系：区

S”-Sg,〃N2

51.等差数列（一）

(1)通项公式：an=a[+(n-\)d；

（2）如果a,G"成等差数列，则2俏3+，；

（3）等差数列的性质：设数列｛4｝是首项为a,公差为"的等差数列，则

①若〃沙炉炉仍则=%,+%;

②数歹M44+昂（a,人是常数）是公差为4d的等差数列；

③若a=mf4=〃（/〃#〃），则4,广0；

®am-and.

52.等差数列（二）

C）等差数列的求和公式：鼠二〃”凡）二叫十33

9

（2）等差数列前〃项和的性质：设等差数列｛4｝的首项为4，公差为a前〃项和为5；,

①数列中是公差为g的等差数列；

②数列｛S”，S.S”,S.S?"，…｝是公差为〃24的等差数列；

③$2“-1=（2/7-1）&；

④2尸病+创（48为常数）0｛a｝是等差数列，公差为24.

53.等比数列（一）

C）通项公式：4=4/,

2

（2）若46。成等比数列,1（njG=ab.

（3）若加■炉炉/则%・%=%,,%.

54.等比数列（二）

叫，q=1

O等比数列的前〃项和公式：4（1一/）

—；--------，#]

「q

（2）等比数列前n项和的性质：在等比数列｛〃”｝中，首项为％,公比为0前〃项和为S“，则

n

①若ni,neN*,mh〃，则Sn+m=Sn+qSm；

②若"｝的项数为2〃，则&=夕；若｛/｝的项数为2〃+1,则组二3二

S奇S仅

55.数列求和一裂项相消法

C）若数列｛%｝为公差o的等差数列，

(2)

(3)1_\(\__;_、

〃(〃+%)k\n〃+。；

[=_i_r___1__________]

(4)〃(〃+1)(〃+2)2|_〃(〃+1)(“+1)(〃+2)

(5)

yin+k4-y[n

2"1_______I

(6)(2a-l)(2n+,-I)-2M-1_2^'-1；

In"1=In(7?+1)-Inn

(7)n•

56.导数的概念及其几何意义

函数y=f（x）在x=处的切线方程为y~/（xo）=/（%）（工-工0）

57.基本初等函数的导数

（1）F（x）=c（c为常数）,八功=0；

(2)f(x)3(a£Q,且aWO),f\x)=caa-x；

(3)F(x)=sinx,f\x)=cosx；

(4)f(x)=cosx,/*(%)=-sinx；

(5)f(x)二优(a>0,且a#l),f\x)=axIna；

(6)fU)=eS/V)=ex；

(7)f(x)=log/(a>0,且aWD,f\x)=—;

xlna

(8)f(x)=lnx,f\x)=—.

x

58.导数的运算法则及复合函数的导数

(1)[f(x)±g(x)Y-ff(x)±gf(x)\

(2)"⑨g小刀'二f'(x)g(x)+f(x)g'(x)・,

(3)3|，二丛&匕&逆Ag*)工o)；

那(幻」[g@)r

(4)若。为常数,9A[cf(x)]f=cff(X)x

⑸若a,b为常数,KJ[af(x)±bg(x)]"-af"(x)±bgf(x);

(6)复合函数求导法则：若y=/[g*)],令/=g(x),y=/(，)n

y=八3二/毒(幻?。).

59.利用导数研究不等式问题

单变量不等式的等价转化(埴/("Ln或"幻2〉

(1)VX£(4,Z?)J(X)>攵恒成立。/(x)min>k；

(2)VXG(4,Z?)J(x)<k恒成立Of(x)max<k;

(3)IT。£(〃/),/(%)>左成立Of(x)max>k；

(4)*0£(a,b\/(x0)<k成立<=>f(x)min<k.

2.双变量不等式的等价转化(填/Wmax,g(X)v或g(X)a)

(D%,工2£(。/),/(内)>8(尤2)恒成立=/3)“面〉8(。3

(2)3Xj,当£(。，8)，/(%)>8(%2)成立0/(初1皿>煎幻1^；

(3)%€(a,b\3X2e(c,d),/(』)>g(w)成立<=>>gWmin；

(4)3x,G(a,b),Vx,G(c,d),/(x,)>g(电)成立<=>/(x)nux>^(x)max.

60.排列与排列数

(1)公式:父=」^=〃(〃_1)(〃一2)一-(〃一〃2+1),"'，〃£2,并且〃20；

(〃-m)\

⑵0!=1;A：=〃A*A：=mA：：+A3.

61.组合与组合数

（•）公式.c”=加=.51）52>-5--+1）