2025-2026学年江苏省南通市通州区实验中学高中部高一下学期期末质量监测数学试题-含解析

/数学分值：150分一、单选题（每题5分）1.设，则（）A. B. C. D.2.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.13.设，是向量，则“”是“或”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则④若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④5.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知，则（）．A. B. C. D.7.若，则（）A. B. C. D.8.已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A. B. C. D.二、多选题（每题6分）9.（多选）下列叙述中错误的是（）A.若，则 B.若，则与的方向相同或相反C.若，，则 D.对任一非零向量，是一个单位向量10.如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（）A.四面体的体积为B.直线与直线所成角的大小为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点到平面的距离为311.已知函数，下列说法正确的有（）A.的最小正周期为B.的值域为C.在上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象三、填空题（每题5分）12.已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________.13.如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________.14.记的内角的对边分别为且，则______．四、解答题15.已知复数满足.（1）求复数和；（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.16.如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．17.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面（3）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值.18.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．（1）设平面平面，证明：；（2）证明：；（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．19.在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值.

数学分值：150分一、单选题（每题5分）1.设，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.解答过程：由题意可得，则.故选：B.2.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：由得，结合，得，由此即可得解.解答过程：因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.3.设，是向量，则“”是“或”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.解答过程：因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.4.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则④若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④答案：A解析：思路：根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.解答过程：对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.5.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.解答过程：在中，，而，取中点，连接，有，如图，，，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B6.已知，则（）．A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.解答过程：因为，而，因此，则，所以.故选：B方法提示：方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．7.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．解答过程：将式子进行齐次化处理得：．故选：C．方法提示：易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．8.已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解.解答过程：当，则，所以，则，因为对于，不等式恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为.二、多选题（每题6分）9.（多选）下列叙述中错误的是（）A.若，则 B.若，则与的方向相同或相反C.若，，则 D.对任一非零向量，是一个单位向量答案：ABC解析：思路：本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.解答过程：对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确．故选：ABC．10.如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（）A.四面体的体积为B.直线与直线所成角的大小为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点到平面的距离为3答案：ACD解析：思路：根据面面垂直的性质得到平面，再由锥体的体积公式判断A，由线面垂直的性质判断B，取的中点，连接、，得到平面，则为直线与平面所成角，即可判断C，利用等体积法判断D.解答过程：对于A：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又等边的边长为，，，所以，所以，故A正确；对于B：因为平面，平面，所以，即直线与直线所成角的大小为，故B错误；对于C：取的中点，连接、，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，又，在中，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；对于D：因为，，设点到平面的距离为，则，解得，即点到平面的距离为，故D正确.故选：ACD11.已知函数，下列说法正确的有（）A.的最小正周期为B.的值域为C.在上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象答案：ABD解析：思路：应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D.解答过程：由，其最小正周期为，A对，由，则的值域为，B对，由，则，显然不单调，C错，函数的图象向右平移个单位长度，则，D对.故选：ABD三、填空题（每题5分）12.已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________.答案：解析：思路：根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.解答过程：在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，表示点到原点的距离，所以的最小值为.故答案为：13.如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________.答案：解析：思路：设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案.解答过程：设，由得，故，由得，故,由于三点共线，故，则，又，故，所以，故答案为：14.记的内角的对边分别为且，则______．答案：解析：思路：切化弦后结合正余弦定理可得，故可求.解答过程：因为，故，所以，整理得到：，故，故答案为：.四、解答题15.已知复数满足.（1）求复数和；（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.答案：（1），（2），解析：思路：（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果；（2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值.（1）因为复数满足，所以，所以.所以.（2）因为复数是关于的方程的一个根，由（1）知，所以，所以，解得，.16.如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.（1）因为，所以，因为是线段的中点，所以，又因为，设，则有，因为三点共线，所以，解得，即，所以．（2）因为，，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．17.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面（3）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直.（3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值.（1）如图：取的中点，连接，则，且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，由题设易知为直角梯形，且，则，所以，因为，，所以，在中，由余弦定理可得，所以，即，因为，平面，所以平面.（3）如图：取的中点，连接，则，由（2）知平面，则平面，所以为直线与平面所成的角.又平面，所以，因为，又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．（1）设平面平面，证明：；（2）证明：；（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）点M为线段上靠近C的四等分点，解析：思路：（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行.（2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直.（3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长.（1）因为四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）因为平面，又平面，所以.又底面为矩形，所以.平面，，所以平面.平面，所以.在中，，，，所以，所以.平面，，所以平面.又平面，所以.（3）如图：过作，交于点，过作交于点.因为，平面，平面，所以平面.同理平面.又平面，，所以平面平面.由（1）知，，又，则，则，因为，.所以，所以点M为线段上靠