2025-2026学年江苏省苏州市工业园区星海实验高级中学高二下学期期中调研测试（二）数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.2.若函数的图象在点处的切线方程是，则（）A.1 B.2 C.3 D.43.在的展开式中，含项的系数为（）A.16 B.-16 C.8 D.-84.电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（）A.24 B.36 C.72 D.1445.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知.则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（）A.-1 B.1 C.0 D.e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（）A.共有120种不同的排法B.当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C.当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D.当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法10.已知，则（）A.展开式各项的二项式系数的和为B.展开式各项的系数的和为C.D.11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.曲线恒过定点B.若，则的极小值为0C.若，则D.若，则的最大值大于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有__________种不同的分配方式.13.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为_________.14.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为，则线段AF长的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，且为的一个极值点.（1）求a的值；（2）求在上的最小值和最大值.16.如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的正弦值.17.已知，二项式.（1）若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.18.如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形，（1）求证:；（2）求平面.与平面的夹角的余弦值；（3）在线段DG上是否存在一点P，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.设，定义为的“函数”.（1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程；（2）设为的“函数”.（ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；（ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：点关于平面的对称点的坐标横纵坐标不变，竖坐标变为相反数.解答过程：点关于平面的对称点坐标为，故选:C.2.若函数的图象在点处的切线方程是，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：根据导数的几何意义可解.解答过程：根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，即，且，所以.故选：C3.在的展开式中，含项的系数为（）A.16 B.-16 C.8 D.-8答案：B解析：思路：利用多项式乘法法则，需求的展开式中和的系数．解答过程：由题意所求系数为：．故选：B．方法提示：本题考查二项式定理，考查二项展开式系数，根据二项式展开式通项公式可得各项系数．本题需要用多项式乘法法则计算．4.电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（）A.24 B.36 C.72 D.144答案：D解析：思路：先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可.解答过程：因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以种排法,其他4个节目有种排法，所以不同播出方案的种数为.故选：D.5.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意.解答过程：由函数，可得，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以至多一个零点，不符合题意，当时，，可得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以时，取得极小值，也是最小值，又函数有两个零点，所以，即，解得，当时，，当时，，当时，，设，则，所以单调递增，则，所以，所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点，所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是.故选：D.6.已知.则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A解析：思路：证明充分性成立，再通过举反例说明必要性不成立，即可判断出条件关系.解答过程：若，且，则，等式成立，因此“”是“”的充分条件；若，不一定能推出，取，则满足，且，即满足，但，因此“”不是“”的必要条件；综上，“”是“”的充分不必要条件.7.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题设确定平面的法向量、直线的方向向量，应用向量法求线面角的正弦值即可.解答过程：由题设知：平面的法向量，直线的方向向量，且平面与直线相交于，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A8.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（）A.-1 B.1 C.0 D.e答案：C解析：思路：利用导数的几何意义分别求解出在点处的切线方程以及在点处的切线方程，根据两切线重合，求解出之间的关系式，由此可化简计算出的值.解答过程：的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，由两条切线重合的条件，可得，且，则，即有，可得，则.故选：C.方法提示：关键点点睛：解答本题的关键在于切线方程的分别求解，然后通过切线重合去分析变量之间的关系，其中涉及的指对互化对于计算有一定要求.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（）A.共有120种不同的排法B.当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C.当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D.当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法答案：AC解析：思路：利用全排列即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；先排两端，其余再排，即可判断D.解答过程：对于A，共有种不同的排法，故A正确；对于B，共有种不同的排法，故B错误；对于C，共有种不同的排法，故C正确；对于D，共有种不同的排法，故D错误.故选：AC.10.已知，则（）A.展开式各项的二项式系数的和为B.展开式各项的系数的和为C.D.答案：AC解析：思路：根据给定条件，利用二项式定理及性质逐项判断即可得解.解答过程：对于A，的展开式各项的二项式系数的和为，A正确；对于B，令，得，即的展开式各项的系数的和为1，B错误；对于C，令，得，则，，即有，C正确；对于D，对两边求导，得，令，得，D错误.故选：AC11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.曲线恒过定点B.若，则的极小值为0C.若，则D.若，则的最大值大于答案：ACD解析：思路：对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可.解答过程：对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确；对于B，当时，，则，令，解得：，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以的极大值为，故B不正确；对于C，，当，则，所以在上单调递增，又，即，则，故C正确；对于D，当时，由，解得：，当时，，则在上单调递增，当，，则在上单调递减，所以，令，则，所以当时，，则在上单调递增，所以，即的最大值大于，而，故，即，所以D正确；故选:ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有__________种不同的分配方式.答案：90解析：思路：先在6本书中选择4本分给1人，最后两本平均分再倍缩，最后组成一个的全排列，由此可算得答案.解答过程：先在6本书中选择4本分给1人，然后把最后2本平均分成两组，再倍缩，3组和3人组成全排列，故有种不同的分配方式.故答案为：90.13.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为_________.答案：解析：思路：求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围.解答过程：由，则，依题意在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，则的最小值为.14.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为，则线段AF长的取值范围是___________.答案：解析：思路：建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得AF长的取值范围.解答过程：设O是AD的中点，则，由于平面PAD，平面PAD，所以，由于，平面ABCD，所以平面ABCD，由于平面PAD，所以平面平面ABCD，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，，设，；设，，则，设PA与EF所成角为，，整理得，函数的开口向下，对称轴为，所以函数在上递增，所以，而，，所以，解得.所以AF的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，且为的一个极值点.（1）求a的值；（2）求在上的最小值和最大值.答案：（1）（2）最小值是，最大值是解析：思路：（1）求导根据得到；（2）计算函数的单调区间，得到最值.（1）的定义域为，，因为为的一个极值点，则，即，解得，经检验满足题意；（2）由（1）得，令，即，解得或，134

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极小值故在上的最小值是，最大值是；16.如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的正弦值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法求解.（2）求出平面的法向量，结合（1），利用面面角的向量求法求解即得.（1）在直四棱柱中，，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，且是的中点，则，，设平面的法向量，则，令，得，所以点到平面的距离.（2）设平面的法向量，则，令，得，设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值17.已知，二项式.（1）若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.答案：（1）；（2）或.解析：思路：（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，设第项的系数最大得，求解即可.（1）因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，则展开式的通项公式为，令，解得，代入通项公式有：，所以的系数为；（2）二项式通项公式为：，所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或，因为至少有前三项，所以（舍），故，二项式通项公式为：，设第项的系数最大，故，即，即，解得，因为，所以或，故系数最大的项为或.18.如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形，（1）求证:；（2）求平面.与平面的夹角的余弦值；（3）在线段DG上是否存在一点P，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析（2）（3）存在，，理由见解析解析：思路：（1）根据线面垂直的性质可得，由，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求面面角即可；（3）设，由向量线性运算的坐标表示可得，结合计算即可求解.（1）连接，直四棱柱，，则点在平面内.因为平面，且平面，所以，又底面为正方形，所以，又，所以平面，平面，故；（2）因为平面，平面，所以，又底面为正方形，所以，建立如图空间直角坐标系，则，故设平面的一个法向量为，则，即，令，则，于是.因为平面，所以