山东省烟台市招远市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷(含答案)

山东省烟台市招远市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题一、单选题1．下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（

）A． B． C． D．3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A． B．C． D．4．如图，直线和被所截，直线，，则的长为（

）A．1 B． C． D．25．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（

）A．12 B．16 C．2或4 D．12或166．如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（

）A． B． C． D．7．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为288万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形9．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（

）A． B．C． D．10．在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________．12．，且，则的长为___________．13．若a、b是关于x的一元二次方程的两根，的值为______．14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．

15．如图，是一块矩形场地，宽米，长米．若在其对角线的延长线上取点，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了米，上、下各增加了x米，则x的值为___________．16．如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点于点，若，则的最小值为___________．三、解答题17．解方程：(1)；(2)．18．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．(1)求出的面积；(2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可）19．小明与小颖两位同学解方程的过程如图：小明：两边同除以，得，解得．小颖：移项，得，提取公因式，得．或．解得．(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法．20．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PE的长．21．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题：(1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解此方程．22．一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元．(1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）；(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？23．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F．(1)求证：；(2)若，求的长．24．【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积．25．实践与探究如图1，在边长为的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．问题解决：(1)求证：；(2)若点是的中点，连接，且．①如图2，当，，三点共线时，连接，求线段的长；②在点运动的过程中，当，，三点共线时，连接，请自己画出图形，直接写出四边形的面积．26．附加题：(1)若：，其中x，y，z互不相等，则的值为______________．(2)如图，中，D为边上一点，E是的中点，且．已知，设，则线段的长为____________．(3)如图，已知矩形，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为_____________．参考答案1．A2．B3．D4．C5．B6．A7．D8．D9．B10．C11．12．13．202414．15．16．17．（1）解：，或，．（2）解：，整理得：，，，．18．（1）解：由图可得：．（2）解：，∴与的相似比为：，∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或，如图，为所求．19．(1)小明和小颖的解法都不正确．正确的解答过程：整理得：，∴，即，∴，或，．（2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．20．（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴PB=PE，OB=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE=QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）∵点F为AB的中点，OB=OE，OF+OB=9，∴AE=2OF，BE=2OB，AE+BE=18设AE=x，BE=18-x，∵BE2=AB2+AE2，∴（18-x）2=36+x2，∴x=8∵AB2+AP2=PB2，∴36+（8-PB）2=PB2，∴PB=∴PE=.21．（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，

∵此方程有两个不相等的实数根，，解得：，的取值范围为．（2）解：当时，方程整理为：，即，，，，．22．（1）解：∵每件降价1元，多售出2件，∴降价x元，则销售量增加件，∵原每件进价为70元，销售价为120元，∴原每件盈利50元，∴降价x元，则每件服装盈利元．（2）解：由题意可知：每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件，

则由题意得：，整理得：，

解得：．又∵需要让利于顾客，．

答：每件服装降价30元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1600元．23．(1)，，，，，是的中线，，，，又，．（2）解：在中，根据勾股定理，得，即，，由（1）知：，，，．是的中线，，．

，，，，．24．(1)（答案不唯一）(2)证明：由题意可知：，，，∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．（3）解：把代入中得：，即，

∵四边形的周长是，，∴，，解之得：，

，，，即，，，．25．(1)证明：∵四边形是正方形，∴，，∵将绕点顺时针旋转，得到，∴，，∴，即，∴，∴．（2）解：①由（1）可知，，∴，∵正方形的边长为，∴，，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴，如图，过点作延长线于，则，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴；②如图，连接，则，由三角形三边关系可知，，当点在上时取等号，即：当最小时，，∴，如图，过点作，则，∴，∴，即，解得，∴，∴四边形的面积为．26．（1）解：，，，互不相等，，，同理可证，，，故的值为8．（2）解：延长到点G；使得，交于点M，连接，∵是边的中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，，∴，不妨设，∴，∵，∴，∴，∴，整理，得，解得，，当时，，不合题意舍去；当时，，符合题意，此时；