2025-2026学年湖北省云学联盟高二下学期5月学科素养测评数学试题-含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（）A. B.C. D.2.记数列为等比数列，已知，，则（）A.32 B.34 C.38 D.313.已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要条件4.已知随机变量的分布列如下表所示，则（）12340.10.30.2A.0.5 B.0.7 C.0.4 D.0.35.函数的图象大致是（）A. B.C. D.6.某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（）A.平均数为3，中位数为3 B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为3 D.中位数为3，方差为3.67.如果今天是星期五，那么天后是星期几？（）A.星期一 B.星期二 C.星期四 D.星期六8.若数列满足，an+1=2aA. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了研究某新款产品的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某直播平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示：直播间展示时长23456即时下单量1420283236若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（）A. B.回归直线必过点C. D.当直播间展示时长为8分钟时，即时下单量的估计值为4610.已知事件，满足：，，，则下列正确的是（）A. B. C. D.P(AB11.已知函数，设，，是的三个零点，则下列说法正确的是（）A.若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，则k=12B.的取值范围为C.若，，成等差数列，设公差为，则D.若，，成等比数列，则，，的公比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________．13.有个家庭相约周末一起自驾游，其中每个家庭有爸爸、妈妈、小孩共人．为节约出行成本，他们计划一共开两辆车，每车最多坐人．为方便照顾小孩，要求位妈妈必须和自己的小孩在同一车上．为保障安全，每辆车上至少要有一位爸爸．则一共有____种不同的安排方法．（用数字作答）14.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设1+2（1）求的值；（2）求的值；（3）求a116.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），某人先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球．（1）求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率；（2）求从乙箱中取出的两球都是红球的概率．17.记数列的前项和为，已知，．（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记bn=1ann+1（3）求an18.重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验．（1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；（2）设为第轮试验使用A型号机车的概率．①求数列的通项公式；②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则=E1+E2+⋯En）19.已知，其中（1）当时，求在处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的取值范围；（3）求证：34n+

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由图知，C、D中各点都非常分散无法判断正负相关性，显然它们的相关系数无法比较大小，而A、B中各点相对比较集中，其中A中散点的正相关，而B中散点的负相关，所以A中样本点相关系数为正，且最大.2.记数列为等比数列，已知，，则（）A.32 B.34 C.38 D.31答案：A解析：解答过程：设等比数列的公比为，，，所以，因为a4a6=2a所以a52=2即(a而a9=a1q3.已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要条件答案：A解析：思路：结合可导函数极值的必要条件，分别验证两个条件的充分性和必要性是否成立即可.解答过程：充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立.必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数，其导函数f′(x)=3x2满足，但在因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件.4.已知随机变量的分布列如下表所示，则（）12340.10.30.2A.0.5 B.0.7 C.0.4 D.0.3答案：B解析：解答过程：因为可以取得1，2，3，4，所以当2X−5<3时，−3<2X即此时可取2，3，故P(而0.1+0.3+m+0.2=1，所以则P(5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：通过求函数的零点以及分析函数在特定区间的正负性，逐项判断即可求解.解答过程：令

，即

，因为

恒成立，所以

，解得

或

；所以函数

的图象与

轴有两个交点，分别为

和

，观察选项：A选项图象与

轴只有一个交点，排除；C选项图象在

处与

轴有交点，排除；对于D选项，当

时，，2x2−3由指数函数与幂函数的增长速度可知，即图象在

轴负半轴应无限趋近于

轴，而D选项图象在

时

，排除D,当

时，2x2−3x=x(2x−3)>0，且

，所以

，图象在

当

时，，所以

，图象在

轴下方，当

时，2x2−3x>0，所以

6.某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（）A.平均数为3，中位数为3 B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为3 D.中位数为3，方差为3.6答案：C解析：思路：通过先假设存在6，并满足选项的某个条件，若根据条件推出结果与选项的条件矛盾，即可反推出答案.解答过程：设5次投掷的点数按从小到大排列为，，A：中位数为3，故；平均数为3，故，取，满足条件，所以可能出现.B：众数为2，2出现次数最多；中位数为3，故；取，满足条件，所以可能出现.C：平均数为2，即；若存在，则其余4个数的和为，骰子点数最小为1，故其余4个数只能全为1，此时方差：s2与方差为3矛盾，故C一定不会出现6.D：中位数为3，故，取，，s2满足条件，所以可能出现.7.如果今天是星期五，那么天后是星期几？（）A.星期一 B.星期二 C.星期四 D.星期六答案：B解析：思路：利用二项式定理求除以7的余数，再结合星期的周期规律，从星期五往后数对应天数即可求得.解答过程：因为一周是7天，所以只需计算除以7的余数.因为，（）因为除最后一项，其余项都是7的倍数，所以除以7的余数等于除以7的余数，又因为，而，（）除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7整除，所以除以7的余数是1，因此除以7的余数为，今天是星期五，往后数4天就是星期二.8.若数列满足，an+1=2aA. B. C. D.答案：C解析：思路：令，推得为递增数列，为递减数列，即可判断A，C两项；利用作差法得到an+1−2an解答过程：数列满足，an+1=2an2令bn=1an，则b故为递增数列，且，因an=1bn对于A，因为递减数列，故a2026>对于B，因为an+1=因为递增数列，当时，bn>3，故an=1则an+1<对于C，1a对于D，由bk+1−bk累加得bn当时，b2026>2×2026+1=4053，即1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了研究某新款产品的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某直播平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示：直播间展示时长23456即时下单量1420283236若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（）A. B.回归直线必过点C. D.当直播间展示时长为8分钟时，即时下单量的估计值为46答案：ACD解析：思路：根据线性回归分析的相关知识，结合样本相关系数的意义、回归直线过样本中心点的性质，依次对各选项判断即可.解答过程：选项A：由表格数据可知，即时下单量随直播间展示时长的增大而增大，二者为正相关关系，因此样本相关系数，故A正确；选项B：计算样本中心点，，回归直线必过样本中心点(4,26)，不经过点(4,25)，故B错误；选项C：将样本中心点(4,26)代入经验回归方程，可得，解得，故C正确；选项D：由C可知经验回归方程为，当时，，即即时下单量的估计值为46，故D正确.10.已知事件，满足：，，，则下列正确的是（）A. B. C. D.P(AB答案：AD解析：解答过程：由已知可得：PA=1−PA=选项A：由PB|A选项B：PB选项C：PA选项D：PA11.已知函数，设，，是的三个零点，则下列说法正确的是（）A.若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，则k=12B.的取值范围为C.若，，成等差数列，设公差为，则D.若，，成等比数列，则，，的公比为答案：ACD解析：思路：利用导数计算可判断A；令，利用与有三个交点，结合导数研究的性质可求得的取值范围判断B；计算可得，结合进而得，令，可得，计算可求得范围判断C；设公比为，结合已知可得，计算求解即可判断D.解答过程：fx=−所以f′e=因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，所以1e−k由fx=ln即与有三个交点.令gx=ln当时，，函数在单调递减，当时，，函数在单调递增，当时，，函数在单调递减，当时，，当时，，又，，由与有三个交点，可得的取值范围为，故B错误.由B可知，又因为，所以，所以lnx3−lnx得，因为成等差数列，所以，所以，所以，令，所以，所以，所以x1=2tt所以，所以d=xx1所以dx因为t=x2∈1,所以dx若成等比数列，设公比为，则x2=x又ln所以lnx1+所以−k所以lnq所以，所以，解得或（舍去），所以若，，成等比数列，则，，的公比为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________．答案：解析：思路：先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数.解答过程：函数的定义域为，求导得，当时，导数值，即切线斜率为；由点斜式得切线方程为，整理为，设直线与相切于点，对，求导得，由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即，解得，因此切点坐标为，又切点在切线上，代入得：

1+a=−1−1，解得13.有个家庭相约周末一起自驾游，其中每个家庭有爸爸、妈妈、小孩共人．为节约出行成本，他们计划一共开两辆车，每车最多坐人．为方便照顾小孩，要求位妈妈必须和自己的小孩在同一车上．为保障安全，每辆车上至少要有一位爸爸．则一共有____种不同的安排方法．（用数字作答）答案：解析：思路：先确定总人数人只能按人和人分组，再结合妈妈必须和小孩同车的绑定条件，推出人车只能是对母子位爸爸、人车是对母子位爸爸，接着分步计算：选个家庭的母子进人车（）、选2位爸爸同乘（），再考虑两辆车的顺序（），相乘得到总数．解答过程：个家庭共人，分两辆车，每车最多人，即人数分配为人和人，按照要求，人车只能有个小孩和妈妈绑定，外加个爸爸；人车有个小孩和妈妈绑定，外加个爸爸，第一步：先将人员分成一个人组和一个人组．其中，组成人组（含对母子和位爸爸）的方法数为种，余下人（含对母子和位爸爸）自成一组．第二步：将这两个人数不同的小组分配到两辆不同的车上，方法数为种．所以，安排方法有种．14.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________．答案：解析：思路：将不等式变形为ex+lna+x+lna>lnx解答过程：由题意得，由，可得aex−即ex设gu=e因为g′u=所以x+lna令，h′x时，，单调递增；时，，单调递减，所以在处取得最大值，要使lna>hx恒成立，只需要ln四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设1+2（1）求的值；（2）求的值；（3）求a1答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）通过二项式展开式的通项公式求得项的系数，即；（2）利用赋值法，分别令，，两式相加，即可求得偶次项系数和；（3）对原式求导，再利用赋值法，令，即可求得a1−2（1）

二项式(1+2x)8令，可得T4=所以

a3（2）对(1+2x令，得38=令，得(−1)8①+②得，2(a故a0（3）由(1+2x两边求导，得81+2令，则−16=a1所以a1−2a16.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），某人先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球．（1）求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率；（2）求从乙箱中取出的两球都是红球的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用古典概型的概率求法、组合数计算求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率；（2）应用全概率公式求概率即可.（1）分别用事件表示从甲箱中取出的球是红球，事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率为PB（2）由题意知PA=35,所以PB17.记数列的前项和为，已知，．（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记bn=1ann+1（3）求an答案：（1）当且时，由已知Sn=nan两式相减得

an整理得(n−1)an−(n−1)an又，故是首项为2、公差为2的等差数列；其通项公式为.（2）（3）最大值为解析：思路：(1)利用与的递推关系证明为等差数列并求通项；(2)再用裂项相消法求的前项和；(3)借助于基本不等式求目标分式的最大值.（1）证明略；因为是首项为2、公差为2的等差数列，则其通项公式为，（2）由（1）得bn其前项和为

，其中（3）由等差数列的前项和公式得Sn=代入目标式，得

anSn+4=2n由基本不等式，，当且仅当n=4n即因此n+4n即anSn+4的最大值为18.重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验．（1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；（2）设为第轮试验使用A型号机车的概率．①求数列的通项公式；②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则=E1+E2+⋯En）答案：（1）203108（2）①Pn=3解析：思路：(1)先确定每轮得