2025-2026学年河南省光山县第二高级中学高二下学期7月学情检测数学试题-含解析

/数学（分值：150分时间：120分钟）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.当决定系数越接近于1时，说明模型的拟合效果越好B.若经验回归方程为，则点的残差为C.若随机变量，则D.若随机变量，，则10.设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（）A. B.C.时，最大 D.使的n的最大值为1311.已知O为坐标原点，点在曲线C：上，则下列结论正确的是（）A.曲线C关于y轴对称 B.C. D.的最大值为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列中，，，则_________．13.某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则______，______.14.定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：年份2019202020212022202320242025年份代码1234567利润亿元29333644485259（1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.16.已知数列的前项和为，若，且．（1）证明：为等差数列，并求．（2）若，数列的前项和，求证：．17.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差．18.已知抛物线（）的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少．（1）求抛物线的方程．（2）若，为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动．（3）过焦点的直线与抛物线交于，两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值．19.已知函数（）．（1）若在处取得极值，求的值；（2）求函数的最值；（3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围．

高二年级下期7月份学情检测试卷数学试题（分值：150分时间：120分钟）1.一质点的位移（m）与运动时间（s）的关系式为，则该质点在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对函数求导，将代入求出导数值即是该质点在时的瞬时速度.解答过程：因为质点的位移与时间的关系式为，所以对函数求导得.所以.所以该质点在时的瞬时速度为7m/s.故选：D.2.已知随机变量等可能取值为（），若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：依题意可得，结合计算可得.解答过程：依题意可得，，所以，解得.故选：C.3.现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（）A.24 B.36 C.48 D.60答案：B解析：思路：相邻问题捆绑法，将两名女生“捆绑”，算出总的排法减去男生甲站排头的排法，得解.解答过程：将两名女生“捆绑”，看成整体，总的排法有种，其中男生甲站排头的排法有种，所以男生甲不站排头的不同排法种数为种.故选：B.4.某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（）A.根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”B.在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌C.若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌D.有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”答案：D解析：思路：根据独立性检验可得正确选项.解答过程：依已知数据，得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，则选项D正确，其余都是错误的.故选：D.5.若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据正态分布的定义可得，即，结合二项分布的均值和方差公式求得答案.解答过程：由，，则，，故，设，则，.故选：C.6.若函数在处取得极值，则在内的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.6答案：A解析：思路：求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案.解答过程：由，则，因为在处取得极值，所以，解得，故，当或时，，当时，，即在和上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，故在上的最小值为2.故选：A.7.已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（）A.6 B.8 C.14 D.35答案：A解析：思路：利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值.解答过程：设弦中点为，根据圆的性质，，，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其方程为.因为，所以，的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2.，.故选：A.8.设函数，若恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据与在相同区间的符号相同，可得的关系，再将写成关于的函数，利用导数分析函数的单调性，求其最小值.解答过程：由；由.若，则恒成立，则在上不成立.若，由；由.由恒成立，可得：.所以，.设，.则，.由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为：.即的最小值为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.当决定系数越接近于1时，说明模型的拟合效果越好B.若经验回归方程为，则点的残差为C.若随机变量，则D.若随机变量，，则答案：ACD解析：思路：对A，根据决定系数的意义即可判断；对B，根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果；对C，根据方差的性质计算判断；对D，根据正态分布的原则结合对称性求解判断.解答过程：对于A，若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好，故A正确；对于B，当时，，所以样本点的残差为，故B错误；对于C，由，根据方差的性质可得，故C正确；对于D，由，，根据原则结合对称性可得，所以，故D正确.故选：ACD.10.设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（）A. B.C.时，最大 D.使的n的最大值为13答案：AC解析：思路：对于AB，由题可得，由可得，，据此可判断AB；对于C，分析可得时，，时，，进而判断即可；对于D，由题可得，据此可判断选项正误.解答过程：对于AB，由题意，即，又，所以，且，则，故为递减数列，即，故A正确，B错误；由于时，，时，，则时，最大，故C正确；由，所以使的的最大值为14，故D错误.故选：AC．11.已知O为坐标原点，点在曲线C：上，则下列结论正确的是（）A.曲线C关于y轴对称 B.C. D.的最大值为答案：ABD解析：思路：根据函数的对称性、函数值的正负号、函数值的最大值以及函数的单调性对选项逐一判断即可.解答过程：对于选项A：用替换后，曲线的方程仍成立，所以曲线关于轴对称，A正确．对于选项B：C：，因为，，所以，即，B正确．对于选项C,D：设，点P在上．联立，得①．令，则，函数图象的对称轴为直线，且，所以要使得有正数解，只需要，解得，即，C错误．由①可得．令函数，则，在上单调递减，在上单调递增．要使得有解，则，解得，即的最大值为，D正确．故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列中，，，则_________．答案：解析：思路：根据等比数列的性质求解即可．解答过程：在等比数列中，，则，设，设等比数列的公比为，则，所以，，同号，又，所以．故答案为：.13.某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则______，______.答案：①.②.##解析：思路：设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，有，，，，由全概率公式和贝叶斯定理求解.解答过程：设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，根据题意，有，，，，由全概率公式.所以.故答案为：；.14.定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______．答案：解析：思路：求导赋值求得，可得，进一步得函数单调性、最值，故原题条件可转换为对于恒成立，从而可得关于的不等式，解不等式即可得解.解答过程：因为，，令，，解得：，所以，令，，所以，所以，而显然在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，存在实数x使不等式对于恒成立，所以对于恒成立，所以对于恒成立，即，解得：或，则实数m的取值范围为：．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：年份2019202020212022202320242025年份代码1234567利润亿元29333644485259（1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.答案：（1），可以推断变量与线性相关且相关程度很强.（2），83亿元.解析：思路：（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小判断相关程度；（2）求出线性回归方程，利用回归方程估计即可.（1）由题设，且，，，，由于，可以推断变量与线性相关且相关程度很强.（2）因为，，所以关于的经验回归方程为，当2030年对应的年份代码时，，即预测该新能源汽车制造公司2030年的利润为83亿元.16.已知数列的前项和为，若，且．（1）证明：为等差数列，并求．（2）若，数列的前项和，求证：．答案：（1），所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以；（2），．解析：思路：（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求；（2）利用裂项相消法求和即可证明．（1）略（2）略17.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差．答案：（1）（2）的分布列为012数学期望为（3）的分布列为0123方差为解析：思路：（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解；（2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数，服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望；（3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率，服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差.（1）依题意，得，解得．（2）依题意，成绩在的人有（人），成绩在的人有（人），用分层随机抽样的方法抽取5人，则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人．所以的所有可能取值为0，1，2，则，，所以的分布列为012所以．（3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率，所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为．又全公司中成绩在范围的人有（人），所以的可能取值为0，1，2，3，且．所以，，，．所以的分布列为0123所以，所以．18.已知抛物线（）的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少．（1）求抛物线的方程．（2）若，为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动．（3）过焦点的直线与抛物线交于，两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值．答案：（1）（2）设，则的重心．由于直线的斜率，则，所以，故的重心在直线上运动．（3）解析：思路：（1）利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题设距离关系推导准线方程，进而求出得到抛物线方程.（2）设出的坐标，根据直线斜率为得到两点纵坐标的关系；再结合重心坐标公式，用的坐标表示重心坐标，消去参数得到重心横纵坐标的关系，判断是否为定直线.（3）设过焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，得到坐标的关系；分别求出直线与交点的坐标，用弦长公式写出的表达式，再求最小值.（1）因为抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少，所以抛物线的准线为直线．由抛物线的定义知，所以，所以抛物线的方程是．（2）略（3）由（1）知焦点．不妨设点