2025-2026学年河南省濮阳市高二下学期学业质量监测数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算：（）A.26 B.325 C.650 D.156002.函数的图象在点处的切线的斜率为（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，且，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（）A.0.05 B.0.15 C.0.25 D.0.354.函数的单调递增区间为()A. B. C. D.5.为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（）A. B. C. D.6.高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（）A. B. C. D.7.已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（）A. B. C. D.8.已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示：月份12345用户数量（百万）0.50.71.11.31.7若关于的线性回归方程为，则（）A.变量，正相关B.C.可以预测当时，用户数量首次突破2百万D.当时，实际用户数量高于预测值10.已知是函数的极大值点，则（）A. B.是的极小值点C.的单调递减区间为 D.恰有3个零点11.如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（）A.平面平面B.直线与平面所成角的正弦值为C.异面直线与所成角的余弦值为D.平面与平面夹角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若展开式中的系数为，则______．13.如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________.14.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.16.某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表：肝病患者非肝病患者合计长期持续饮酒4060100非长期持续饮酒2080100合计60140200（1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联；（2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.82817.某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态.（1）求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率；（2）记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望.18.已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点.（1）求的方程.（2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，.（i）证明：；（ii）求的面积的最小值.19.已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）已知函数，有2个不同的零点，，且．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算：（）A.26 B.325 C.650 D.15600答案：C解析：解答过程：2.函数的图象在点处的切线的斜率为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：利用导数的几何意义可得切线斜率.解答过程：由题意可知：，则所以函数的图象在点处的切线的斜率.3.已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，且，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（）A.0.05 B.0.15 C.0.25 D.0.35答案：A解析：思路：由正态分布对称性结合题设可得答案．解答过程：由题可得：，则，，则.4.函数的单调递增区间为()A. B. C. D.答案：C解析：思路：先确定函数定义域，再求导并解导数大于零的不等式，得到单调递增区间.解答过程：函数的定义域为，.令，由，，得，即.故函数的单调递增区间为.5.为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：，3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中，排列数为：，故总安排方法数为：．6.高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设事件A为“抽到的学生物理成绩优秀”，事件为“抽到的是男生”，事件为“抽到的是女生”，则，，已知，代入全概率公式得：．7.已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题设直线与直线垂直，问题化为求出平行于的直线与相切情况下的切点，只需与切点重合有最小，再由点在直线上求参数值.解答过程：由，可化为，显然其与直线垂直，示意图如下：由图，当平行于的直线与相切，且恰好为切点时，最小，由，令，则，即切点为，所以过切点，则.8.已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据构造法写出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，根据的范围判断实数的取值范围.解答过程：因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，所以，不等式对恒成立，则实数的取值范围为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示：月份12345用户数量（百万）0.50.71.11.31.7若关于的线性回归方程为，则（）A.变量，正相关B.C.可以预测当时，用户数量首次突破2百万D.当时，实际用户数量高于预测值答案：AC解析：思路：对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误．解答过程：对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确；对于B，由表格数据可得，，因过点，则，故B错误；对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确；对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误．10.已知是函数的极大值点，则（）A. B.是的极小值点C.的单调递减区间为 D.恰有3个零点答案：BCD解析：解答过程：函数，定义域为，，是的极大值点，有，解得或，当时，，在上单调递减，不合题意；当时，，解得或，解得，在和上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，是的极小值点，符合题意.所以A选项错误，BC选项正确；，时，时，的极大值为，的极小值为，所以恰有3个零点，D选项正确.11.如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（）A.平面平面B.直线与平面所成角的正弦值为C.异面直线与所成角的余弦值为D.平面与平面夹角的余弦值为答案：ACD解析：思路：若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D.解答过程：由

​，，可得和均为等腰三角形，若中点为，则，且，又，故，所以，由且都在平面内，则平面，由平面，则平面平面，故A正确；以为原点，

为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，由为中点，即，为中点，即，由，，，设平面的一个法向量，则，取，则，，故，设直线与平面所成角为，则，故B错误；由，，则，故C正确；由，，设平面的一个法向量，则，取，则，，故，又平面法向量，则，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若展开式中的系数为，则______．答案：解析：思路：求出的通项，令，则，求解即可.解答过程：的通项为：，令，则，解得：.故答案为：.13.如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________.答案：解析：思路：根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案.解答过程：由题意得：，,则的外接圆圆心为中点.则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上.平面，则易得,又，故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.,,,,，设，则，由，解得.所以外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积.14.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．答案：解析：思路：先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解．解答过程：因为不等式恒成立，所以不等式恒成立．设，，则由题意知函数的图象恒不在直线的下方，又，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以，当时，，当时，，当时，，且，又直线恒过点，当直线与曲线相切时，设切点为，则，解得或，故当直线与曲线相切时的值为或．在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示，结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：（1）由题意知①，当时，，当时，②，①②得，，又，∴数列是首项为1，公比为4的等比数列，.（2）由题意得，是首项为，公比为的等比数列，.16.某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表：肝病患者非肝病患者合计长期持续饮酒4060100非长期持续饮酒2080100合计60140200（1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联；（2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.828答案：（1）认为长期持续饮酒与患肝病有关联（2）解析：思路：（1）计算的值，由此作出判断.（2）利用超几何分布的概率计算公式求得这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率.（1）零假设为：长期持续饮酒与患肝病之间无关.根据列联表中的数据，得，∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为长期持续饮酒与患肝病有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.（2）由题意知，抽取的6人中，长期持续饮酒的有4人，非长期持续饮酒的有2人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中长期持续饮酒的人数为，则.17.某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态.（1）求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率；（2）记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望.答案：（1）（2）解析：01234思路：（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求解即可.（2）判断出的取值，根据独立事件的乘法公式及全概率公式求出对应的概率，即可得到分布列，进而求出数学期望.（1）设第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率为，有以下两种情况：第1分钟末系统中有一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞；第1分钟末系统中有两个可分裂细胞.根据题意有.（2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，的分布列为01234.18.已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点.（1）求的方程.（2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，.（i）证明：；（ii）求的面积的最小值.答案：（1）（2）（ⅰ）由（1）知，，设，，直线，代入，整理得，，且，得，，，∴直线，，∴直线，，，，，.（ⅱ）解析：思路：（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程；（2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可；（ⅱ